高數(shù)考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-12.函數(shù)$y=x^2$的導(dǎo)數(shù)$y^\prime=$（）A.$2x$B.$x^2$C.$\frac{1}{2}x$D.$2$3.$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{2}x+C$D.$2x+C$4.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)是可導(dǎo)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線斜率為（）A.0B.1C.eD.-16.極限$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.eD.∞7.若$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)是$x^2$，則$f(x)=$（）A.$2x$B.$x^2$C.$\frac{1}{2}x$D.$2$8.函數(shù)$y=\lnx$的定義域是（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.$[0,+\infty)$9.定積分$\int_{0}^{1}x^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.310.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點(diǎn)是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=-1$D.無(wú)間斷點(diǎn)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=\cosx$D.$y=e^x$2.以下哪些是基本求導(dǎo)公式（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(e^x)^\prime=e^x$3.關(guān)于定積分性質(zhì)，正確的有（）A.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$4.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}\sinx$C.$\lim_{x\to\infty}e^x$D.$\lim_{x\to0}x^2$5.函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$可微的等價(jià)條件有（）A.函數(shù)在點(diǎn)$x_0$可導(dǎo)B.函數(shù)在點(diǎn)$x_0$連續(xù)C.$\Deltay=A\Deltax+o(\Deltax)$D.函數(shù)在點(diǎn)$x_0$的切線存在6.下列積分中，能用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算的有（）A.$\int_{0}^{1}x^2dx$B.$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx$C.$\int_{0}^{1}e^xdx$D.$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$7.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.$y=x$B.$y=x^2$（$x\geq0$）C.$y=e^x$D.$y=\lnx$8.以下哪些是不定積分的性質(zhì)（）A.$\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx$B.$\intkf(x)dx=k\intf(x)dx$（$k$為非零常數(shù)）C.$(\intf(x)dx)^\prime=f(x)$D.$\intf^\prime(x)dx=f(x)+C$9.函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上滿足羅爾定理的條件有（）A.在$[a,b]$上連續(xù)B.在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)C.$f(a)=f(b)$D.$f(x)$為多項(xiàng)式函數(shù)10.下列說(shuō)法正確的有（）A.無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小量B.兩個(gè)無(wú)窮小量的和是無(wú)窮小量C.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量D.無(wú)窮大量與無(wú)窮大量的乘積是無(wú)窮大量三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=|x|$在$x=0$處可導(dǎo)。（）2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處連續(xù)。（）3.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)。（）4.函數(shù)$y=\frac{1}{x^2}$的原函數(shù)是$-\frac{1}{x}$。（）5.若$f(x)$在區(qū)間$I$上的導(dǎo)數(shù)恒為0，則$f(x)$在$I$上是常數(shù)函數(shù)。（）6.無(wú)窮小量就是0。（）7.函數(shù)$y=\sinx$的周期是$2\pi$。（）8.$\int_{a}^f(x)dx$與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)。（）9.函數(shù)$y=x^3$在$R$上是凹函數(shù)。（）10.若$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處一定可微。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x+1$的極值。-答案：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得$y^\prime=3x^2-3$，令$y^\prime=0$，解得$x=\pm1$。當(dāng)$x\lt-1$時(shí)，$y^\prime\gt0$；當(dāng)$-1\ltx\lt1$時(shí)，$y^\prime\lt0$；當(dāng)$x\gt1$時(shí)，$y^\prime\gt0$。所以極大值為$y(-1)=3$，極小值為$y(1)=-1$。2.計(jì)算$\int\frac{1}{x^2}dx$。-答案：根據(jù)積分公式$\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$（$n\neq-1$），對(duì)于$\int\frac{1}{x^2}dx=\intx^{-2}dx$，則結(jié)果為$-\frac{1}{x}+C$。3.簡(jiǎn)述函數(shù)極限與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系。-答案：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)極限一定存在且等于該點(diǎn)函數(shù)值；但函數(shù)在某點(diǎn)極限存在，函數(shù)在該點(diǎn)不一定連續(xù)。即連續(xù)是極限存在的一種特殊情況。4.求曲線$y=x^2$與直線$y=x+2$所圍成圖形的面積。-答案：先求交點(diǎn)，聯(lián)立方程$\begin{cases}y=x^2\\y=x+2\end{cases}$，解得$x=-1$或$x=2$。面積$S=\int_{-1}^{2}[(x+2)-x^2]dx=[\frac{1}{2}x^2+2x-\frac{1}{3}x^3]_{-1}^{2}=\frac{9}{2}$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x-2}$的單調(diào)性與間斷點(diǎn)情況。-答案：求導(dǎo)得$y^\prime=-\frac{1}{(x-2)^2}\lt0$，所以在$(-\infty,2)$和$(2,+\infty)$上單調(diào)遞減。$x=2$是間斷點(diǎn)，且為無(wú)窮間斷點(diǎn)。2.探討定積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用，舉例說(shuō)明。-答案：定積分在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛，如計(jì)算物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，已知速度函數(shù)$v(t)$，在時(shí)間段$[a,b]$內(nèi)的路程$s=\int_{a}^v(t)dt$；還可用于計(jì)算平面圖形面積等。3.分析函數(shù)$f(x)$在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0與該點(diǎn)是極值點(diǎn)的關(guān)系。-答案：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如$y=x^3$，$y^\prime=3x^2$，$x=0$時(shí)導(dǎo)數(shù)為0，但不是極值點(diǎn)。而極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)可能為0（可導(dǎo)時(shí)）或?qū)?shù)不存在，所以導(dǎo)數(shù)為0是極值點(diǎn)的必要不充分條件。4.說(shuō)明無(wú)窮小量階的比較在高等數(shù)學(xué)中的意義。-答案：無(wú)窮小量階的比較能反映無(wú)窮小量趨于0的速度快慢。在求極限、近似計(jì)算等方面有重要意義，比如等價(jià)無(wú)窮小在求極限時(shí)可簡(jiǎn)化計(jì)算，不同階的無(wú)窮小在分析函數(shù)局部性質(zhì)等方面提供依據(jù)。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B