高等數(shù)學(xué)試題庫(kù)合集及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\sinx$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$\cosx$B.$-\cosx$C.$\sinx$D.$-\sinx$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在3.曲線$y=x^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.$\intx^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$\frac{1}{2}x^3+C$C.$x^3+C$D.$\frac{1}{4}x^3+C$5.函數(shù)$f(x)=x^3-3x$的駐點(diǎn)是（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=\pm1$D.$x=0$6.已知$f^\prime(x)=2x$，且$f(0)=1$，則$f(x)=$（）A.$x^2+1$B.$x^2$C.$2x^2+1$D.$2x^2$7.定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$的值為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.08.函數(shù)$y=\lnx$的定義域是（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.$[0,+\infty)$9.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^2$是比$x$（）的無窮小。A.低階B.高階C.同階D.等價(jià)10.設(shè)$z=x^2y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=$（）A.$2xy$B.$x^2$C.$2x$D.$y$多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=\cosx$D.$y=e^x$2.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)的充分條件有（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)3.下列積分中，值為0的有（）A.$\int_{-1}^{1}x^3dx$B.$\int_{-1}^{1}\sinxdx$C.$\int_{-1}^{1}x^2dx$D.$\int_{-1}^{1}e^xdx$4.函數(shù)$y=x^3-3x^2+2$的極值點(diǎn)可能是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.$x=3$5.下列無窮小中，與$x$等價(jià)的有（）A.$\sinx$B.$\tanx$C.$e^x-1$D.$\ln(1+x)$6.多元函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微的必要條件有（）A.偏導(dǎo)數(shù)存在B.函數(shù)連續(xù)C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.全微分存在7.下列曲線中，漸近線為$y=0$的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=e^{-x}$C.$y=\lnx$D.$y=\frac{1}{x^2}$8.計(jì)算定積分的方法有（）A.牛頓-萊布尼茨公式B.換元積分法C.分部積分法D.利用奇偶性9.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.$y=x$B.$y=e^x$C.$y=\lnx$D.$y=x^2$10.對(duì)于二重積分$\iint_Df(x,y)d\sigma$，下列說法正確的有（）A.當(dāng)$f(x,y)=1$時(shí)，其值等于區(qū)域$D$的面積B.積分區(qū)域$D$可以是平面上的任意區(qū)域C.可化為累次積分計(jì)算D.計(jì)算時(shí)要考慮積分順序判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)，則一定可導(dǎo)。（）2.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）3.不定積分$\intf(x)dx$的結(jié)果是唯一的。（）4.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號(hào)無關(guān)。（）5.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的最大值一定是極大值。（）6.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處有定義。（）7.多元函數(shù)$z=f(x,y)$的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)一定可微。（）8.無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量。（）9.曲線$y=x^3$沒有拐點(diǎn)。（）10.二重積分可以用來計(jì)算空間曲面所圍成的立體體積。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-6x^2+9x+1$的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)$y^\prime=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$。令$y^\prime>0$，得$x<1$或$x>3$，此為增區(qū)間；令$y^\prime<0$，得$1<x<3$，此為減區(qū)間。2.計(jì)算$\intxe^xdx$。答案：用分部積分法，設(shè)$u=x$，$dv=e^xdx$，則$du=dx$，$v=e^x$。根據(jù)公式$\intudv=uv-\intvdu$，可得$\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C$。3.求函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,2)$處的偏導(dǎo)數(shù)。答案：對(duì)$x$求偏導(dǎo)，把$y$看成常數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$，將$(1,2)$代入得$\frac{\partialz}{\partialx}\vert_{(1,2)}=2$；對(duì)$y$求偏導(dǎo)，把$x$看成常數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialy}=2y$，代入得$\frac{\partialz}{\partialy}\vert_{(1,2)}=4$。4.簡(jiǎn)述函數(shù)極限的定義。答案：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$（不論它多么?。?，總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$x$滿足不等式$0<\vertx-x_0\vert<\delta$時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿足不等式$\vertf(x)-A\vert<\varepsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x\tox_0$時(shí)的極限。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點(diǎn)類型。答案：$x=1$是間斷點(diǎn)。因?yàn)?\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty$，$\lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty$，所以$x=1$是無窮間斷點(diǎn)，屬于第二類間斷點(diǎn)。2.探討在實(shí)際問題中，如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。答案：先根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系，確定定義域。再求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，找出駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。然后比較這些點(diǎn)以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值大小，最大的即為最大值，最小的即為最小值。3.說說多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系。答案