數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服從（）A.\(N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^{2})\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(n\mu,n\sigma^{2})\)2.樣本方差\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)的數(shù)學(xué)期望\(E(S^{2})\)為（）A.\(\sigma^{2}\)B.\(\frac{\sigma^{2}}{n}\)C.\(n\sigma^{2}\)D.\(\frac{n}{n-1}\sigma^{2}\)3.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，總體\(X\)的均值為\(\mu\)，則\(\hat{\mu}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i\)是\(\mu\)的（）A.無偏估計(jì)量B.有偏估計(jì)量C.有效估計(jì)量D.一致估計(jì)量4.對(duì)正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^{2})\)的假設(shè)檢驗(yàn)問題中，檢驗(yàn)水平為\(\alpha\)的含義是（）A.原假設(shè)\(H_0\)成立，經(jīng)檢驗(yàn)被拒絕的概率B.原假設(shè)\(H_0\)成立，經(jīng)檢驗(yàn)不能被拒絕的概率C.原假設(shè)\(H_0\)不成立，經(jīng)檢驗(yàn)被拒絕的概率D.原假設(shè)\(H_0\)不成立，經(jīng)檢驗(yàn)不能被拒絕的概率5.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\sim\chi^{2}(n)\)，則\(\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\)服從（）A.\(N(0,1)\)B.\(\chi^{2}(n)\)C.\(t(n)\)D.\(F(1,n)\)6.在單因素方差分析中，設(shè)因素\(A\)有\(zhòng)(r\)個(gè)水平，每個(gè)水平下的樣本容量分別為\(n_1,n_2,\cdots,n_r\)，記\(n=\sum_{i=1}^{r}n_i\)，則總離差平方和\(S_T\)的自由度為（）A.\(n-1\)B.\(r-1\)C.\(n-r\)D.\(n\)7.設(shè)總體\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x;\theta)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\theta\)為未知參數(shù)，若\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的極大似然估計(jì)量，則（）A.\(\hat{\theta}\)一定是無偏估計(jì)量B.\(\hat{\theta}\)一定是有效估計(jì)量C.\(\hat{\theta}\)一定是一致估計(jì)量D.\(\hat{\theta}\)滿足似然方程\(\frac{\partial\lnL(\theta)}{\partial\theta}=0\)，其中\(zhòng)(L(\theta)\)是似然函數(shù)8.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，檢驗(yàn)假設(shè)\(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu\neq\mu_0\)，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為（）A.\(Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)B.\(t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\)C.\(\chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)D.\(F=\frac{S_1^{2}}{S_2^{2}}\)9.已知隨機(jī)變量\(X\sim\chi^{2}(n)\)，則\(D(X)\)等于（）A.\(n\)B.\(2n\)C.\(n^{2}\)D.\(\frac{n}{2}\)10.在回歸分析中，相關(guān)系數(shù)\(r\)的取值范圍是（）A.\((0,1)\)B.\((-1,0)\)C.\([-1,1]\)D.\((-\infty,+\infty)\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)總體\(X\)的均值為\(\mu\)，方差為\(\sigma^{2}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則（）A.\(E(\overline{X})=\mu\)B.\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}\)C.\(E(S^{2})=\sigma^{2}\)D.\(S^{2}\)是\(\sigma^{2}\)的無偏估計(jì)量E.\(\overline{X}\)是\(\mu\)的無偏估計(jì)量2.以下哪些分布是與正態(tài)分布相關(guān)的抽樣分布（）A.\(\chi^{2}\)分布B.\(t\)分布C.\(F\)分布D.均勻分布E.泊松分布3.對(duì)于參數(shù)估計(jì)，以下說法正確的是（）A.無偏估計(jì)量一定是有效估計(jì)量B.有效估計(jì)量一定是無偏估計(jì)量C.一致估計(jì)量當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，依概率收斂于被估計(jì)的參數(shù)D.極大似然估計(jì)量一定是無偏估計(jì)量E.矩估計(jì)量不一定是無偏估計(jì)量4.在假設(shè)檢驗(yàn)中，可能犯的錯(cuò)誤有（）A.第一類錯(cuò)誤B.第二類錯(cuò)誤C.第三類錯(cuò)誤D.第四類錯(cuò)誤E.第五類錯(cuò)誤5.單因素方差分析中，總離差平方和\(S_T\)可以分解為（）A.組間離差平方和\(S_A\)B.組內(nèi)離差平方和\(S_E\)C.誤差平方和\(S_{\epsilon}\)D.回歸平方和\(S_R\)E.剩余平方和\(S_{res}\)6.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，檢驗(yàn)假設(shè)\(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu\neq\mu_0\)，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量\(t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\)服從（）A.\(t\)分布B.\(t(n-1)\)分布C.自由度為\(n-1\)的\(t\)分布D.正態(tài)分布E.\(\chi^{2}\)分布7.以下關(guān)于樣本矩的說法正確的是（）A.樣本均值是總體均值的矩估計(jì)量B.樣本二階中心矩是總體方差的矩估計(jì)量C.樣本\(k\)階原點(diǎn)矩是總體\(k\)階原點(diǎn)矩的矩估計(jì)量D.樣本\(k\)階中心矩是總體\(k\)階中心矩的矩估計(jì)量E.樣本均值和樣本方差都是總體均值和總體方差的無偏估計(jì)量8.對(duì)于兩個(gè)正態(tài)總體\(N(\mu_1,\sigma_1^{2})\)和\(N(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，以下哪些是檢驗(yàn)兩總體方差是否相等的方法（）A.\(F\)檢驗(yàn)B.\(t\)檢驗(yàn)C.\(\chi^{2}\)檢驗(yàn)D.構(gòu)造\(F=\frac{S_1^{2}/\sigma_1^{2}}{S_2^{2}/\sigma_2^{2}}\)，若\(H_0:\sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}\)成立，則\(F\simF(n_1-1,n_2-1)\)E.構(gòu)造\(F=\frac{S_2^{2}/\sigma_2^{2}}{S_1^{2}/\sigma_1^{2}}\)，若\(H_0:\sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}\)成立，則\(F\simF(n_2-1,n_1-1)\)9.在回歸分析中，以下哪些指標(biāo)可以用來衡量回歸方程的擬合效果（）A.判定系數(shù)\(R^{2}\)B.相關(guān)系數(shù)\(r\)C.剩余標(biāo)準(zhǔn)差\(S_{res}\)D.\(F\)檢驗(yàn)值E.\(t\)檢驗(yàn)值10.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，總體\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x;\theta)\)，\(\theta\)為未知參數(shù)，以下哪些是求\(\theta\)的估計(jì)量的方法（）A.矩估計(jì)法B.極大似然估計(jì)法C.最小二乘法D.順序統(tǒng)計(jì)量法E.區(qū)間估計(jì)法三、判斷題（每題2分，共20分）1.樣本均值\(\overline{X}\)與總體均值\(\mu\)一定相等。（）2.若\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計(jì)量，則\(E(\hat{\theta})=\theta\)。（）3.檢驗(yàn)水平\(\alpha\)就是犯第一類錯(cuò)誤的概率。（）4.正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^{2})\)的樣本方差\(S^{2}\)與總體方差\(\sigma^{2}\)一定相等。（）5.在單因素方差分析中，組間離差平方和\(S_A\)反映了隨機(jī)誤差的影響。（）6.相關(guān)系數(shù)\(r=0\)表示兩個(gè)變量之間沒有任何關(guān)系。（）7.極大似然估計(jì)量一定是唯一的。（）8.對(duì)于正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^{2})\)，當(dāng)\(\sigma^{2}\)已知時(shí)，構(gòu)造的\(Z\)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（）9.樣本容量\(n\)越大，參數(shù)估計(jì)的精度越高。（）10.在回歸分析中，回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心\((\overline{x},\overline{y})\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述矩估計(jì)法的基本思想。答案：用樣本矩作為相應(yīng)總體矩的估計(jì)量，通過建立方程組求解未知參數(shù)的估計(jì)值。比如用樣本均值估計(jì)總體均值，用樣本二階中心矩估計(jì)總體方差等。2.簡述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。答案：①提出原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)；②選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；③確定檢驗(yàn)水平\(\alpha\)并找出臨界值；④根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；⑤將統(tǒng)計(jì)量值與臨界值比較，作出拒絕或接受\(H_0\)的決策。3.說明單因素方差分析中\(zhòng)(S_T=S_A+S_E\)的意義。答案：總離差平方和\(S_T\)反映全部數(shù)據(jù)的離散程度。組間離差平方和\(S_A\)體現(xiàn)因素不同水平對(duì)觀測值的影響；組內(nèi)離差平方和\(S_E\)反映隨機(jī)誤差影響。該式表明總波動(dòng)由因素水平差異和隨機(jī)誤差共同構(gòu)成。4.簡述相關(guān)系數(shù)\(r\)的含義。答案：相關(guān)系數(shù)\(r\)衡量兩個(gè)變量線性相關(guān)程度。\(\vertr\vert\)越接近1，線性相關(guān)越強(qiáng)；\(\vertr\vert\)越接近0，線性相關(guān)越弱。\(r\gt0\)表示正相關(guān)，\(r\lt0\)表示負(fù)相關(guān)。五、討論題（每題5分，共20分）1.在實(shí)際應(yīng)用中，如何選擇合適的參數(shù)估計(jì)方法？答案：要考慮多種因素。矩估計(jì)法計(jì)算簡單，但可能效率不高；極大似然估計(jì)法理論性質(zhì)好，在總體分布已知時(shí)常用。若樣本容量大，可優(yōu)先考慮極大似然估計(jì)；若總體分布復(fù)雜或?qū)τ?jì)算簡便性要求高，矩估計(jì)也可行。還需結(jié)合實(shí)際問題特點(diǎn)和對(duì)估計(jì)量性質(zhì)的要求來選擇。2.討論假設(shè)檢驗(yàn)中第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的關(guān)系及控制方法。答案：在樣本容量固定時(shí)，第一類錯(cuò)誤概率\(\alpha\)和第二類錯(cuò)誤概率\(\beta\)此消彼長。控制方法：①增大樣本容量，可同時(shí)減小\(\alpha\)和\(\beta\)；②合理選擇檢驗(yàn)水平\(\alpha\)，在重要問題中，優(yōu)先控制第一類錯(cuò)誤概率\(\alpha\)，必要時(shí)權(quán)衡考慮兩類錯(cuò)誤。3.闡述回歸分析在實(shí)際中的應(yīng)用及局限性。答案：應(yīng)用：可研究變量間關(guān)系，用于預(yù)測、分析影響因素等，如在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域預(yù)測銷售額與成本關(guān)系。局限性：需變量有線性關(guān)系假設(shè)，對(duì)異常值敏感；只能揭示變量間統(tǒng)計(jì)關(guān)系，不一定是因果關(guān)系；樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量和代表性影響結(jié)果可靠性。4.舉例說明如何根據(jù)實(shí)際問題確定合適的統(tǒng)計(jì)模型。答案：比如研究學(xué)生成績與學(xué)習(xí)時(shí)間關(guān)系。若成績近似正態(tài)分布，可考慮線性回歸模型分析二者線性關(guān)系；若想分析不同班級(jí)成績差