高等幾何模擬試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.射影對(duì)應(yīng)把平行四邊形映成（）A.平行四邊形B.梯形C.四邊形D.矩形2.點(diǎn)列之間的射影對(duì)應(yīng)是由（）A.兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定B.三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定C.四對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定D.無(wú)限對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定3.若共線四點(diǎn)\(A,B,C,D\)滿足\((AB,CD)=-1\)，則稱（）A.\(A,B\)調(diào)和分離\(C,D\)B.\(A,C\)調(diào)和分離\(B,D\)C.\(A,D\)調(diào)和分離\(B,C\)D.以上都不對(duì)4.直線\(3x+2y-1=0\)上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,-3,0)\)B.\((3,-2,0)\)C.\((-2,3,0)\)D.\((-3,2,0)\)5.二次曲線\(x^2+2xy+y^2-2x+2y-3=0\)是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓6.兩個(gè)線束成射影對(duì)應(yīng)，則對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)構(gòu)成（）A.一條二次曲線B.一條直線C.一個(gè)點(diǎn)列D.一個(gè)線束7.射影平面上，一條直線的對(duì)偶元素是（）A.點(diǎn)B.另一條直線C.二次曲線D.線束8.若\(A,B,C\)為共線三點(diǎn)，且\((ABC)=\lambda\)，則\((BAC)\)等于（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(1-\lambda\)D.\(\lambda-1\)9.平面上的笛沙格定理是（）A.結(jié)合性定理B.度量性定理C.仿射性質(zhì)D.射影性質(zhì)10.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于二次曲線的極線稱為二次曲線的（）A.直徑B.漸近線C.切線D.對(duì)稱軸二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是射影不變量（）A.交比B.單比C.調(diào)和比D.距離2.下列屬于仿射性質(zhì)的有（）A.平行性B.兩直線的夾角C.三角形面積比D.線段長(zhǎng)度3.二次曲線的射影分類包括（）A.橢圓型B.雙曲型C.拋物型D.退化型4.關(guān)于點(diǎn)列與線束的射影對(duì)應(yīng)，正確的是（）A.點(diǎn)列與線束可以建立射影對(duì)應(yīng)B.兩個(gè)點(diǎn)列間的射影對(duì)應(yīng)是透視對(duì)應(yīng)的充分必要條件是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線共點(diǎn)C.兩個(gè)線束間的射影對(duì)應(yīng)是透視對(duì)應(yīng)的充分必要條件是對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)共線D.點(diǎn)列與線束的射影對(duì)應(yīng)不具有保交比性5.以下哪些是高等幾何的研究方法（）A.綜合法B.解析法C.變換群法D.向量法6.下列哪些元素在射影平面上是存在的（）A.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)B.無(wú)窮遠(yuǎn)直線C.虛元素D.理想元素7.下列關(guān)于調(diào)和共軛的說(shuō)法正確的是（）A.若\((AB,CD)=-1\)，則\(A,B\)與\(C,D\)互相調(diào)和共軛B.調(diào)和共軛點(diǎn)列中，任意三點(diǎn)確定第四點(diǎn)C.調(diào)和共軛是一種特殊的交比D.調(diào)和共軛與射影對(duì)應(yīng)無(wú)關(guān)8.射影平面上，直線\(l\)上的點(diǎn)與另一直線\(m\)上的點(diǎn)建立射影對(duì)應(yīng)后，可能出現(xiàn)（）A.一對(duì)一的對(duì)應(yīng)B.多對(duì)一的對(duì)應(yīng)C.一對(duì)多的對(duì)應(yīng)D.一一對(duì)應(yīng)9.以下哪些屬于二次曲線的性質(zhì)（）A.切線B.切點(diǎn)C.極點(diǎn)D.極線10.下列哪些圖形在仿射變換下保持不變（）A.三角形B.平行四邊形C.梯形D.圓三、判斷題（每題2分，共10題）1.射影對(duì)應(yīng)保持交比不變。（）2.仿射變換把平行直線映成平行直線。（）3.無(wú)窮遠(yuǎn)直線與任何直線都相交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。（）4.二次曲線的中心一定在曲線上。（）5.兩個(gè)點(diǎn)列成射影對(duì)應(yīng)，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線共點(diǎn)。（）6.射影平面上，每一條直線都有唯一的極點(diǎn)。（）7.若\((AB,CD)=-1\)，則\(A,B\)調(diào)和共軛\(C,D\)。（）8.仿射變換保持角度不變。（）9.射影幾何中，三角形的面積是不變量。（）10.二次曲線的漸近線與二次曲線相切于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述射影對(duì)應(yīng)與透視對(duì)應(yīng)的關(guān)系。答案：透視對(duì)應(yīng)是射影對(duì)應(yīng)的特殊情況。射影對(duì)應(yīng)是一種一一對(duì)應(yīng)且保持交比不變的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而透視對(duì)應(yīng)是通過(guò)一個(gè)中心投影建立的對(duì)應(yīng)，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn)。所有透視對(duì)應(yīng)都是射影對(duì)應(yīng)，但射影對(duì)應(yīng)不一定是透視對(duì)應(yīng)。2.什么是二次曲線的極點(diǎn)與極線？答案：對(duì)于給定二次曲線，若點(diǎn)\(P\)關(guān)于該二次曲線有這樣的直線\(l\)，使得過(guò)\(P\)任作直線交二次曲線于\(A,B\)兩點(diǎn)，\(P\)關(guān)于\(A,B\)的調(diào)和共軛點(diǎn)在\(l\)上，則\(l\)是\(P\)的極線，\(P\)是\(l\)的極點(diǎn)。3.簡(jiǎn)述仿射變換的基本性質(zhì)。答案：仿射變換保持同素性，即點(diǎn)變點(diǎn)，直線變直線；保持結(jié)合性，點(diǎn)在線上則變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)仍在對(duì)應(yīng)直線上；保持平行性，平行直線變換后仍平行；還保持單比不變，三角形面積比不變等。4.說(shuō)明交比的定義及性質(zhì)。答案：交比定義為\((AB,CD)=\frac{(ABC)}{(ABD)}\)。性質(zhì)有：交比在射影對(duì)應(yīng)下不變；交比與點(diǎn)的排列順序有關(guān)，不同排列交比有特定關(guān)系；交比為\(-1\)時(shí)四點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和共軛。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論射影幾何在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：在攝影領(lǐng)域，用于圖像的校正和變換，處理透視變形問(wèn)題；在圖形設(shè)計(jì)中，幫助設(shè)計(jì)具有特殊視覺效果的圖案；在建筑設(shè)計(jì)里，輔助進(jìn)行建筑透視圖繪制，準(zhǔn)確呈現(xiàn)建筑的空間結(jié)構(gòu)和外觀效果。2.如何從仿射幾何的角度理解圖形的相似性？答案：仿射變換保持平行性、單比等性質(zhì)。相似圖形在仿射變換下，對(duì)應(yīng)邊平行且長(zhǎng)度比例關(guān)系不變，角度關(guān)系也有一定規(guī)律。從仿射幾何看，相似圖形可通過(guò)仿射變換聯(lián)系起來(lái)，是仿射性質(zhì)在相似概念上的體現(xiàn)，比歐氏幾何中相似概念更具一般性。3.闡述二次曲線射影分類的意義。答案：二次曲線射影分類將二次曲線按射影性質(zhì)分為橢圓型、雙曲型、拋物型和退化型。意義在于統(tǒng)一研究不同類型二次曲線的共性與特性，簡(jiǎn)化對(duì)二次曲線性質(zhì)的討論，為深入研究其幾何性質(zhì)、方程特征等提供清晰框架，便于理解和應(yīng)用。4.談?wù)劯叩葞缀蔚难芯糠椒▽?duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟示。答案：高等幾何的綜合法培養(yǎng)邏輯推理和空間想象能力；解析法將幾何問(wèn)題代數(shù)化，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想；變換群法從整體結(jié)構(gòu)研究幾何性質(zhì)。這些方法啟示我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多角度思考，注重知識(shí)聯(lián)系轉(zhuǎn)化，提高抽象思維和解決問(wèn)題的能力。答案一、單項(xiàng)選擇題1.C2.B3.A4.A5.C6.A7.A8.B9.D10.B二