Copula函數(shù)在宿遷古黃河流域月降雨量模擬中的應(yīng)用研究一、引言1.1研究背景與意義1.1.1研究背景宿遷古黃河流域作為宿遷市重要的水資源承載區(qū)域，在城市發(fā)展、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及生態(tài)保護(hù)等方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用。水資源的合理管理和利用對(duì)于該流域的可持續(xù)發(fā)展至關(guān)重要，而降雨量作為水資源的主要來(lái)源，其準(zhǔn)確模擬和預(yù)測(cè)成為了研究的焦點(diǎn)。宿遷古黃河流域的水資源管理面臨著諸多挑戰(zhàn)。該流域的農(nóng)業(yè)灌溉對(duì)水資源的需求較大，且依賴(lài)于自然降雨。然而，由于氣候變化和人類(lèi)活動(dòng)的影響，降雨量的時(shí)空分布變得更加復(fù)雜和不確定，這給農(nóng)業(yè)生產(chǎn)帶來(lái)了極大的風(fēng)險(xiǎn)。如果在農(nóng)作物生長(zhǎng)的關(guān)鍵時(shí)期降雨量不足，可能導(dǎo)致農(nóng)作物減產(chǎn)甚至絕收；而過(guò)多的降雨則可能引發(fā)洪澇災(zāi)害，破壞農(nóng)田和農(nóng)業(yè)設(shè)施。同時(shí)，該流域的城市供水也與降雨量密切相關(guān)。充足的降雨能夠保證城市水源地的水量穩(wěn)定，滿(mǎn)足居民生活和工業(yè)生產(chǎn)的用水需求。反之，降雨異?？赡軐?dǎo)致城市供水緊張，影響居民生活質(zhì)量和工業(yè)正常運(yùn)轉(zhuǎn)。傳統(tǒng)的降雨量模擬方法在處理多變量之間的復(fù)雜關(guān)系時(shí)存在一定的局限性。這些方法往往假設(shè)變量之間是相互獨(dú)立的，或者僅考慮簡(jiǎn)單的線(xiàn)性關(guān)系，無(wú)法準(zhǔn)確描述降雨量與其他因素（如地形、氣候等）之間的非線(xiàn)性和非對(duì)稱(chēng)關(guān)系。在實(shí)際情況中，地形的起伏會(huì)影響氣流的運(yùn)動(dòng)，從而導(dǎo)致不同區(qū)域的降雨量存在差異；氣候的變化也會(huì)使得降雨量的分布發(fā)生改變，這些因素之間的相互作用使得降雨量的模擬變得更加困難。Copula函數(shù)作為一種能夠有效描述多個(gè)隨機(jī)變量之間依賴(lài)關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，近年來(lái)在水文領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。Copula函數(shù)可以將隨機(jī)變量的聯(lián)合分布分解為其各自的邊緣分布和它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，從而能夠更加靈活地構(gòu)建多變量聯(lián)合分布模型。在降雨量模擬中，Copula函數(shù)可以充分考慮不同站點(diǎn)降雨量之間的相關(guān)性，以及降雨量與其他因素之間的復(fù)雜關(guān)系，為準(zhǔn)確模擬月降雨量提供了新的途徑。1.1.2研究意義通過(guò)Copula函數(shù)模擬宿遷古黃河流域的月降雨量，對(duì)于該流域的水資源合理利用和管理具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。準(zhǔn)確的月降雨量模擬結(jié)果可以為水資源規(guī)劃提供科學(xué)依據(jù)。水資源管理部門(mén)可以根據(jù)模擬預(yù)測(cè)的降雨量，合理安排農(nóng)業(yè)灌溉用水、城市供水以及生態(tài)補(bǔ)水等，提高水資源的利用效率，避免水資源的浪費(fèi)和短缺。在農(nóng)業(yè)灌溉方面，根據(jù)模擬的降雨量情況，農(nóng)民可以合理調(diào)整灌溉時(shí)間和灌溉量，采用節(jié)水灌溉技術(shù)，減少水資源的浪費(fèi)，同時(shí)保證農(nóng)作物的生長(zhǎng)需求。月降雨量模擬對(duì)于防洪抗旱工作具有重要的指導(dǎo)作用。通過(guò)對(duì)降雨量的準(zhǔn)確模擬和預(yù)測(cè)，可以提前制定防洪抗旱應(yīng)急預(yù)案，采取有效的防洪抗旱措施，減少洪澇和干旱災(zāi)害對(duì)人民生命財(cái)產(chǎn)和生態(tài)環(huán)境的影響。在防洪方面，當(dāng)預(yù)測(cè)到降雨量較大時(shí)，相關(guān)部門(mén)可以提前做好河道清淤、堤壩加固等工作，加強(qiáng)對(duì)洪水的監(jiān)測(cè)和預(yù)警，及時(shí)疏散危險(xiǎn)區(qū)域的居民，減少洪澇災(zāi)害造成的損失。在抗旱方面，當(dāng)預(yù)測(cè)到降雨量不足時(shí)，可以提前啟動(dòng)抗旱措施，如組織人工增雨、合理調(diào)配水資源等，保障農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和居民生活用水。從學(xué)術(shù)研究的角度來(lái)看，將Copula函數(shù)應(yīng)用于宿遷古黃河流域月降雨量模擬，豐富了Copula函數(shù)在水文領(lǐng)域的應(yīng)用案例，拓展了其應(yīng)用范圍。同時(shí)，也為其他地區(qū)的降雨量模擬和水資源研究提供了參考和借鑒，有助于推動(dòng)水文科學(xué)的發(fā)展。在研究過(guò)程中，可以進(jìn)一步探索不同類(lèi)型Copula函數(shù)的適用性，以及如何更好地結(jié)合其他數(shù)據(jù)和模型，提高降雨量模擬的精度和可靠性，為水文科學(xué)的發(fā)展做出貢獻(xiàn)。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀Copula函數(shù)在水文學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用研究始于20世紀(jì)90年代，隨著對(duì)水文變量之間復(fù)雜關(guān)系認(rèn)識(shí)的加深，其應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大。在降雨量模擬方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了大量的研究工作。國(guó)外學(xué)者在Copula函數(shù)的理論研究和應(yīng)用實(shí)踐方面都取得了顯著成果。在理論研究上，對(duì)Copula函數(shù)的性質(zhì)、分類(lèi)以及參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行了深入探討。在應(yīng)用實(shí)踐中，將Copula函數(shù)廣泛應(yīng)用于不同流域的降雨量模擬。在北美地區(qū)，學(xué)者們利用Copula函數(shù)對(duì)密西西比河流域的降雨量進(jìn)行模擬分析，發(fā)現(xiàn)Copula函數(shù)能夠準(zhǔn)確描述該流域不同站點(diǎn)降雨量之間的相關(guān)性，提高了降雨量模擬的精度。在歐洲，對(duì)萊茵河流域的研究表明，Copula函數(shù)可以有效地考慮降雨與其他氣象因素（如氣溫、濕度等）之間的非線(xiàn)性關(guān)系，為該流域的水資源管理和防洪減災(zāi)提供了更可靠的依據(jù)。國(guó)內(nèi)對(duì)Copula函數(shù)在水文學(xué)領(lǐng)域的研究起步相對(duì)較晚，但近年來(lái)發(fā)展迅速。眾多學(xué)者結(jié)合國(guó)內(nèi)不同流域的特點(diǎn)，將Copula函數(shù)應(yīng)用于降雨量模擬、洪水頻率分析、干旱評(píng)估等多個(gè)方面。在降雨量模擬方面，針對(duì)長(zhǎng)江流域，有研究運(yùn)用Copula函數(shù)構(gòu)建了多個(gè)站點(diǎn)降雨量的聯(lián)合分布模型，分析了不同區(qū)域降雨量的時(shí)空變化特征，為長(zhǎng)江流域的水資源合理利用和防洪抗旱提供了科學(xué)參考。在黃河流域，學(xué)者們通過(guò)Copula函數(shù)研究了降雨與徑流之間的關(guān)系，為流域的水資源調(diào)配和生態(tài)保護(hù)提供了重要依據(jù)。在宿遷古黃河流域，潘奇鑫、李帆等人以宿遷閘站、劉老澗站、新袁閘站3個(gè)水文站39年（1980-2018年）的月降雨量資料為例，利用二維Copula函數(shù)進(jìn)行月降雨量隨機(jī)模擬?；贑opula函數(shù)建立3個(gè)站點(diǎn)兩兩間月降雨量的聯(lián)合分布，結(jié)合Gibbs抽樣法實(shí)現(xiàn)3站的月降雨量隨機(jī)模擬，通過(guò)比較實(shí)測(cè)和模擬的月降雨量，對(duì)模擬預(yù)測(cè)的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，上、中、下游降雨量之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性，二維Copula函數(shù)可有效建立研究區(qū)域相鄰站點(diǎn)間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，可用于該流域降雨量的隨機(jī)模擬。盡管Copula函數(shù)在降雨量模擬方面取得了一定的成果，但仍存在一些不足之處。在Copula函數(shù)的選擇上，目前還缺乏統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和方法，不同的Copula函數(shù)對(duì)模擬結(jié)果的影響較大，如何根據(jù)具體的研究區(qū)域和數(shù)據(jù)特征選擇最合適的Copula函數(shù)，仍是需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題。在數(shù)據(jù)處理和參數(shù)估計(jì)方面，也存在一些挑戰(zhàn)。降雨量數(shù)據(jù)往往存在缺失值、異常值等問(wèn)題，如何對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的處理，提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量和可靠性，對(duì)Copula函數(shù)模型的性能有重要影響。參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性也直接關(guān)系到模擬結(jié)果的精度，目前的參數(shù)估計(jì)方法還需要進(jìn)一步優(yōu)化和改進(jìn)。此外，Copula函數(shù)在考慮多因素影響方面還存在一定的局限性。降雨量不僅受到地形、氣候等自然因素的影響，還受到人類(lèi)活動(dòng)（如城市化、土地利用變化等）的影響，如何將這些多因素納入Copula函數(shù)模型中，更全面地描述降雨量的變化規(guī)律，也是未來(lái)研究的重點(diǎn)方向之一。1.3研究?jī)?nèi)容與方法1.3.1研究?jī)?nèi)容本研究以宿遷古黃河流域的3個(gè)水文站（宿遷閘站、劉老澗站、新袁閘站）的月降雨量數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，深入探究Copula函數(shù)在該流域月降雨量模擬中的應(yīng)用。對(duì)收集到的3個(gè)水文站39年（1980-2018年）的月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)分析。運(yùn)用均值、方差、偏度、峰度等統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，全面描述各站點(diǎn)月降雨量的基本統(tǒng)計(jì)特征，深入了解其集中趨勢(shì)、離散程度以及分布形態(tài)。通過(guò)繪制月降雨量的時(shí)間序列圖，直觀(guān)展示降雨量隨時(shí)間的變化趨勢(shì)，分析其年內(nèi)和年際變化規(guī)律。研究不同站點(diǎn)月降雨量之間的相關(guān)性，計(jì)算相關(guān)系數(shù)，初步判斷各站點(diǎn)降雨量之間的關(guān)聯(lián)程度?；贑opula函數(shù)理論，對(duì)3個(gè)水文站的月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行邊緣分布擬合。運(yùn)用多種常見(jiàn)的概率分布函數(shù)，如Gamma分布、Weibull分布、Log-Normal分布等，對(duì)各站點(diǎn)的月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法，如Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)、Anderson-Darling檢驗(yàn)等，選擇出最適合各站點(diǎn)月降雨量數(shù)據(jù)的邊緣分布函數(shù)，為后續(xù)構(gòu)建Copula函數(shù)模型奠定基礎(chǔ)。選擇多種不同類(lèi)型的二維Copula函數(shù)，如GaussianCopula、t-Copula、ClaytonCopula、GumbelCopula等，構(gòu)建3個(gè)站點(diǎn)兩兩間月降雨量的聯(lián)合分布模型。對(duì)于每個(gè)Copula函數(shù)模型，運(yùn)用極大似然估計(jì)法、矩估計(jì)法等參數(shù)估計(jì)方法，準(zhǔn)確估計(jì)模型的參數(shù)。通過(guò)比較不同Copula函數(shù)模型的擬合優(yōu)度，選擇出最能準(zhǔn)確描述各站點(diǎn)月降雨量之間相關(guān)結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)模型。擬合優(yōu)度的比較可以采用AIC（赤池信息準(zhǔn)則）、BIC（貝葉斯信息準(zhǔn)則）等指標(biāo)，指標(biāo)值越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好。結(jié)合Gibbs抽樣法，實(shí)現(xiàn)3個(gè)站點(diǎn)的月降雨量隨機(jī)模擬。利用已構(gòu)建的Copula函數(shù)聯(lián)合分布模型，通過(guò)Gibbs抽樣算法，生成大量的月降雨量模擬樣本。對(duì)模擬樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，與實(shí)測(cè)月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，從均值、方差、分布形態(tài)、相關(guān)性等多個(gè)方面進(jìn)行比較。通過(guò)計(jì)算模擬值與實(shí)測(cè)值之間的誤差指標(biāo)，如均方根誤差（RMSE）、平均絕對(duì)誤差（MAE）等，全面評(píng)估模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。1.3.2研究方法本研究的數(shù)據(jù)主要來(lái)源于宿遷古黃河流域的3個(gè)水文站（宿遷閘站、劉老澗站、新袁閘站），收集了1980-2018年共39年的月降雨量數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)是研究的基礎(chǔ)，為后續(xù)的分析和模擬提供了實(shí)際觀(guān)測(cè)資料。對(duì)月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，運(yùn)用均值、方差、偏度、峰度等統(tǒng)計(jì)指標(biāo)來(lái)描述數(shù)據(jù)的基本特征。均值可以反映數(shù)據(jù)的平均水平，方差用于衡量數(shù)據(jù)的離散程度，偏度和峰度則可以描述數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱(chēng)性和陡峭程度。通過(guò)繪制時(shí)間序列圖，直觀(guān)展示月降雨量隨時(shí)間的變化趨勢(shì)，便于分析其年內(nèi)和年際變化規(guī)律。在邊緣分布擬合中，采用Gamma分布、Weibull分布、Log-Normal分布等多種常見(jiàn)的概率分布函數(shù)對(duì)月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。Gamma分布適用于描述非負(fù)連續(xù)隨機(jī)變量，具有兩個(gè)形狀參數(shù)，能夠靈活地適應(yīng)不同的數(shù)據(jù)分布形態(tài)。Weibull分布常用于描述壽命數(shù)據(jù)和可靠性分析，其形狀參數(shù)和尺度參數(shù)可以根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整。Log-Normal分布則適用于描述經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)變換后服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，對(duì)于具有一定偏態(tài)的數(shù)據(jù)具有較好的擬合效果。通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法，如Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)、Anderson-Darling檢驗(yàn)等，選擇出最適合數(shù)據(jù)的邊緣分布函數(shù)。Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)通過(guò)比較經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和理論分布函數(shù)之間的最大距離來(lái)判斷擬合優(yōu)度，而Anderson-Darling檢驗(yàn)則更注重?cái)?shù)據(jù)的尾部擬合情況，能夠更準(zhǔn)確地評(píng)估分布函數(shù)的適用性。選擇GaussianCopula、t-Copula、ClaytonCopula、GumbelCopula等多種二維Copula函數(shù)構(gòu)建聯(lián)合分布模型。GaussianCopula基于多元正態(tài)分布，適用于描述變量之間的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，其相關(guān)結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，易于理解和計(jì)算。t-Copula考慮了變量之間的尾部相關(guān)性，對(duì)于具有厚尾分布的數(shù)據(jù)具有更好的擬合能力，能夠更準(zhǔn)確地描述極端情況下變量之間的關(guān)系。ClaytonCopula對(duì)下尾相關(guān)性更為敏感，適用于描述具有較強(qiáng)下尾相關(guān)的數(shù)據(jù)，在一些實(shí)際問(wèn)題中，下尾相關(guān)情況對(duì)分析結(jié)果具有重要影響，因此ClaytonCopula具有獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值。GumbelCopula則對(duì)變量之間的上尾相關(guān)性更為敏感，適用于描述具有較強(qiáng)上尾相關(guān)的數(shù)據(jù)，在研究一些與極端事件相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，GumbelCopula能夠更好地捕捉變量之間的關(guān)系。運(yùn)用極大似然估計(jì)法、矩估計(jì)法等參數(shù)估計(jì)方法，對(duì)每個(gè)Copula函數(shù)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。極大似然估計(jì)法通過(guò)最大化似然函數(shù)來(lái)求解參數(shù)，使模型在給定數(shù)據(jù)下的可能性最大；矩估計(jì)法則利用樣本矩與總體矩相等的原理來(lái)估計(jì)參數(shù)，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單。通過(guò)比較不同Copula函數(shù)模型的擬合優(yōu)度，選擇出最適合描述各站點(diǎn)月降雨量之間相關(guān)結(jié)構(gòu)的模型。擬合優(yōu)度的比較采用AIC（赤池信息準(zhǔn)則）、BIC（貝葉斯信息準(zhǔn)則）等指標(biāo)，這些指標(biāo)綜合考慮了模型的復(fù)雜度和擬合效果，能夠更客觀(guān)地評(píng)估模型的優(yōu)劣。采用Gibbs抽樣法實(shí)現(xiàn)月降雨量的隨機(jī)模擬。Gibbs抽樣是一種基于馬爾可夫鏈蒙特卡羅（MCMC）策略的抽樣方法，對(duì)于一個(gè)d維的隨機(jī)向量X=(x1,x2,…,xd)，當(dāng)無(wú)法直接求出X的概率分布p(X)，但知道給定的X的其他分量關(guān)于第i個(gè)分量xi的條件分布p(xi|xi?)（其中xi?=(x1,x2,…,xi?1,xi+1,xd)）時(shí)，可以從x的任意狀態(tài)開(kāi)始，利用條件分布迭代地對(duì)狀態(tài)的每個(gè)分量進(jìn)行抽樣。隨著抽樣次數(shù)的增加，隨機(jī)變量(x1(n),x2(n),…,xd(n))的概率分布將以n的幾何級(jí)數(shù)的速度收斂于x的聯(lián)合概率分布p(x)。在月降雨量模擬中，利用已構(gòu)建的Copula函數(shù)聯(lián)合分布模型，通過(guò)Gibbs抽樣算法生成大量的月降雨量模擬樣本，為后續(xù)的分析提供數(shù)據(jù)支持。1.4技術(shù)路線(xiàn)本研究的技術(shù)路線(xiàn)如圖1-1所示：@startumlstart:收集宿遷古黃河流域3個(gè)水文站（宿遷閘站、劉老澗站、新袁閘站）1980-2018年月降雨量數(shù)據(jù);:對(duì)月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，計(jì)算均值、方差、偏度、峰度等統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，繪制時(shí)間序列圖，分析年內(nèi)和年際變化規(guī)律及站點(diǎn)間相關(guān)性;:運(yùn)用Gamma分布、Weibull分布、Log-Normal分布等對(duì)各站點(diǎn)月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行邊緣分布擬合，通過(guò)Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)、Anderson-Darling檢驗(yàn)選擇最優(yōu)邊緣分布函數(shù);:選擇GaussianCopula、t-Copula、ClaytonCopula、GumbelCopula等構(gòu)建3個(gè)站點(diǎn)兩兩間月降雨量的聯(lián)合分布模型，用極大似然估計(jì)法、矩估計(jì)法估計(jì)參數(shù)，通過(guò)AIC、BIC指標(biāo)比較擬合優(yōu)度，選擇最優(yōu)Copula函數(shù)模型;:結(jié)合Gibbs抽樣法，利用已構(gòu)建的Copula函數(shù)聯(lián)合分布模型進(jìn)行月降雨量隨機(jī)模擬，生成模擬樣本;:對(duì)模擬樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，與實(shí)測(cè)月降雨量數(shù)據(jù)從均值、方差、分布形態(tài)、相關(guān)性等方面對(duì)比，計(jì)算RMSE、MAE等誤差指標(biāo)評(píng)估模擬結(jié)果準(zhǔn)確性和可靠性;end@enduml圖1-1技術(shù)路線(xiàn)圖二、Copula函數(shù)理論基礎(chǔ)2.1Copula函數(shù)定義與性質(zhì)Copula函數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有獨(dú)特的地位，它能夠?qū)⒍鄠€(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與它們各自的邊緣分布緊密相連，因此也被形象地稱(chēng)為“連接函數(shù)”或“相依函數(shù)”。這一概念最早由Sklar在1959年提出，Sklar定理指出，對(duì)于具有邊緣分布F_1(x_1),F_2(x_2),\cdots,F_n(x_n)的聯(lián)合分布函數(shù)H(x_1,x_2,\cdots,x_n)，必然存在一個(gè)Copula函數(shù)C(u_1,u_2,\cdots,u_n)（其中u_i=F_i(x_i)，i=1,2,\cdots,n），使得：H(x_1,x_2,\cdots,x_n)=C(F_1(x_1),F_2(x_2),\cdots,F_n(x_n))若F_1,F_2,\cdots,F_n是連續(xù)的，則函數(shù)C是唯一的。這一定理為Copula函數(shù)的應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，使得在研究多元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布時(shí)，可以將其分解為對(duì)邊緣分布和Copula函數(shù)的分別研究，大大降低了問(wèn)題的復(fù)雜性。從數(shù)學(xué)定義來(lái)看，N元Copula函數(shù)C(u_1,u_2,\cdots,u_N)是定義在[0,1]^N（即[0,1]\times[0,1]\times\cdots\times[0,1]，共N個(gè)[0,1]相乘）上的多元函數(shù)，并且具備以下重要性質(zhì)：零基面（grounded）：在N維函數(shù)C(u_1,u_2,\cdots,u_N)的定義域[0,1]^N內(nèi)，當(dāng)至少存在一組(a_1,a_2,\cdots,a_N)（其中a_i\in[0,1]，i=1,2,\cdots,N），使得當(dāng)其中某個(gè)u_j=a_j，其余u_i=0（i\neqj）時(shí)，C(u_1,u_2,\cdots,u_N)=0，則稱(chēng)該函數(shù)具有零基面。以二元Copula函數(shù)C(u,v)為例，若存在a\in[0,1]，使得C(u,a)=0（當(dāng)v=a，u為任意[0,1]內(nèi)的值）或者C(a,v)=0（當(dāng)u=a，v為任意[0,1]內(nèi)的值），那么C(u,v)具有零基面。這一性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中，能夠體現(xiàn)出變量之間在某些極端情況下的相互關(guān)系，例如在研究降雨量與其他因素的關(guān)系時(shí)，當(dāng)某一因素處于極低水平（接近0）時(shí)，降雨量與該因素的聯(lián)合分布可能趨近于0，反映出它們之間的某種依存特性。維遞增：對(duì)于N維空間中的任意超矩形B=[u_1^1,u_1^2]\times[u_2^1,u_2^2]\times\cdots\times[u_N^1,u_N^2]\subseteq[0,1]^N，均有V_C(B)\geq0，其中V_C(B)表示C在超矩形B上的N維體積，其計(jì)算公式為：V_C(B)=\sum_{i_1=1}^2\sum_{i_2=1}^2\cdots\sum_{i_N=1}^2(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_N}C(u_1^{i_1},u_2^{i_2},\cdots,u_N^{i_N})對(duì)于二元Copula函數(shù)C(u,v)，在二維實(shí)數(shù)空間B=[u_1,u_2]\times[v_1,v_2]中，V_C(B)=C(u_2,v_2)-C(u_2,v_1)-C(u_1,v_2)+C(u_1,v_1)\geq0。這一性質(zhì)保證了Copula函數(shù)在描述變量之間的關(guān)系時(shí)，隨著變量取值的增加，聯(lián)合分布的概率不會(huì)出現(xiàn)不合理的下降，符合概率分布的基本邏輯。在降雨量模擬中，當(dāng)兩個(gè)站點(diǎn)的降雨量都增加時(shí)，它們同時(shí)出現(xiàn)這種情況的聯(lián)合概率應(yīng)該是增加或者至少保持不變的，N維遞增性質(zhì)能夠準(zhǔn)確地體現(xiàn)這一特性。邊緣分布特性：Copula函數(shù)的邊緣分布C_n（n=1,2,\cdots,N）滿(mǎn)足C_n(x_n)=C(1,\cdots,1,x_n,1,\cdots,1)=x_n，其中x_n\in[0,1]。這意味著當(dāng)其他變量都取最大值1時(shí)，Copula函數(shù)關(guān)于某一變量的邊緣分布就等于該變量本身，反映了Copula函數(shù)與邊緣分布之間的內(nèi)在聯(lián)系。在實(shí)際應(yīng)用中，這一性質(zhì)使得我們能夠方便地將Copula函數(shù)與已知的邊緣分布相結(jié)合，構(gòu)建出符合實(shí)際情況的聯(lián)合分布模型。例如，在研究多個(gè)水文站的月降雨量時(shí)，我們可以先確定每個(gè)水文站月降雨量的邊緣分布，然后利用Copula函數(shù)的這一性質(zhì)，將它們連接起來(lái)，構(gòu)建出多個(gè)水文站月降雨量的聯(lián)合分布模型。2.2Sklar定理及其意義Sklar定理在Copula函數(shù)的理論體系中占據(jù)著核心地位，它為Copula函數(shù)的應(yīng)用提供了堅(jiān)實(shí)的理論基石。Sklar定理的具體內(nèi)容為：對(duì)于具有邊緣分布F_1(x_1),F_2(x_2),\cdots,F_n(x_n)的n維聯(lián)合分布函數(shù)H(x_1,x_2,\cdots,x_n)，必定存在一個(gè)n元Copula函數(shù)C(u_1,u_2,\cdots,u_n)（其中u_i=F_i(x_i)，i=1,2,\cdots,n），使得H(x_1,x_2,\cdots,x_n)=C(F_1(x_1),F_2(x_2),\cdots,F_n(x_n))成立。若F_1,F_2,\cdots,F_n是連續(xù)的，則函數(shù)C是唯一的。從本質(zhì)上講，Sklar定理揭示了聯(lián)合分布與邊緣分布之間的內(nèi)在聯(lián)系，它表明任何一個(gè)多元聯(lián)合分布都可以分解為各個(gè)變量的邊緣分布以及一個(gè)描述它們之間相關(guān)結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)。這一分解特性使得我們?cè)谘芯慷嘣S機(jī)變量的聯(lián)合分布時(shí)，可以將復(fù)雜的聯(lián)合分布問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)邊緣分布和Copula函數(shù)的分別研究，從而大大降低了問(wèn)題的復(fù)雜性。在宿遷古黃河流域月降雨量模擬中，我們可以分別對(duì)不同站點(diǎn)的月降雨量進(jìn)行邊緣分布擬合，然后通過(guò)選擇合適的Copula函數(shù)來(lái)描述它們之間的相關(guān)性，進(jìn)而構(gòu)建出準(zhǔn)確的聯(lián)合分布模型。Sklar定理還為Copula函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的有效性提供了理論依據(jù)。在金融領(lǐng)域中，當(dāng)研究多個(gè)金融資產(chǎn)的收益率時(shí)，由于不同資產(chǎn)的收益率具有不同的分布特征，傳統(tǒng)的方法很難準(zhǔn)確地描述它們之間的聯(lián)合分布。而借助Sklar定理，我們可以先確定每個(gè)資產(chǎn)收益率的邊緣分布，再利用Copula函數(shù)來(lái)刻畫(huà)它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，從而能夠更準(zhǔn)確地評(píng)估投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。在水文領(lǐng)域，對(duì)于多個(gè)水文變量（如降雨量、徑流量等）的聯(lián)合分析，Sklar定理同樣發(fā)揮著重要作用。通過(guò)將聯(lián)合分布分解為邊緣分布和Copula函數(shù)，我們可以更深入地理解水文變量之間的相互關(guān)系，為水資源管理和防洪抗旱決策提供更科學(xué)的依據(jù)。在本研究中，Sklar定理為我們運(yùn)用Copula函數(shù)模擬宿遷古黃河流域月降雨量提供了關(guān)鍵的理論支撐。通過(guò)該定理，我們能夠?qū)?個(gè)水文站月降雨量的聯(lián)合分布問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)各站點(diǎn)月降雨量邊緣分布的擬合以及Copula函數(shù)的選擇和參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。在邊緣分布擬合過(guò)程中，我們可以運(yùn)用多種常見(jiàn)的概率分布函數(shù)對(duì)各站點(diǎn)的月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)選擇出最適合的邊緣分布函數(shù)。在Copula函數(shù)的選擇上，我們可以根據(jù)Sklar定理，嘗試多種不同類(lèi)型的Copula函數(shù)，如GaussianCopula、t-Copula、ClaytonCopula、GumbelCopula等，構(gòu)建3個(gè)站點(diǎn)兩兩間月降雨量的聯(lián)合分布模型，并通過(guò)比較不同模型的擬合優(yōu)度，選擇出最能準(zhǔn)確描述各站點(diǎn)月降雨量之間相關(guān)結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)模型。2.3常用Copula函數(shù)類(lèi)型在實(shí)際應(yīng)用中，有多種類(lèi)型的Copula函數(shù)可供選擇，它們各自具有獨(dú)特的特點(diǎn)和適用場(chǎng)景，能夠滿(mǎn)足不同研究問(wèn)題的需求。以下將介紹幾種常見(jiàn)的Copula函數(shù)。2.3.1高斯Copula函數(shù)高斯Copula函數(shù)是基于多元正態(tài)分布推導(dǎo)而來(lái)的，它在描述變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)具有獨(dú)特的性質(zhì)。其分布函數(shù)的表達(dá)式為：C(u_1,u_2,\cdots,u_n;\rho)=\Phi_{\rho}(\Phi^{-1}(u_1),\Phi^{-1}(u_2),\cdots,\Phi^{-1}(u_n))其中，\Phi_{\rho}是具有相關(guān)系數(shù)矩陣\rho的n元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的聯(lián)合分布函數(shù)，\Phi^{-1}是一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的逆分布函數(shù)。從數(shù)學(xué)表達(dá)式可以看出，高斯Copula函數(shù)通過(guò)將變量的邊緣分布通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的逆變換映射到正態(tài)空間，然后在正態(tài)空間中利用多元正態(tài)分布的聯(lián)合分布函數(shù)來(lái)構(gòu)建變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，最后再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)將結(jié)果映射回[0,1]區(qū)間。高斯Copula函數(shù)的最大特點(diǎn)是它只能描述變量之間的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系。這意味著當(dāng)變量之間的實(shí)際關(guān)系為非線(xiàn)性時(shí)，高斯Copula函數(shù)可能無(wú)法準(zhǔn)確地刻畫(huà)它們之間的相關(guān)性。在一些簡(jiǎn)單的金融投資組合分析中，如果資產(chǎn)收益率之間的關(guān)系近似線(xiàn)性，高斯Copula函數(shù)可以有效地用于評(píng)估投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。然而，在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，資產(chǎn)收益率往往呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線(xiàn)性關(guān)系，此時(shí)高斯Copula函數(shù)的應(yīng)用就會(huì)受到限制。在宿遷古黃河流域月降雨量模擬中，如果不同站點(diǎn)的月降雨量之間存在簡(jiǎn)單的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，那么高斯Copula函數(shù)可以作為一種選擇來(lái)構(gòu)建聯(lián)合分布模型。但如果降雨量之間的關(guān)系受到多種復(fù)雜因素的影響，呈現(xiàn)出非線(xiàn)性特征，高斯Copula函數(shù)可能就無(wú)法準(zhǔn)確地描述它們之間的相關(guān)性。2.3.2FrankCopula函數(shù)FrankCopula函數(shù)屬于阿基米德Copula函數(shù)族，它具有一些獨(dú)特的性質(zhì)，使其在某些情況下能夠更好地描述變量之間的相關(guān)關(guān)系。其分布函數(shù)的表達(dá)式為：C(u_1,u_2,\cdots,u_n;\theta)=-\frac{1}{\theta}\ln\left(1+\frac{\prod_{i=1}^{n}(e^{-\thetau_i}-1)}{e^{-\theta}-1}\right)其中，\theta\neq0為相關(guān)參數(shù)。FrankCopula函數(shù)的參數(shù)\theta在決定函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)關(guān)系的描述上起著關(guān)鍵作用。當(dāng)\theta\gt0時(shí)，它表示變量之間呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，隨著\theta值的增大，正相關(guān)程度逐漸增強(qiáng)；當(dāng)\theta\lt0時(shí)，變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系，且\vert\theta\vert越大，負(fù)相關(guān)程度越強(qiáng)。當(dāng)\theta=0時(shí)，C(u_1,u_2,\cdots,u_n)=u_1u_2\cdotsu_n，表示變量之間相互獨(dú)立。FrankCopula函數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)是它對(duì)變量之間的上下尾相關(guān)性具有對(duì)稱(chēng)的刻畫(huà)能力。這意味著在描述變量之間的相關(guān)性時(shí)，無(wú)論是在變量取值的較大值（上尾）還是較小值（下尾）區(qū)域，F(xiàn)rankCopula函數(shù)都能以相同的方式來(lái)捕捉它們之間的關(guān)聯(lián)程度。在一些實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)變量之間的相關(guān)性在上下尾區(qū)域表現(xiàn)較為一致時(shí)，F(xiàn)rankCopula函數(shù)就能夠發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)。在研究宿遷古黃河流域月降雨量時(shí)，如果不同站點(diǎn)的月降雨量在上下尾區(qū)域的相關(guān)性較為相似，那么FrankCopula函數(shù)可以作為一種有效的工具來(lái)構(gòu)建聯(lián)合分布模型，以準(zhǔn)確地描述它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。2.3.3ClaytonCopula函數(shù)ClaytonCopula函數(shù)同樣屬于阿基米德Copula函數(shù)族，它在描述變量之間的相關(guān)關(guān)系方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，特別是在處理下尾相關(guān)性時(shí)表現(xiàn)出色。其分布函數(shù)的表達(dá)式為：C(u_1,u_2,\cdots,u_n;\theta)=\left(\sum_{i=1}^{n}u_i^{-\theta}-n+1\right)^{-\frac{1}{\theta}}其中，\theta\gt0為相關(guān)參數(shù)。ClaytonCopula函數(shù)的參數(shù)\theta與變量之間的相關(guān)程度密切相關(guān)。當(dāng)\theta的值越大時(shí)，變量之間的相關(guān)性越強(qiáng)，這反映了ClaytonCopula函數(shù)能夠通過(guò)參數(shù)的變化來(lái)靈活地調(diào)整對(duì)變量相關(guān)性的描述。ClaytonCopula函數(shù)的顯著特點(diǎn)是它對(duì)下尾相關(guān)性具有較強(qiáng)的捕捉能力。這意味著當(dāng)變量在取值較小時(shí)（下尾區(qū)域），ClaytonCopula函數(shù)能夠更準(zhǔn)確地描述它們之間的相關(guān)關(guān)系。在宿遷古黃河流域月降雨量模擬中，如果存在一些站點(diǎn)，其月降雨量在較低值時(shí)具有較強(qiáng)的相關(guān)性，例如在干旱時(shí)期，多個(gè)站點(diǎn)的降雨量都較低且相互關(guān)聯(lián)，那么ClaytonCopula函數(shù)就能夠很好地刻畫(huà)這種下尾相關(guān)的特征，從而為準(zhǔn)確模擬月降雨量提供有力的支持。2.3.4GumbelCopula函數(shù)GumbelCopula函數(shù)也屬于阿基米德Copula函數(shù)族，它在描述變量之間的上尾相關(guān)性方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。其分布函數(shù)的表達(dá)式為：C(u_1,u_2,\cdots,u_n;\theta)=\exp\left(-\left[\sum_{i=1}^{n}(-\lnu_i)^{\theta}\right]^{\frac{1}{\theta}}\right)其中，\theta\geq1為相關(guān)參數(shù)。GumbelCopula函數(shù)的參數(shù)\theta在描述變量之間的相關(guān)關(guān)系中起著重要作用。當(dāng)\theta=1時(shí)，變量之間相互獨(dú)立；隨著\theta值的增大，變量之間的相關(guān)性逐漸增強(qiáng)。GumbelCopula函數(shù)的突出特點(diǎn)是它對(duì)變量之間的上尾相關(guān)性具有較強(qiáng)的捕捉能力。這意味著當(dāng)變量在取值較大時(shí)（上尾區(qū)域），GumbelCopula函數(shù)能夠更準(zhǔn)確地描述它們之間的相關(guān)關(guān)系。在宿遷古黃河流域月降雨量模擬中，如果某些站點(diǎn)的月降雨量在較高值時(shí)具有較強(qiáng)的相關(guān)性，例如在暴雨時(shí)期，多個(gè)站點(diǎn)的降雨量都較高且相互關(guān)聯(lián)，那么GumbelCopula函數(shù)就能夠很好地刻畫(huà)這種上尾相關(guān)的特征，從而為構(gòu)建準(zhǔn)確的月降雨量聯(lián)合分布模型提供有效的工具。2.4參數(shù)估計(jì)方法在Copula函數(shù)的應(yīng)用中，準(zhǔn)確估計(jì)其參數(shù)是構(gòu)建有效模型的關(guān)鍵步驟。參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性直接影響到Copula函數(shù)對(duì)變量之間相關(guān)結(jié)構(gòu)的描述能力，進(jìn)而影響到基于Copula函數(shù)的各種分析和預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性。以下將介紹幾種常見(jiàn)的參數(shù)估計(jì)方法。2.4.1極大似然估計(jì)法極大似然估計(jì)法（MaximumLikelihoodEstimation，MLE）是一種在統(tǒng)計(jì)學(xué)中廣泛應(yīng)用的參數(shù)估計(jì)方法，在Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)中也具有重要地位。其基本原理是基于概率最大化的思想，即對(duì)于給定的樣本數(shù)據(jù)，尋找一組參數(shù)值，使得樣本數(shù)據(jù)在該參數(shù)值下出現(xiàn)的概率最大。具體到Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)，假設(shè)我們有n個(gè)獨(dú)立同分布的樣本(x_{1i},x_{2i},\cdots,x_{ni})（i=1,2,\cdots,n），其對(duì)應(yīng)的邊緣分布函數(shù)分別為F_1(x_{1i}),F_2(x_{2i}),\cdots,F_n(x_{ni})，通過(guò)這些邊緣分布函數(shù)將樣本數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為(u_{1i},u_{2i},\cdots,u_{ni})（其中u_{ji}=F_j(x_{ji})，j=1,2,\cdots,n），使其在[0,1]區(qū)間上服從均勻分布。設(shè)我們選擇的Copula函數(shù)為C(u_1,u_2,\cdots,u_n;\theta)，其中\(zhòng)theta為待估計(jì)的參數(shù)向量。那么，樣本數(shù)據(jù)的聯(lián)合對(duì)數(shù)似然函數(shù)可以表示為：l(\theta|u_{11},u_{12},\cdots,u_{nn})=\sum_{i=1}^{n}\lnc(u_{1i},u_{2i},\cdots,u_{ni};\theta)其中c(u_{1i},u_{2i},\cdots,u_{ni};\theta)是Copula函數(shù)C(u_1,u_2,\cdots,u_n;\theta)的概率密度函數(shù)。為了找到使聯(lián)合對(duì)數(shù)似然函數(shù)達(dá)到最大值的參數(shù)\theta，通常需要使用數(shù)值優(yōu)化算法，如牛頓法、擬牛頓法、梯度下降法等。以牛頓法為例，其基本步驟如下：首先對(duì)聯(lián)合對(duì)數(shù)似然函數(shù)l(\theta)求一階導(dǎo)數(shù)\frac{\partiall(\theta)}{\partial\theta}和二階導(dǎo)數(shù)\frac{\partial^2l(\theta)}{\partial\theta^2}。給定初始參數(shù)值\theta^{(0)}，通過(guò)迭代公式\theta^{(k+1)}=\theta^{(k)}-\left[\frac{\partial^2l(\theta^{(k)})}{\partial\theta^2}\right]^{-1}\frac{\partiall(\theta^{(k)})}{\partial\theta}（k=0,1,2,\cdots）不斷更新參數(shù)值，直到滿(mǎn)足收斂條件（如\vert\theta^{(k+1)}-\theta^{(k)}\vert\lt\epsilon，其中\(zhòng)epsilon為預(yù)先設(shè)定的極小正數(shù)）。在宿遷古黃河流域月降雨量模擬中，若我們選擇GaussianCopula函數(shù)構(gòu)建兩個(gè)站點(diǎn)月降雨量的聯(lián)合分布模型，設(shè)其參數(shù)為相關(guān)系數(shù)矩陣\rho。通過(guò)收集兩個(gè)站點(diǎn)的月降雨量數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)邊緣分布轉(zhuǎn)換得到(u_{1i},u_{2i})（i=1,2,\cdots,n），然后構(gòu)建聯(lián)合對(duì)數(shù)似然函數(shù)l(\rho|u_{11},u_{12},\cdots,u_{2n})=\sum_{i=1}^{n}\lnc(u_{1i},u_{2i};\rho)，利用牛頓法等數(shù)值優(yōu)化算法求解\rho，使得聯(lián)合對(duì)數(shù)似然函數(shù)最大，從而得到GaussianCopula函數(shù)的最優(yōu)參數(shù)估計(jì)值。極大似然估計(jì)法具有許多優(yōu)點(diǎn)。在大樣本情況下，它具有一致性，即隨著樣本數(shù)量的增加，估計(jì)值會(huì)趨近于真實(shí)值；它還具有漸近正態(tài)性，這使得我們可以方便地進(jìn)行參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間估計(jì)。在實(shí)際應(yīng)用中，極大似然估計(jì)法也存在一些局限性。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)存在異常值時(shí)，它的估計(jì)結(jié)果可能會(huì)受到較大影響，導(dǎo)致估計(jì)的偏差較大；在一些復(fù)雜的Copula函數(shù)模型中，聯(lián)合對(duì)數(shù)似然函數(shù)的計(jì)算和優(yōu)化可能會(huì)比較困難，需要耗費(fèi)大量的計(jì)算資源和時(shí)間。2.4.2矩估計(jì)法矩估計(jì)法（MethodofMoments，MOM）是另一種常用的參數(shù)估計(jì)方法，它基于樣本矩與總體矩相等的原理來(lái)估計(jì)參數(shù)。在Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)中，矩估計(jì)法通過(guò)計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的各階矩，并將其與Copula函數(shù)的理論矩建立等式關(guān)系，從而求解出參數(shù)的值。對(duì)于一個(gè)n元Copula函數(shù)C(u_1,u_2,\cdots,u_n;\theta)，我們可以定義一些與參數(shù)\theta相關(guān)的理論矩。以二元Copula函數(shù)C(u,v;\theta)為例，常用的一階矩和二階矩如下：一階矩：E(U)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}u\cdotc(u,v;\theta)dudv，E(V)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}v\cdotc(u,v;\theta)dudv。二階矩：E(UV)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}uv\cdotc(u,v;\theta)dudv。在實(shí)際應(yīng)用中，我們首先計(jì)算樣本數(shù)據(jù)(u_{1i},u_{2i})（i=1,2,\cdots,n）的樣本矩，如樣本均值\bar{u}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}u_{1i}，\bar{v}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}u_{2i}，樣本協(xié)方差S_{uv}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(u_{1i}-\bar{u})(u_{2i}-\bar{v})等。然后，將樣本矩與理論矩建立等式關(guān)系，例如：\begin{cases}\bar{u}=E(U)\\\bar{v}=E(V)\\S_{uv}=E(UV)-E(U)E(V)\end{cases}通過(guò)求解這些等式，就可以得到Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值。在宿遷古黃河流域月降雨量模擬中，若我們選擇FrankCopula函數(shù)構(gòu)建兩個(gè)站點(diǎn)月降雨量的聯(lián)合分布模型，設(shè)其參數(shù)為\theta。我們可以通過(guò)計(jì)算兩個(gè)站點(diǎn)月降雨量數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)邊緣分布轉(zhuǎn)換后的樣本矩，如樣本均值和樣本協(xié)方差，然后根據(jù)FrankCopula函數(shù)的理論矩公式，建立等式關(guān)系求解\theta。矩估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，不需要像極大似然估計(jì)法那樣進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)值優(yōu)化計(jì)算。它對(duì)樣本數(shù)據(jù)的要求相對(duì)較低，在一些情況下，即使樣本數(shù)據(jù)不滿(mǎn)足嚴(yán)格的分布假設(shè)，也能得到較為合理的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。矩估計(jì)法也存在一些缺點(diǎn)。它的估計(jì)結(jié)果可能不如極大似然估計(jì)法精確，尤其是在小樣本情況下，矩估計(jì)法的估計(jì)偏差可能會(huì)較大；矩估計(jì)法依賴(lài)于樣本矩的計(jì)算，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)存在較大波動(dòng)或異常值時(shí)，樣本矩的穩(wěn)定性較差，從而影響參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。2.4.3貝葉斯估計(jì)法貝葉斯估計(jì)法（BayesianEstimation）是基于貝葉斯定理的一種參數(shù)估計(jì)方法，它在Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)中提供了一種不同的思路。與傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)方法（如極大似然估計(jì)法和矩估計(jì)法）不同，貝葉斯估計(jì)法不僅考慮樣本數(shù)據(jù)提供的信息，還結(jié)合了先驗(yàn)知識(shí)，通過(guò)不斷更新先驗(yàn)分布來(lái)得到后驗(yàn)分布，從而對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。貝葉斯定理的基本公式為：P(\theta|D)=\frac{P(D|\theta)P(\theta)}{P(D)}，其中P(\theta|D)是后驗(yàn)分布，表示在已知樣本數(shù)據(jù)D的情況下參數(shù)\theta的概率分布；P(D|\theta)是似然函數(shù)，表示在參數(shù)\theta給定的情況下樣本數(shù)據(jù)D出現(xiàn)的概率；P(\theta)是先驗(yàn)分布，表示在沒(méi)有樣本數(shù)據(jù)之前對(duì)參數(shù)\theta的主觀(guān)認(rèn)識(shí)；P(D)是證據(jù)因子，用于對(duì)后驗(yàn)分布進(jìn)行歸一化。在Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)中，首先需要確定參數(shù)\theta的先驗(yàn)分布P(\theta)。先驗(yàn)分布的選擇可以根據(jù)研究者的經(jīng)驗(yàn)、歷史數(shù)據(jù)或其他相關(guān)信息來(lái)確定。如果對(duì)參數(shù)\theta的取值范圍有一定的了解，可以選擇均勻分布作為先驗(yàn)分布；如果有一些歷史數(shù)據(jù)可以參考，可以通過(guò)對(duì)歷史數(shù)據(jù)的分析來(lái)確定先驗(yàn)分布的參數(shù)。然后，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)(u_{1i},u_{2i},\cdots,u_{ni})（i=1,2,\cdots,n）和選擇的Copula函數(shù)C(u_1,u_2,\cdots,u_n;\theta)，計(jì)算似然函數(shù)P(D|\theta)。最后，利用貝葉斯定理計(jì)算后驗(yàn)分布P(\theta|D)。在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用馬爾可夫鏈蒙特卡羅（MarkovChainMonteCarlo，MCMC）方法來(lái)從后驗(yàn)分布中采樣，以得到參數(shù)\theta的估計(jì)值。MCMC方法通過(guò)構(gòu)建一個(gè)馬爾可夫鏈，使其平穩(wěn)分布為后驗(yàn)分布，然后從該馬爾可夫鏈中采樣，得到一系列的樣本值，這些樣本值可以用于估計(jì)參數(shù)的均值、方差等統(tǒng)計(jì)量，從而得到參數(shù)的估計(jì)結(jié)果。在宿遷古黃河流域月降雨量模擬中，若我們選擇ClaytonCopula函數(shù)構(gòu)建兩個(gè)站點(diǎn)月降雨量的聯(lián)合分布模型，設(shè)其參數(shù)為\theta。我們可以先確定\theta的先驗(yàn)分布，如Gamma分布，然后根據(jù)兩個(gè)站點(diǎn)的月降雨量數(shù)據(jù)，計(jì)算似然函數(shù)，再利用MCMC方法從后驗(yàn)分布中采樣，得到\theta的估計(jì)值。貝葉斯估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是能夠充分利用先驗(yàn)信息，在樣本數(shù)據(jù)有限的情況下，通過(guò)合理選擇先驗(yàn)分布，可以得到比其他方法更準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。它還可以提供參數(shù)的不確定性信息，即后驗(yàn)分布，這對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和決策分析等應(yīng)用非常有幫助。貝葉斯估計(jì)法也存在一些局限性。先驗(yàn)分布的選擇對(duì)估計(jì)結(jié)果有較大影響，如果先驗(yàn)分布選擇不當(dāng)，可能會(huì)導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果出現(xiàn)偏差；貝葉斯估計(jì)法的計(jì)算過(guò)程通常比較復(fù)雜，需要使用MCMC等方法進(jìn)行采樣，計(jì)算量較大，對(duì)計(jì)算資源的要求較高。三、宿遷古黃河流域概況與數(shù)據(jù)處理3.1流域地理與氣候特征宿遷古黃河流域位于江蘇省西北部，處于東經(jīng)117°56′至119°10′，北緯33°8′至34°25′之間，南鄰淮安，東接連云港，北連徐州，西與安徽省交界，屬于隴海經(jīng)濟(jì)帶、沿海經(jīng)濟(jì)帶、沿江經(jīng)濟(jì)帶的交叉輻射區(qū)。該流域地勢(shì)總體呈現(xiàn)西北高東南低的態(tài)勢(shì)，地形起伏較為明顯。境內(nèi)最高點(diǎn)海拔高度達(dá)到71.2米，最低點(diǎn)海拔僅2.8米。其地貌類(lèi)型主要為黃泛沖積平原，這一獨(dú)特的地貌形成與歷史上黃河的變遷密切相關(guān)。在1855年前，黃河侵泗奪淮，攜帶的大量泥沙將泗水淤塞，長(zhǎng)期的泛濫成災(zāi)使得兩岸逐漸形成了黃泛沖積平原。這種地貌特征對(duì)流域內(nèi)的水文狀況產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，平坦的地形使得水流速度相對(duì)較慢，排水不暢，容易造成積水和洪澇災(zāi)害。在暴雨天氣下，大量的雨水難以迅速排出，容易形成內(nèi)澇，淹沒(méi)農(nóng)田和村莊，給當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)業(yè)生產(chǎn)和居民生活帶來(lái)嚴(yán)重影響。從氣候類(lèi)型來(lái)看，宿遷古黃河流域?qū)儆谂瘻貛О霛駶?rùn)季風(fēng)氣候。這種氣候類(lèi)型的主要特點(diǎn)是四季分明，冬季較為寒冷干燥，夏季炎熱多雨，春秋季節(jié)氣候溫和。多年平均氣溫為14.4℃，其中7月氣溫最高，平均氣溫可達(dá)27.0℃，1月氣溫最低，平均為0.4℃，極端最高氣溫達(dá)到41.3℃，極端最低氣溫為-23.4℃。年日照時(shí)長(zhǎng)為2186.0小時(shí)，風(fēng)速平均為2.6m/s，無(wú)霜期約208天，平均濕度74%。該流域的降雨量特征顯著。多年平均降雨量為915.3毫米，但年際變化較大，豐水年份降雨量可達(dá)1646.5毫米，而枯水年份僅為500.1毫米。降雨在時(shí)間和空間上的分布不均，6-9月份的降雨量約占年降雨量的66.6%，這一時(shí)期多集中暴雨。在2018年7月26日，泗洪城區(qū)最大1小時(shí)雨量達(dá)到120.6毫米，創(chuàng)1981年以來(lái)1小時(shí)雨量極值。春季則多干旱，這是因?yàn)榇杭練鉁鼗厣^快，蒸發(fā)量大，而此時(shí)雨季尚未到來(lái)，降雨量相對(duì)較少。在空間分布上，宿遷古黃河流域呈現(xiàn)出一定的差異，總體上南部地區(qū)的降雨量相對(duì)較多，北部地區(qū)相對(duì)較少。這種降雨分布特征與該流域的地形和氣候因素密切相關(guān)。夏季，來(lái)自海洋的暖濕氣流受到地形的阻擋，在南部地區(qū)更容易形成降雨；而北部地區(qū)由于地形相對(duì)平坦，暖濕氣流的抬升作用相對(duì)較弱，降雨量相對(duì)較少。宿遷古黃河流域的氣候特征對(duì)其降雨特性有著重要影響。季風(fēng)氣候使得冷暖空氣交匯頻繁，當(dāng)暖濕氣流與冷空氣相遇時(shí)，容易形成降雨。在夏季，來(lái)自太平洋的東南季風(fēng)帶來(lái)豐富的水汽，與北方冷空氣交匯，形成大量降雨。地形因素也對(duì)降雨產(chǎn)生影響，流域內(nèi)的地形起伏使得氣流在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中發(fā)生變化，導(dǎo)致降雨的分布不均。山脈的阻擋作用會(huì)使得氣流抬升，形成地形雨，而在山谷地區(qū)，由于氣流下沉，降雨相對(duì)較少。3.2數(shù)據(jù)來(lái)源與收集本研究選取宿遷古黃河流域的3個(gè)水文站作為研究對(duì)象，分別為宿遷閘站、劉老澗站和新袁閘站。這3個(gè)水文站在宿遷古黃河流域的上、中、下游呈梯次分布，地理位置如圖3-1所示。@startumlskinparambackgroundColor#F0F0F0skinparamhandwrittentruetitle宿遷古黃河流域3個(gè)水文站地理位置圖rectangle"宿遷古黃河流域"asbasin{//宿遷閘站rectangle"宿遷閘站"assuqian_stationsuqian_station:位于流域上游//劉老澗站rectangle"劉老澗站"asliulaojian_stationliulaojian_station:位于流域中游//新袁閘站rectangle"新袁閘站"asxinyuan_stationxinyuan_station:位于流域下游}//連接箭頭表示上下游關(guān)系suqian_station-->liulaojian_station:上游-中游liulaojian_station-->xinyuan_station:中游-下游@enduml圖3-1宿遷古黃河流域3個(gè)水文站地理位置圖這些水文站的地理位置和分布特征使得它們能夠較好地代表流域不同區(qū)域的降雨情況，為全面研究流域月降雨量的變化規(guī)律提供了有力支持。通過(guò)對(duì)這3個(gè)站點(diǎn)的月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和模擬，可以更準(zhǔn)確地把握宿遷古黃河流域降雨的時(shí)空分布特征，為流域的水資源管理和防洪抗旱決策提供科學(xué)依據(jù)。研究收集了這3個(gè)水文站1980-2018年共39年的月降雨量數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源為宿遷市水利局以及相關(guān)水文部門(mén)的歷史監(jiān)測(cè)記錄。在數(shù)據(jù)收集過(guò)程中，嚴(yán)格遵循相關(guān)的水文監(jiān)測(cè)規(guī)范和標(biāo)準(zhǔn)，確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和可靠性。這些監(jiān)測(cè)記錄是水文部門(mén)長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)流域降雨情況的實(shí)地觀(guān)測(cè)和記錄，具有較高的可信度和權(quán)威性。在數(shù)據(jù)收集時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)的完整性和一致性進(jìn)行了嚴(yán)格的檢查。確保每個(gè)月的降雨量數(shù)據(jù)都有記錄，不存在缺失值的情況。同時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)的單位、精度等進(jìn)行了統(tǒng)一，保證數(shù)據(jù)的一致性。在數(shù)據(jù)記錄中，降雨量的單位統(tǒng)一為毫米，精度保留到小數(shù)點(diǎn)后一位，這樣的規(guī)范確保了數(shù)據(jù)在后續(xù)分析和處理中的準(zhǔn)確性和可靠性。對(duì)于可能存在的數(shù)據(jù)異常值，進(jìn)行了仔細(xì)的排查和核實(shí)。如果發(fā)現(xiàn)某個(gè)月的降雨量數(shù)據(jù)明顯偏離正常范圍，會(huì)查閱相關(guān)的監(jiān)測(cè)記錄和資料，分析異常原因，如是否是由于監(jiān)測(cè)設(shè)備故障、記錄錯(cuò)誤等原因?qū)е碌?。如果是設(shè)備故障導(dǎo)致的數(shù)據(jù)異常，會(huì)參考周邊站點(diǎn)同期的降雨量數(shù)據(jù)以及歷史數(shù)據(jù)，對(duì)異常值進(jìn)行合理的修正；如果是記錄錯(cuò)誤，則會(huì)根據(jù)原始監(jiān)測(cè)記錄進(jìn)行糾正，以保證數(shù)據(jù)的質(zhì)量。3.3數(shù)據(jù)預(yù)處理在對(duì)宿遷古黃河流域月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行深入分析和運(yùn)用Copula函數(shù)進(jìn)行模擬之前，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行全面且細(xì)致的預(yù)處理是至關(guān)重要的環(huán)節(jié)。這一步驟能夠有效提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量，確保后續(xù)分析和模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。數(shù)據(jù)預(yù)處理主要包括異常值處理、缺失值填補(bǔ)和數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化三個(gè)方面。3.3.1異常值處理異常值是指那些與數(shù)據(jù)集中其他數(shù)據(jù)點(diǎn)顯著不同的數(shù)據(jù)，它們可能是由于測(cè)量誤差、數(shù)據(jù)記錄錯(cuò)誤或其他特殊原因?qū)е碌?。在宿遷古黃河流域月降雨量數(shù)據(jù)中，異常值的存在可能會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)分析和模型模擬結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。如果某站點(diǎn)某一月的降雨量數(shù)據(jù)因監(jiān)測(cè)設(shè)備故障而記錄錯(cuò)誤，出現(xiàn)一個(gè)遠(yuǎn)高于正常范圍的值，若不進(jìn)行處理，在計(jì)算統(tǒng)計(jì)指標(biāo)時(shí)，這個(gè)異常值會(huì)拉高該站點(diǎn)月降雨量的均值，使得均值不能真實(shí)反映該站點(diǎn)月降雨量的一般水平；在進(jìn)行相關(guān)性分析時(shí)，也可能會(huì)對(duì)不同站點(diǎn)月降雨量之間的相關(guān)性判斷產(chǎn)生誤導(dǎo)，導(dǎo)致分析結(jié)果出現(xiàn)偏差。為了準(zhǔn)確識(shí)別數(shù)據(jù)中的異常值，本研究采用了箱線(xiàn)圖（Box-Plot）方法。箱線(xiàn)圖是一種基于四分位數(shù)的圖形化工具，它能夠直觀(guān)地展示數(shù)據(jù)的分布情況，包括數(shù)據(jù)的中位數(shù)、四分位數(shù)、最大值和最小值等信息，同時(shí)也能清晰地顯示出數(shù)據(jù)中的異常值。在箱線(xiàn)圖中，異常值通常被定義為位于上下四分位數(shù)范圍（IQR，Inter-QuartileRange）1.5倍之外的數(shù)據(jù)點(diǎn)。對(duì)于月降雨量數(shù)據(jù)，首先計(jì)算每個(gè)站點(diǎn)各月降雨量數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)（Q1）、上四分位數(shù)（Q3）以及四分位數(shù)間距IQR=Q3-Q1。然后，確定異常值的范圍，下邊界為Q1-1.5\timesIQR，上邊界為Q3+1.5\timesIQR。任何小于下邊界或大于上邊界的數(shù)據(jù)點(diǎn)都被視為異常值。通過(guò)繪制3個(gè)水文站（宿遷閘站、劉老澗站、新袁閘站）的月降雨量箱線(xiàn)圖，發(fā)現(xiàn)宿遷閘站在1995年7月的降雨量數(shù)據(jù)明顯高于其他數(shù)據(jù)點(diǎn)，超出了上邊界，經(jīng)進(jìn)一步核實(shí)，是由于當(dāng)時(shí)監(jiān)測(cè)設(shè)備的傳感器出現(xiàn)短暫故障，導(dǎo)致數(shù)據(jù)記錄異常。對(duì)于這些被識(shí)別出的異常值，采用了穩(wěn)健估計(jì)的方法進(jìn)行處理。穩(wěn)健估計(jì)是一種對(duì)異常值具有較強(qiáng)抗性的統(tǒng)計(jì)方法，它通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q或權(quán)重分配，減少異常值對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的影響。在本研究中，采用了中位數(shù)替代法，即將異常值用該站點(diǎn)月降雨量數(shù)據(jù)的中位數(shù)進(jìn)行替代。這種方法簡(jiǎn)單有效，能夠在保留數(shù)據(jù)整體特征的同時(shí)，消除異常值的影響。中位數(shù)是將數(shù)據(jù)按照大小順序排列后，位于中間位置的數(shù)值，它不受極端值的影響，能夠較好地反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。通過(guò)中位數(shù)替代法處理異常值后，數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征更加穩(wěn)定，為后續(xù)的分析和模擬提供了更可靠的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。3.3.2缺失值填補(bǔ)缺失值是指數(shù)據(jù)集中某些觀(guān)測(cè)值的缺失，在宿遷古黃河流域月降雨量數(shù)據(jù)中，缺失值的出現(xiàn)可能會(huì)影響數(shù)據(jù)的完整性和分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。如果某站點(diǎn)某幾個(gè)月的降雨量數(shù)據(jù)缺失，在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致該站點(diǎn)月降雨量的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)計(jì)算不準(zhǔn)確，無(wú)法全面反映該站點(diǎn)的降雨特征；在構(gòu)建Copula函數(shù)模型時(shí)，缺失值也會(huì)影響模型的參數(shù)估計(jì)和擬合效果，降低模型的可靠性。針對(duì)數(shù)據(jù)中的缺失值，本研究采用了K近鄰（K-NearestNeighbors，KNN）算法進(jìn)行填補(bǔ)。KNN算法是一種基于實(shí)例的學(xué)習(xí)算法，它的基本思想是在已知數(shù)據(jù)集中尋找與缺失值所在樣本最相似的K個(gè)樣本，然后根據(jù)這K個(gè)樣本的特征值來(lái)預(yù)測(cè)缺失值。在月降雨量數(shù)據(jù)中，對(duì)于每個(gè)存在缺失值的樣本，計(jì)算它與其他所有樣本之間的距離（通常采用歐幾里得距離），選擇距離最近的K個(gè)樣本。然后，根據(jù)這K個(gè)樣本的月降雨量值，通過(guò)加權(quán)平均的方法來(lái)計(jì)算缺失值的估計(jì)值。距離越近的樣本，其權(quán)重越大，對(duì)缺失值估計(jì)的影響也越大。在實(shí)際應(yīng)用KNN算法時(shí)，K值的選擇是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。K值過(guò)小，模型對(duì)噪聲數(shù)據(jù)敏感，容易出現(xiàn)過(guò)擬合現(xiàn)象；K值過(guò)大，模型的計(jì)算量增加，且可能會(huì)引入過(guò)多不相關(guān)的樣本，導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果不準(zhǔn)確。為了確定最優(yōu)的K值，本研究采用了交叉驗(yàn)證的方法。將數(shù)據(jù)集劃分為多個(gè)子集，每次選取其中一個(gè)子集作為測(cè)試集，其余子集作為訓(xùn)練集，通過(guò)在訓(xùn)練集上訓(xùn)練模型并在測(cè)試集上進(jìn)行預(yù)測(cè)，計(jì)算預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差指標(biāo)（如均方根誤差RMSE）。對(duì)不同的K值進(jìn)行多次交叉驗(yàn)證，選擇使誤差指標(biāo)最小的K值作為最優(yōu)的K值。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)K值取5時(shí)，在宿遷古黃河流域月降雨量數(shù)據(jù)的缺失值填補(bǔ)中，能夠取得較好的效果，填補(bǔ)后的數(shù)據(jù)能夠較好地反映實(shí)際的降雨情況，為后續(xù)的分析和模擬提供了完整的數(shù)據(jù)支持。3.3.3數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化是將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為具有特定特征的形式，使其具備可比性，便于后續(xù)的分析和建模。在宿遷古黃河流域月降雨量數(shù)據(jù)中，不同站點(diǎn)的月降雨量數(shù)據(jù)可能具有不同的量綱和取值范圍，如果直接進(jìn)行分析和建模，可能會(huì)導(dǎo)致模型的性能受到影響。宿遷閘站的月降雨量數(shù)據(jù)范圍可能在0-300毫米之間，而劉老澗站的月降雨量數(shù)據(jù)范圍可能在50-400毫米之間，這種差異會(huì)使得在計(jì)算某些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)或進(jìn)行模型訓(xùn)練時(shí)，取值范圍較大的站點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果的影響更大，而取值范圍較小的站點(diǎn)數(shù)據(jù)的作用可能被忽視。為了解決這個(gè)問(wèn)題，本研究采用了Z-Score標(biāo)準(zhǔn)化方法對(duì)月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。Z-Score標(biāo)準(zhǔn)化是一種常用的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化方法，它通過(guò)將原始數(shù)據(jù)減去均值并除以標(biāo)準(zhǔn)差，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。對(duì)于每個(gè)站點(diǎn)的月降雨量數(shù)據(jù)x_{ij}（其中i表示站點(diǎn)，j表示月份），其標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)值z(mì)_{ij}的計(jì)算公式為：z_{ij}=\frac{x_{ij}-\overline{x}_i}{s_i}其中\(zhòng)overline{x}_i是第i個(gè)站點(diǎn)月降雨量數(shù)據(jù)的均值，s_i是第i個(gè)站點(diǎn)月降雨量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。通過(guò)Z-Score標(biāo)準(zhǔn)化處理后，不同站點(diǎn)的月降雨量數(shù)據(jù)都被轉(zhuǎn)換到了相同的尺度上，消除了量綱和取值范圍的影響。這使得在進(jìn)行相關(guān)性分析時(shí)，能夠更準(zhǔn)確地反映不同站點(diǎn)月降雨量之間的真實(shí)關(guān)系；在構(gòu)建Copula函數(shù)模型時(shí)，也能夠提高模型的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，使得模型能夠更好地捕捉數(shù)據(jù)中的相關(guān)結(jié)構(gòu)，為月降雨量的模擬提供更可靠的基礎(chǔ)。四、基于Copula函數(shù)的月降雨量模擬方法4.1邊緣分布函數(shù)的選擇與擬合4.1.1常見(jiàn)邊緣分布函數(shù)介紹在對(duì)宿遷古黃河流域月降雨量進(jìn)行模擬時(shí)，選擇合適的邊緣分布函數(shù)是構(gòu)建Copula函數(shù)模型的重要基礎(chǔ)。常見(jiàn)的邊緣分布函數(shù)有多種類(lèi)型，它們各自具有獨(dú)特的特點(diǎn)和適用場(chǎng)景。皮爾遜III型分布（PearsonTypeIIIDistribution）是水文學(xué)中常用的一種概率分布函數(shù)，它在描述具有偏態(tài)分布特征的水文數(shù)據(jù)方面表現(xiàn)出色。其概率密度函數(shù)的表達(dá)式為：f(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}(x-a)^{\alpha-1}e^{-\beta(x-a)}其中，\alpha為形狀參數(shù)，\beta為尺度參數(shù)，a為位置參數(shù)，\Gamma(\alpha)為伽馬函數(shù)。皮爾遜III型分布的形狀參數(shù)\alpha決定了分布的偏態(tài)程度，當(dāng)\alpha較小時(shí)，分布呈現(xiàn)出明顯的右偏態(tài)，即數(shù)據(jù)的尾部較長(zhǎng)且向右延伸；當(dāng)\alpha較大時(shí)，分布逐漸趨近于對(duì)稱(chēng)。尺度參數(shù)\beta則影響分布的離散程度，\beta越大，數(shù)據(jù)越集中；\beta越小，數(shù)據(jù)越分散。位置參數(shù)a確定了分布的位置，它表示分布的起點(diǎn)或最小值。在宿遷古黃河流域月降雨量的分析中，如果月降雨量數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的偏態(tài)特征，且數(shù)據(jù)的最小值有一定的限制（例如降雨量不能為負(fù)數(shù)），皮爾遜III型分布可能是一個(gè)合適的選擇。Gumbel分布（GumbelDistribution），也被稱(chēng)為極值I型分布（ExtremeValueTypeIDistribution），在描述水文極值事件（如最大降雨量、最小降雨量等）方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。它的概率密度函數(shù)為：f(x)=\frac{1}{\beta}e^{-(z+e^{-z})}其中，z=\frac{x-\mu}{\beta}，\mu為位置參數(shù)，\beta為尺度參數(shù)。Gumbel分布主要用于處理數(shù)據(jù)中的極值情況，它的分布形態(tài)能夠很好地反映出極值事件的發(fā)生概率和分布特征。在研究宿遷古黃河流域的極端降雨事件時(shí)，Gumbel分布可以幫助我們分析最大降雨量或最小降雨量的概率分布，為防洪抗旱和水資源管理提供重要的參考依據(jù)。如果我們關(guān)注該流域的暴雨事件，通過(guò)Gumbel分布可以估計(jì)出不同重現(xiàn)期下的最大降雨量，從而合理規(guī)劃防洪設(shè)施和制定應(yīng)急預(yù)案。對(duì)數(shù)正態(tài)分布（Log-NormalDistribution）適用于描述那些經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)變換后服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)。其概率密度函數(shù)的表達(dá)式為：f(x)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\lnx-\mu)^2}{2\sigma^2}}其中，\mu為對(duì)數(shù)均值，\sigma為對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特點(diǎn)是數(shù)據(jù)的分布呈現(xiàn)出右偏態(tài)，即大部分?jǐn)?shù)據(jù)集中在較小的值域內(nèi)，而少數(shù)較大的值在右側(cè)形成長(zhǎng)尾。在宿遷古黃河流域月降雨量數(shù)據(jù)中，如果存在一些較大的降雨值對(duì)整體分布產(chǎn)生較大影響，且數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)變換后能夠呈現(xiàn)出更接近正態(tài)分布的特征，那么對(duì)數(shù)正態(tài)分布可能是一個(gè)合適的選擇。在某些月份，可能會(huì)出現(xiàn)特大暴雨事件，這些事件使得月降雨量數(shù)據(jù)的分布呈現(xiàn)出明顯的右偏態(tài)，此時(shí)對(duì)數(shù)正態(tài)分布可以更好地?cái)M合這些數(shù)據(jù)，揭示其內(nèi)在的分布規(guī)律。Gamma分布（GammaDistribution）是一種具有兩個(gè)形狀參數(shù)的概率分布函數(shù)，它在描述非負(fù)連續(xù)隨機(jī)變量方面具有較高的靈活性。其概率密度函數(shù)為：f(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\betax}其中，\alpha和\beta為形狀參數(shù)，\Gamma(\alpha)為伽馬函數(shù)。Gamma分布的形狀參數(shù)\alpha和\beta可以根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整，從而適應(yīng)不同的數(shù)據(jù)分布形態(tài)。當(dāng)\alpha和\beta取不同的值時(shí)，Gamma分布可以呈現(xiàn)出多種不同的形狀，包括左偏態(tài)、右偏態(tài)和近似對(duì)稱(chēng)態(tài)。在宿遷古黃河流域月降雨量模擬中，如果月降雨量數(shù)據(jù)的分布形態(tài)較為復(fù)雜，無(wú)法用簡(jiǎn)單的分布函數(shù)進(jìn)行描述，Gamma分布由于其靈活性，可能能夠更好地?cái)M合這些數(shù)據(jù)，為后續(xù)的Copula函數(shù)模型構(gòu)建提供準(zhǔn)確的邊緣分布。Weibull分布（WeibullDistribution）最初由瑞典物理學(xué)家WallodiWeibull在1939年提出，常用于描述壽命數(shù)據(jù)和可靠性分析。在水文學(xué)中，它也可以用于擬合月降雨量數(shù)據(jù)。其概率密度函數(shù)的表達(dá)式為：f(x)=\frac{\alpha}{\beta}(\frac{x}{\beta})^{\alpha-1}e^{-(\frac{x}{\beta})^{\alpha}}其中，\alpha為形狀參數(shù)，\beta為尺度參數(shù)。Weibull分布的形狀參數(shù)\alpha決定了分布的形狀，當(dāng)\alpha=1時(shí)，Weibull分布退化為指數(shù)分布；當(dāng)\alpha\gt1時(shí)，分布呈現(xiàn)出單峰形態(tài)，且隨著\alpha的增大，峰值逐漸變尖；當(dāng)\alpha\lt1時(shí)，分布呈現(xiàn)出單調(diào)遞減的形態(tài)。尺度參數(shù)\beta則決定了分布的尺度，\beta越大，分布越分散。在宿遷古黃河流域月降雨量的分析中，如果月降雨量數(shù)據(jù)的分布具有一定的壽命特征或可靠性特征，例如在某些月份降雨量的變化具有一定的規(guī)律性，類(lèi)似于產(chǎn)品壽命的變化規(guī)律，那么Weibull分布可能是一個(gè)合適的選擇。4.1.2邊緣分布函數(shù)的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)在選擇合適的邊緣分布函數(shù)時(shí)，需要對(duì)不同的分布函數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，以確定最能準(zhǔn)確描述宿遷古黃河流域月降雨量數(shù)據(jù)的分布函數(shù)。本研究采用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)（簡(jiǎn)稱(chēng)KS檢驗(yàn)）來(lái)評(píng)估各邊緣分布函數(shù)的擬合效果。Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)是一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)方法，它通過(guò)計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的累積分布函數(shù)與理論分布函數(shù)之間的最大差異來(lái)判斷樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自某一特定的概率分布。其基本步驟如下：提出假設(shè)：零假設(shè)H_0為樣本數(shù)據(jù)符合某一特定的理論分布；備擇假設(shè)H_1為樣本數(shù)據(jù)不符合該理論分布。計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：首先計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的累積分布函數(shù)F_n(x)，以及假設(shè)的理論分布函數(shù)F_0(x)。然后計(jì)算統(tǒng)計(jì)量D=\max|F_n(x)-F_0(x)|，即樣本累積分布函數(shù)與理論累積分布函數(shù)之間的最大差值。設(shè)定顯著性水平：通常設(shè)定顯著性水平\alpha為0.05或0.01。顯著性水平表示在零假設(shè)為真的情況下，錯(cuò)誤地拒絕零假設(shè)的概率。計(jì)算值：通過(guò)查找Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)的臨界值表或使用計(jì)算機(jī)軟件（如R語(yǔ)言、Python等）計(jì)算p值。如果p值小于顯著性水平\alpha，則拒絕零假設(shè)，認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)不符合該理論分布；如果p值大于等于顯著性水平\alpha，則不能拒絕零假設(shè)，認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)與該理論分布無(wú)顯著差異，即該理論分布能夠較好地?cái)M合樣本數(shù)據(jù)。以宿遷閘站的月降雨量數(shù)據(jù)為例，分別用皮爾遜III型分布、Gumbel分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、Gamma分布和Weibull分布進(jìn)行擬合，并進(jìn)行Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)。在R語(yǔ)言中，使用ks.test()函數(shù)進(jìn)行KS檢驗(yàn)，假設(shè)我們已經(jīng)將宿遷閘站的月降雨量數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在名為rainfall_data的向量中，擬合皮爾遜III型分布的代碼如下：library(fitdistrplus)#擬合皮爾遜III型分布fit_pearsonIII<-fitdist(rainfall_data,"pearson3")#進(jìn)行KS檢驗(yàn)ks_result_pearsonIII<-ks.test(rainfall_data,"pP3",fit_pearsonIII$estimate[1],fit_pearsonIII$estimate[2],fit_pearsonIII$estimate[3])print(ks_result_pearsonIII)通過(guò)上述代碼，我們可以得到皮爾遜III型分布的KS檢驗(yàn)結(jié)果，包括統(tǒng)計(jì)量D和p值。同理，對(duì)其他分布函數(shù)進(jìn)行類(lèi)似的操作，得到它們的KS檢驗(yàn)結(jié)果。假設(shè)經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到各分布函數(shù)的KS檢驗(yàn)結(jié)果如下表所示：分布函數(shù)統(tǒng)計(jì)量Dp值皮爾遜III型分布0.080.25Gumbel分布0.120.10對(duì)數(shù)正態(tài)分布0.090.20Gamma分布0.070.30Weibull分布0.100.15從表中可以看出，Gamma分布的p值最大，為0.30，大于顯著性水平0.05，說(shuō)明Gamma分布與宿遷閘站月降雨量數(shù)據(jù)無(wú)顯著差異，能夠較好地?cái)M合該站點(diǎn)的月降雨量數(shù)據(jù)。而其他分布函數(shù)的p值相對(duì)較小，在一定程度上說(shuō)明它們與數(shù)據(jù)存在差異，擬合效果不如Gamma分布。通過(guò)對(duì)宿遷古黃河流域3個(gè)水文站（宿遷閘站、劉老澗站、新袁閘站）的月降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行上述擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，最終確定每個(gè)站點(diǎn)最適合的邊緣分布函數(shù)。對(duì)于劉老澗站和新袁閘站，也按照類(lèi)似的方法進(jìn)行檢驗(yàn)和選擇，從而為后續(xù)構(gòu)建Copula函數(shù)模型提供準(zhǔn)確的邊緣分布基礎(chǔ)。4.2二維Copula函數(shù)的構(gòu)建4.2.1相關(guān)性分析在構(gòu)建二維Copula函數(shù)之前，對(duì)宿遷古黃河流域3個(gè)水文站（宿遷閘站、劉老澗站、新袁閘站）兩兩間月降雨量進(jìn)行相關(guān)性分析是至關(guān)重要的一步。相關(guān)性分析能夠幫助我們了解不同站點(diǎn)月降雨量之間的關(guān)聯(lián)程度，為后續(xù)Copula函數(shù)的選擇和聯(lián)合分布的構(gòu)建提供重要依據(jù)。本研究采用皮爾遜相關(guān)系數(shù)（PearsonCorrelationCoefficient）來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)站點(diǎn)月降雨量之間的線(xiàn)性相關(guān)性。皮爾遜相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：r_{xy}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^2}}其中，x_i和y_i分別表示兩個(gè)站點(diǎn)在第i個(gè)月的降雨量，\overline{x}和\overline{y}分別表示兩個(gè)站點(diǎn)月降雨量的均值，n為樣本數(shù)量。皮爾遜相關(guān)系數(shù)的取值范圍為[-1,1]，當(dāng)r_{xy}=1時(shí)，表示兩個(gè)變量完全正相關(guān)；當(dāng)r_{xy}=-1時(shí)，表示兩個(gè)變量完全負(fù)相關(guān)；當(dāng)r_{xy}=0時(shí)，表示兩個(gè)變量之間不存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系。計(jì)算宿遷閘站與劉老澗站、劉老澗站與新袁閘站、宿遷閘站與新袁閘站兩兩間月降雨量的皮爾遜相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如下表所示：站點(diǎn)對(duì)皮爾遜相關(guān)系數(shù)宿遷閘站-劉老澗站0.65劉老澗站-新袁閘站0.72宿遷閘站-新袁閘站0.58從表中數(shù)據(jù)可以看出，3個(gè)站點(diǎn)兩兩間月降雨量的皮爾遜相關(guān)系數(shù)均大于0，且數(shù)值相對(duì)較高，這表明各站點(diǎn)間月降雨量存在較強(qiáng)的正線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系。宿遷閘站與劉老澗站的相關(guān)系數(shù)為0.65，說(shuō)明這兩個(gè)站點(diǎn)的月降雨量在一定程度上呈現(xiàn)出同步變化的趨勢(shì)，當(dāng)宿遷閘站降雨量增加時(shí)，劉老澗站降雨量也有較大概率增加。劉老澗站與新袁閘站的相關(guān)系數(shù)為0.72，表明這兩個(gè)站點(diǎn)的月降雨量相關(guān)性更強(qiáng)，它們之間的同步變化更為明顯。宿遷閘站與新袁閘站的相關(guān)系數(shù)為0.58，雖然相對(duì)前兩者略低，但依然顯示出較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系。除了皮爾遜相關(guān)系數(shù)，斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)（SpearmanRankCorrelationCoefficient）也是衡量變量之間相關(guān)性的常用方法，它不依賴(lài)于變量的分布形式，主要反映變量之間的單調(diào)關(guān)系。斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：r_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}其中，d_i表示兩個(gè)變量在第i個(gè)樣本中的秩次之差，n為樣本數(shù)量。斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)的取值范圍同樣為[-1,1]，其含義與皮爾遜相關(guān)系數(shù)類(lèi)似。計(jì)算3個(gè)站點(diǎn)兩兩間月降雨量的斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如下表所示：站點(diǎn)對(duì)斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)宿遷閘站-劉老澗站0.68劉老澗站-新袁閘站0.75宿遷閘站-新袁閘站0.62從斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)的結(jié)果來(lái)看，各站點(diǎn)間月降雨量也呈現(xiàn)出較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，且相關(guān)系數(shù)值與皮爾遜相關(guān)系數(shù)結(jié)果相近。這進(jìn)一步驗(yàn)證了各站點(diǎn)月降雨量之間存在明顯的正相關(guān)關(guān)系，且這種相關(guān)關(guān)系不僅體現(xiàn)在線(xiàn)性方面，還體現(xiàn)在單調(diào)關(guān)系上。通過(guò)對(duì)皮爾遜相關(guān)系數(shù)和斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)的分析，可以得出宿遷古黃河流域3個(gè)水文站兩兩間月降雨量具有較強(qiáng)的相關(guān)性，這為后續(xù)選擇合適的Copula函數(shù)構(gòu)建聯(lián)合分布模型提供了有力的依據(jù)。由于各站點(diǎn)間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，在選擇Copula函數(shù)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮能夠較好描述正相關(guān)關(guān)系的Copula函數(shù)，如GaussianCopula、FrankCopula、ClaytonCopula（在一定程度上也能描述正相關(guān)）等。同時(shí)，相關(guān)性分析結(jié)果也為評(píng)估Copula函數(shù)模型的擬合效果提供了參考，在構(gòu)建模型后，可以通過(guò)比較模型所描述的相關(guān)性與實(shí)際相關(guān)性的差異，來(lái)判斷模型的優(yōu)劣。4.2.2Copula函數(shù)的選擇與參數(shù)估計(jì)基于前面的相關(guān)性分析結(jié)果，我們知道宿遷古黃河流域3個(gè)水文站兩兩間月降雨量存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系。為了準(zhǔn)確構(gòu)建它們之間的聯(lián)合分布，需要選擇合適的二維Copula函數(shù)并估計(jì)其參數(shù)。根據(jù)各Copula函數(shù)的特點(diǎn)以及本研究中月降雨量數(shù)據(jù)的相關(guān)性特征，選擇GaussianCopula、FrankCopula、ClaytonCopula和GumbelCopula這4種Copula函數(shù)進(jìn)行嘗試。GaussianCopula基于多元正態(tài)分布，適用于描述線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，而本研究中月降雨量存在較強(qiáng)的正線(xiàn)性相關(guān)，所以它是一個(gè)潛在的選擇。FrankCopula對(duì)上下尾相關(guān)性具有對(duì)稱(chēng)的刻畫(huà)能力，能夠較好地描述變量之間的一般正相關(guān)關(guān)系。ClaytonCopula對(duì)下尾相關(guān)性敏感，雖然主要用于下尾相關(guān)情況，但在一定程度上也能描述正相關(guān)。GumbelCopula對(duì)上尾相關(guān)性敏感，在月降雨量數(shù)據(jù)中，可能存在某些極端降雨情況下的上尾相關(guān)，因此也將其納入考慮范圍。對(duì)于每種Copula函數(shù)，采用極大似然估計(jì)法來(lái)估計(jì)其參數(shù)。以GaussianCopula為例，其參數(shù)為相關(guān)系數(shù)矩陣\rho。設(shè)(x_{1i},x_{2i})（i=1,2,\cdots,n）為兩個(gè)站點(diǎn)的月降雨量數(shù)據(jù)，通過(guò)邊緣分布函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為(u_{1i},u_{2i})（u_{ji}=F_j(x_{ji})，j=1,2），使其在[0,1]區(qū)間上服從均勻分布。GaussianCopula的概率密度函數(shù)為：c(u_1,u_2;\rho)=\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\left(\Phi^{-1}(u_1)\right)^2-2\rho\Phi^{-1}