安徽省合肥市示范中學2025屆高三下學期5月教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則（

）A．4 B． C． D．4．已知空間中兩條直線，無公共點，則“直線，與平面所成的角相等”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．有4位同學到書店購買課外書，每人購買一本，根據(jù)需求，書店有5種書適合4位同學購買，那么4位同學恰好購買了3種書的購買方法有（

）A．240種 B．360種 C．480種 D．500種6．設雙曲線：的左右焦點分別為、，過點且斜率為的直線在第一象限交于點，若，則的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．7．已知，其中，若，，，則的范圍為（

）A． B． C． D．8．已知正四棱錐的所有棱長都等于3，點是的重心，過點作平面，若平面平面，則平面截正四棱錐的截面面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，現(xiàn)去除其中的兩個數(shù)據(jù)，去除的兩個數(shù)據(jù)記為和，則下列一定正確的是（

）A．若，則極差不變 B．若，則第75百分位數(shù)不變C．若，則平均數(shù)不變 D．若，則中位數(shù)不變10．已知實數(shù),滿足,,，則下列正確的是（

）A． B． C． D．11．已知，，且當時，則下列正確的是（

）A． B．當時，C． D．三、填空題12．已知向量，，若，則.13．已知點在橢圓上，點在圓上，，則的最大值為.14．已知，若，則的范圍為.四、解答題15．在中，角的對邊分別為，且滿足.（1）求角；（2）已知面積為，為7，求邊上中線長.16．如圖，三棱錐中，，，，平面平面，是中點，且滿足.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.17．某城市推廣垃圾分類，設置智能回收箱（方式）和傳統(tǒng)垃圾桶（方式）．統(tǒng)計顯示，60%的居民選擇方式，選擇方式，若垃圾被正確分類，則垃圾被回收，不用填埋．智能回收箱的正確分類率為，錯誤分類后需人工處理，人工處理可將錯誤分類垃圾的40%重新正確分類，其余直接填埋；傳統(tǒng)垃圾桶的正確分類率為75%，錯誤分類后直接填埋．（1）求垃圾最終被填埋的概率；（2）若某噸垃圾被填埋，求其最初通過傳統(tǒng)垃圾桶投放的概率；（3）現(xiàn)有一噸垃圾要整體處理，設為其處理成本（單位：元），正確分類無需成本，人工處理成本為200元，填埋成本為500元.求的分布列及數(shù)學期望．18．已知拋物線：，過拋物線焦點且斜率為的直線與交于，兩點（點在第一象限），已知線段中點縱坐標為.（1）求拋物線方程；（2）點在拋物線上移動，位于，兩點之間且與，兩點不重合.若直線交準線于點，直線交準線于點，其中點在點的上方.（i）是否存在點，使？若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由；（ii）求線段長度最小值.19．已知函數(shù)（1）證明不等式：；（2）記，證明：；（3）已知，證明：.

參考答案1．【答案】A【詳解】由題得，，或，則，故選A．2．【答案】D【詳解】，則，故選D．3．【答案】C【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，設公比為，且，，則，又因為，所以.故選C.4．【答案】B【詳解】如圖所示：在正方體中，令直線，，下底面為平面，顯然“直線，與平面所成的角相等”，但是“”不成立；由線面角的定義可知：若“”，則“直線，與平面所成的角相等”成立；即“直線，與平面所成的角相等”是“”的必要不充分條件，故選B5．【答案】B【詳解】首先選出3種書，有種選法，再將4位同學分成的三組，有種選法，最后將種書分配給三組同學，有種分配的方法，按照分步乘法計數(shù)原理可知有種購買方法.故選B6．【答案】C【詳解】設橢圓的焦距為，則，又，所以，由直線的斜率為，所以，結(jié)合得，，在中，由余弦定理得，整理得，，解得或（不合題意舍去），故選C．7．【答案】D【詳解】定義域為，因，根據(jù)的函數(shù)圖象以及圖象變換可畫出的函數(shù)圖象，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設又，則，，則，即，則，因，則，得，則，故的范圍為.故選D8．【答案】C【詳解】點是的重心，，過作交于，并延長交于，過作，過作，如圖四邊形為截面，∵點是的重心，，∴，∴，，，，四邊形為等腰梯形，故面積為.故選C.9．【答案】ACD【詳解】樣本數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，現(xiàn)去除其中的兩個數(shù)據(jù)，去除的兩個數(shù)據(jù)記為和，當，則或，所以極差為不變，A選項正確；若，則，數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，，第75百分位數(shù)是第8個數(shù)，數(shù)據(jù)1，3，4，5，6，7，8，10，，則第75百分位數(shù)是第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，所以第75百分位數(shù)改變了，B選項錯誤；原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，當，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則平均數(shù)不變，C選項正確；原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，當，設，，新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則中位數(shù)不變，D選項正確；故選ACD.10．【答案】AD【詳解】對不等式進行變形化簡得：，設.求導得：.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.由，且函數(shù)單調(diào)遞增，可得，即.對于選項A：因為，所以平方可得即.A正確.對于選項B：取反例，當時，，滿足題意.而，所以B錯誤.對于選項C：取反例，當時，計算選項C的左邊為，右邊，此時，C錯誤.對于選項D：令，求導得，可以看出該導數(shù)在上小于0.所以在上單調(diào)遞減，所以.因為，所以，所以.由前面可知，所以，所以選項D正確.故選AD.11．【答案】BCD【詳解】∵，∴，即，兩式相乘，∵，∴，即，∴，所以函數(shù)周期為6，故A錯誤；當時，，又，故B正確；∵，∴除以6余數(shù)為5，故，故C正確，由題知，，代入可求，∴，故D正確，故選BCD.12．【答案】【詳解】∵，，∴，解得.13．【答案】【詳解】橢圓的兩個焦點為，，長半軸，圓的標準方程為，所以圓心為，半徑為1，因為點在圓上，所以，因為點在橢圓上，所以，所以，又，，所以.14．【答案】【詳解】由題可得：則注意到，則注意到，則，.注意到，則.則或，則或，則，當時，；當時，；時，.綜上可得：的范圍是.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為，由正弦定理邊化角得利用三角形內(nèi)角和定理可得即因為所以，即因為，所以.（2）由得①由得②由①②得由，得.16．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）連接，因為，是中點，所以，因為平面平面，平面平面，且面，，所以面，又因為面，所以，由，又，，得；（2）由（1）知，，，兩兩垂直，建立如圖坐標系，則，，，，所以，，，設，分別是面和面的法向量，二面角記為，由，令，得，得是面的一個法向量，由，令，得，得是面的一個法向量，所以，所以，故二面角的正弦值為.17．【答案】（1）0.154（2）（3）分布列見解析，95【詳解】（1）記為事件“垃圾按照方式分類”，為事件“垃圾最終被填埋”，則．（2）由題意得，．（3）由題意，的可能取值為0，200，500，700，且，，，，故分布列如下：02005007000.810.0360.10.054．18．【答案】（1）（2）（i）存在點；（ii）4【詳解】（1）解：由題意，可得方程為，設，，聯(lián)立方程，整理得，所以，所以，拋物線方程為.（2）解：因為點在第一象限，所以由（1）可得，.設，因為點在點的上方，所以，直線,令，可得，同理.（i）延長交準線于，可