七下數(shù)學(xué)第7周《圖形變換3》一．列代數(shù)式1．如圖，點B在線段AC上，分別以線段AC、AB、BC為直徑畫圓，圓心分別是點O、O1、O2．已知半徑O1A＝acm，半徑O2C比半徑O1A大bcm．（1）O2C＝cm（用含a、b的代數(shù)式表示）OA＝cm（用含a、b的代數(shù)式表示）；（2）求圖中陰影部分的面積（π取3）．二．規(guī)律型：數(shù)字的變化類2．觀察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：245、246、247、…、289、290．若245＝m，用含m的式子表示這組數(shù)的和是（）A．2m2﹣2m﹣2 B．2m2﹣2m C．2m2+m D．2m2﹣m3．觀察下列算式：①（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；②（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；③（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；…結(jié)合你觀察到的規(guī)律判斷22025+22024+…+22+2+1的計算結(jié)果的末位數(shù)字為．4．【知識探索】觀察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1；（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27；（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216；…按以上等式的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3．（1）利用多項式乘以多項式的法則，證明（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3成立；【知識運用】（2）已知a+b＝1，ab＝﹣1，求a3+b3的值；（3）已知（x﹣2023）2+（2025﹣x）2＝20，求（x﹣2023）3﹣（2025﹣x）3的值．三．同底數(shù)冪的乘法5．若a，b是正整數(shù)，且滿足2a+2a+?+A．a(chǎn)+3＝8b B．3a＝8b C．a(chǎn)+3＝b8 D．3a＝8+b四．冪的乘方與積的乘方6．（1）已知3m+2n﹣6＝0，求8m?4n的值；（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．7．（1）若2×8x×16x＝222，求x的值；（2）若ya＝2，yb＝4，yc＝8，求證a+c＝2b．五．同底數(shù)冪的除法8．已知：5a＝3，5b＝8，5c＝72．（1）求（5a）2的值．（2）求5a﹣b+c的值．（3）字母a、b、c之間的大小關(guān)系是．六．整式的混合運算9．計算：a2?a4＝；a6÷a﹣2＝；（m3）2?m2＝；（﹣m4）3÷（﹣m）2＝；4a2b?2b2＝；（2a4b2c3）÷（4b2c）＝；（﹣2a2b）3?（4a2b2）＝；（a2n）3÷（a2）3n（n為整數(shù)）＝；（3x﹣2y）（2x+2y）＝；（2x+3y）2（3y﹣2x）2＝．10．計算．（1）-1（2）（4×102）3÷（2×10﹣3）2（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）；（3）（x﹣y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2；（4）（2x﹣y﹣z）（y+z﹣2x）．七．質(zhì)數(shù)與合數(shù)11．【發(fā)現(xiàn)】：（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3；（6+3）2﹣62＝15×3；…嘉嘉發(fā)現(xiàn)規(guī)律：比任意一個偶數(shù)大3的數(shù)與此偶數(shù)的平方差能被3整除．【應(yīng)用】：（1）（8+3）2﹣82的結(jié)果是3的倍；（2）設(shè)偶數(shù)為2k（k為整數(shù)），試說明比2k大3的數(shù)與2k的平方差能被3整除；【延伸】：（3）已知比任意一個整數(shù)大3的數(shù)與此整數(shù)的平方差被6除的余數(shù)是t，m2+1是一個大于t2的質(zhì)數(shù)，且10（m2+1）＝n2+1（m，n，t為正整數(shù)），則m﹣t的值為．八．多項式乘多項式12．若（x2+mx）（x2+2x﹣n）的積中不含x2項與x3項，則代數(shù)式mn的值為．13．閱讀以下材料，回答下列問題：小明遇到這樣一個問題：求計算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多項式的一次項系數(shù)．小明想通過計算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多項式解決上面的問題，但感覺有些繁瑣，他想探尋一下，是否有相對簡潔的方法．他決定從簡單情況開始，先找（x+2）（2x+3）所得多項式中的一次項系數(shù)．通過觀察發(fā)現(xiàn)：也就是說，只需用x+2中的一次項系數(shù)1乘以2x+3中的常數(shù)項3，再用x+2中的常數(shù)項2乘以2x+3中的一次項系數(shù)2，兩個積相加1×3+2×2＝7，即可得到一次項系數(shù)．延續(xù)上面的方法，求計算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多項式的一次項系數(shù)．可以先用x+2的一次項系數(shù)1，2x+3的常數(shù)項3，3x+4的常數(shù)項4，相乘得到12；再用2x+3的一次項系數(shù)2，x+2的常數(shù)項2，3x+4的常數(shù)項4，相乘得到16；然后用3x+4的一次項系數(shù)3，x+2的常數(shù)項2，2x+3的常數(shù)項3，相乘得到18，最后將12，16，18相加，得到的一次項系數(shù)為46．參考小明思考問題的方法，解決下列問題：（1）計算（2x+1）（3x+2）所得多項式的一次項系數(shù)為．（2）計算（x+1）（3x+2）（4x﹣3）所得多項式的一次項系數(shù)為．（3）若計算（x2﹣x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多項式的一次項系數(shù)為0，則a＝．（4）計算（x+1）5所得多項式的一次項系數(shù)為，二次項系數(shù)為．（5）計算（2x﹣1）5所得多項式的一次項系數(shù)為，二次項系數(shù)為．九．完全平方公式14．已知x2﹣2x＝2，代數(shù)式（x﹣1）2+2022＝．一十．完全平方式15．若x2+2（m﹣5）x+16是完全平方式，則m＝．16．若x2+kx+4是一個完全平方式，則常數(shù)k的值為．一十一．完全平方公式的幾何背景17．若一個正方形的邊長增加1cm，它的面積就增加9cm2，則這個正方形的邊長是cm．18．?dāng)?shù)學(xué)課上老師讓同學(xué)們用若干個小矩形，拼成一個大矩形，如圖所示，請你仔細(xì)觀察圖形，寫出圖中所表示的整式的乘法關(guān)系式為．19．有兩個正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲，將A，B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為5和35，則圖乙的面積為．一十二．分式的值20．解決下面的問題：（1）若3x×9x×27x＝312，則x＝．（2）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值．（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代數(shù)式表示y．（4）若已知50a＝20，8b＝20，則a+bab=一十三．一元一次方程的應(yīng)用21．如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）如圖2，將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且OM恰好平分∠BOC．此時∠AOM＝度；（2）如圖3，繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系，并說明你的理由；（3）將圖1中的三角板繞點O按每秒12°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，若直線ON恰好平分∠AOC，則此時三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是多少秒？（4）將圖1中的三角板繞點O按每秒12°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，同時射線OC繞點O以每秒2°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)30秒后都停止．在旋轉(zhuǎn)的過程中，若直線ON恰好平分∠AOC，則此時三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是秒．（直接寫出答案）一十四．全等三角形的判定與性質(zhì)22．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC所在直線為對稱軸作△ABC的對稱圖形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，線段BD與CE相交于點O，連接BE，ED，DC，OA．下列結(jié)論：①∠EAD＝90°；②OA平分∠BOC；③△ABE是等邊三角形；④CD＝DE．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個一十五．作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖23．架橋通常會考慮多種因素，其中一個就是路線規(guī)劃，確保橋兩邊A，B兩地間的路程盡量短，以減少通行時間和成本．（1）如圖①，河l的寬度忽略不計，即橋的寬度忽略不計，請你在l上畫出表示橋的位置的點P，使從A地經(jīng)過橋到B地的路程最短．（2）如圖②，河岸m和n之間的寬度不可忽略不計，即橋的寬度不可忽略不計，請你在m和n之間畫出表示橋的位置的線段CD，使橋與河岸垂直，并且從A地經(jīng)過橋到B地的路程最短．（3）如圖③，河岸m和n，p和q之間的寬度不可忽略不計，即橋的寬度不可忽略不計，請你在m和n之間、p和q之間分別畫出表示橋的位置的線段CD和EF，使每座橋與相應(yīng)的河岸垂直，并且從A地經(jīng)過2座橋到B地的路程最短．一十六．軸對稱的性質(zhì)24．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點A關(guān)于BC邊的對稱點為A′，點B關(guān)于AC邊的對稱點為B′，點C關(guān)于AB邊的對稱點為C′，則△ABC與△A′B′C′的面積之比為（）A．12 B．13 C．2525．如圖是一張鈍角三角形紙片ABC，小明想通過折紙的方式折出如下線段：①AC邊上的中線BD；②∠B的平分線BE；③AC邊上的高BF．上述三條線段中能通過折紙折出的是（填上序號）．26．如圖，點P是∠AOB外的一點，點M、N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，QN＝1.5cm，則線段MR的長為（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm27．如圖，點P在四邊形ABCD的內(nèi)部，且點P與點M關(guān)于AD對稱，PM交AD于點G，點P與點N關(guān)于BC對稱，PN交BC于點H，MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．（1）連接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周長；（2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度數(shù)．28．?dāng)?shù)學(xué)活動：折紙中的數(shù)學(xué)【知識背景】我們在第六章《幾何圖形初步》中學(xué)習(xí)了角的平分線，并會用折紙的方法作角平分線．如圖是教材第175頁的探究，將紙片折疊使QP與QR重合，QM是折痕，此時∠PQM與∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射線QM是∠PQR的平分線．【知識初探】（1）如圖（1），點P，Q分別是長方形紙片ABCD的對邊AB，CD上的點，連結(jié)PQ，將∠APQ和∠BPQ分別對折，使點A，B都分別落在PQ上的A′和B′處，點C落在C′處，分別得折痕PN，PM，則∠NPM的度數(shù)是；【類比再探】（2）如圖（2），將長方形ABCD紙片分別沿直線PN，PM折疊，使點A，B分別落在點A′，B′處，PA′和PB′不在同一條直線上，且被折疊的兩部分沒有重疊部分．①若∠A′PB′＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度數(shù)；②若∠A′PB′＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度數(shù)（用含α的式子表示）．一十七．翻折變換（折疊問題）29．如圖，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝24°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，連接EF，將△AEF沿著EF折疊，得到△A′EF，當(dāng)A′F與△ABC其中一邊平行時，∠AEF的度數(shù)是．一十八．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共1小題）30．如圖，將△ABC繞點O按逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DEF，其中A與D是對應(yīng)點，B與E是對應(yīng)點，請借助于該圖形寫出關(guān)于旋轉(zhuǎn)的3條不同的性質(zhì)．文字語言符號語言①（1）．（2）．②（3）．（4）．③（5）．（6）．

＝（2﹣1）（22025+22024+…+22+2+1）＝22026﹣1．因為21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，?，所以2的乘方運算，其末位數(shù)字分別為2，4，8，6，每4個為一組，依次循環(huán)．因為2024÷4＝506，所以22024的末位數(shù)字為6，所以22026的末位數(shù)字為4，所以22026﹣1的末位數(shù)字為3，即22025+22024+…+22+2+1的計算結(jié)果的末位數(shù)字為3．故答案為：3．4．【知識探索】觀察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1；（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27；（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216；…按以上等式的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3．（1）利用多項式乘以多項式的法則，證明（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3成立；【知識運用】（2）已知a+b＝1，ab＝﹣1，求a3+b3的值；（3）已知（x﹣2023）2+（2025﹣x）2＝20，求（x﹣2023）3﹣（2025﹣x）3的值．【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3，即（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；（2）∵a+b＝1，ab＝﹣1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣1）＝1+2＝3，∴a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝1×（3+1）＝1×4＝4；（3）∵（x﹣2023）2+（2025﹣x）2＝20，∴（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝20，設(shè)m＝x﹣2023，n＝x﹣2025，則m2+n2＝20，m﹣n＝x﹣2023﹣（x﹣2025）＝x﹣2023﹣x+2025＝2，那么mn=m則（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝22+4×8＝36，∴m+n＝±6，∴（x﹣2023）3﹣（2025﹣x）3＝（x﹣2023）3+（x﹣2025）3＝m3+n3＝（m+n）（m2﹣mn+n2），當(dāng)m+n＝6時，（m+n）（m2﹣mn+n2）＝6×（20﹣8）＝6×12＝72，當(dāng)m+n＝﹣6時，（m+n）（m2﹣mn+n2）＝﹣6×（20﹣8）＝﹣6×12＝﹣72，即（x﹣2023）3﹣（2025﹣x）3的值為±72．三．同底數(shù)冪的乘法（共1小題）5．若a，b是正整數(shù)，且滿足2a+2a+?+A．a(chǎn)+3＝8b B．3a＝8b C．a(chǎn)+3＝b8 D．3a＝8+b【解答】解：由題意得：8×2a＝（2b）8，∴23×2a＝28b，∴3+a＝8b，故選：A．四．冪的乘方與積的乘方（共2小題）6．（1）已知3m+2n﹣6＝0，求8m?4n的值；（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．【解答】解：（1）∵3m+2n﹣6＝0，∴3m+2n＝6，∴8m?4n＝23m?22n＝23m+2n＝26＝64；（2）∵2×8x×16＝2×23x×24＝23x+5＝223，∴3x+5＝23，∴x＝6．7．（1）若2×8x×16x＝222，求x的值；（2）若ya＝2，yb＝4，yc＝8，求證a+c＝2b．【解答】（1）解：2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝27x+1，∵27x+1＝222，∴7x+1＝22，∴x＝3．（2）證明：∵ya?yc＝y(tǒng)a+c＝2×8＝16，（yb）2＝y(tǒng)2b＝42＝16，∴ya+c＝y(tǒng)2b，∴a+c＝2b．五．同底數(shù)冪的除法（共1小題）（2）（4×102）3÷（2×10﹣3）2（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）；（3）（x﹣y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2；（4）（2x﹣y﹣z）（y+z﹣2x）．【解答】解：（1）原式==-=-（2）原式＝64×106÷（4×10﹣6）＝16×1012＝1.6×1013；（3）原式＝x2﹣3xy﹣xy+3y2﹣4x2+4xy﹣y2＝﹣3x2+2y2；（4）原式＝（2x﹣y﹣z）[﹣（2x﹣y﹣z）]＝﹣（2x﹣y﹣z）2＝﹣[2x﹣（y+z）]2＝﹣[4x2﹣2×2x×（y+z）+（y+z）2]＝﹣4x2+4xy+4xz﹣y2﹣2yz﹣z2．七．質(zhì)數(shù)與合數(shù)（共1小題）11．【發(fā)現(xiàn)】：（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3；（6+3）2﹣62＝15×3；…嘉嘉發(fā)現(xiàn)規(guī)律：比任意一個偶數(shù)大3的數(shù)與此偶數(shù)的平方差能被3整除．【應(yīng)用】：（1）（8+3）2﹣82的結(jié)果是3的19倍；（2）設(shè)偶數(shù)為2k（k為整數(shù)），試說明比2k大3的數(shù)與2k的平方差能被3整除；【延伸】：（3）已知比任意一個整數(shù)大3的數(shù)與此整數(shù)的平方差被6除的余數(shù)是t，m2+1是一個大于t2的質(zhì)數(shù)，且10（m2+1）＝n2+1（m，n，t為正整數(shù)），則m﹣t的值為1．【解答】（1）解：（8+3）2﹣82＝112﹣82＝（11﹣8）（11+8）＝3×19，即（8+3）2﹣82的結(jié)果是3的19倍，故答案為：19；（2）證明：偶數(shù)為2k，比2k大3的數(shù)為2k+3，∴（2k+3）2﹣（2k）2＝4k2+12k+9﹣4k2＝3（4k+3），∵4k+3為整數(shù)，∴3（4k+3）能被3整除，∴比2k大3的數(shù)與2k的平方差能被3整除；（3）解：設(shè)這個數(shù)為n，比n大3的數(shù)為n+3，∴（n+3）2﹣n2＝n2+6n+9﹣n2＝6（n+1）+3，∵比任意一個整數(shù)大3的數(shù)與此整數(shù)的平方差被6除的余數(shù)是t，∴t＝3，∴t2＝9，∵m2+1是一個大于t2的質(zhì)數(shù)，∴m2+1≥9且是質(zhì)數(shù)，∴m2+1＝11或13或17或19等，∵10（m2+1）＝n2+1，m，n為正整數(shù)，∴m＝4，n＝13，∴m﹣t＝4﹣3＝1，故答案為：1．八．多項式乘多項式（共2小題）12．若（x2+mx）（x2+2x﹣n）的積中不含x2項與x3項，則代數(shù)式mn的值為8．【解答】解：（x2+mx）（x2+2x﹣n）＝x4+2x3﹣nx2+mx3+2mx2﹣mnx＝x4+（2+m）x3+（2m﹣n）x2﹣mnx，∵（x2+mx）（x2+2x﹣n）的積中不含x2項與x3項，∴2+m=0①由①得：m＝﹣2，把m＝﹣2代入②得：n＝﹣4，∴mn＝（﹣2）×（﹣4）＝8，故答案為：8．13．閱讀以下材料，回答下列問題：小明遇到這樣一個問題：求計算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多項式的一次項系數(shù)．小明想通過計算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多項式解決上面的問題，但感覺有些繁瑣，他想探尋一下，是否有相對簡潔的方法．他決定從簡單情況開始，先找（x+2）（2x+3）所得多項式中的一次項系數(shù)．通過觀察發(fā)現(xiàn)：也就是說，只需用x+2中的一次項系數(shù)1乘以2x+3中的常數(shù)項3，再用x+2中的常數(shù)項2乘以2x+3中的一次項系數(shù)2，兩個積相加1×3+2×2＝7，即可得到一次項系數(shù)．延續(xù)上面的方法，求計算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多項式的一次項系數(shù)．可以先用x+2的一次項系數(shù)1，2x+3的常數(shù)項3，3x+4的常數(shù)項4，相乘得到12；再用2x+3的一次項系數(shù)2，x+2的常數(shù)項2，3x+4的常數(shù)項4，相乘得到16；然后用3x+4的一次項系數(shù)3，x+2的常數(shù)項2，2x+3的常數(shù)項3，相乘得到18，最后將12，16，18相加，得到的一次項系數(shù)為46．參考小明思考問題的方法，解決下列問題：（1）計算（2x+1）（3x+2）所得多項式的一次項系數(shù)為7．（2）計算（x+1）（3x+2）（4x﹣3）所得多項式的一次項系數(shù)為﹣7．（3）若計算（x2﹣x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多項式的一次項系數(shù)為0，則a＝﹣1．（4）計算（x+1）5所得多項式的一次項系數(shù)為5，二次項系數(shù)為10．（5）計算（2x﹣1）5所得多項式的一次項系數(shù)為10，二次項系數(shù)為﹣40．【解答】解：（1）2×2+1×3＝7，故答案為：7；（2）1×（﹣3）×2+3×1×（﹣3）+4×1×2＝﹣6﹣9+8＝﹣7，故答案為：﹣7；（3）由題意得，1×a×1+（﹣3）×1×（﹣1）+2×1×a＝0，也就是，a+3+2a＝0，所以，a＝﹣1；故答案為：﹣1；（4）∵（x+1）5＝（x+1）（x+1）（x+1）（x+1）（x+1）＝（x2+2x+1）（x2+2x+1）（x+1）∴一次項系數(shù)為：2×1×1+2×1×1+1×1×1＝5；二次項系數(shù)為：1+1+2×2+2×1+2×1＝10．故答案為：5，10；（5）∵（2x﹣1）5＝（2X﹣1）（2X﹣1）（2X﹣1）（2X﹣1）（2X﹣1）．＝（4x2﹣4x+1）（4x2﹣4x+1）（2X﹣1）．∴一次項系數(shù)為：﹣4×1×（﹣1）+（﹣4）×1×（﹣1）+2×1×1＝10，二次項系數(shù)為：2×（﹣4）×1+（﹣4）×（﹣4）（﹣1）×2＝﹣40．故答案為：10；﹣40．九．完全平方公式（共1小題）14．已知x2﹣2x＝2，代數(shù)式（x﹣1）2+2022＝2025．【解答】解：∵x2﹣2x＝2，∴（x﹣1）2+2022＝x2﹣2x+1+2022＝2+1+2022＝2025．故答案為：2025．一十．完全平方式（共2小題）15．若x2+2（m﹣5）x+16是完全平方式，則m＝9或1．【解答】解：∵x2+2（m﹣5）x+16是完全平方式，∴2（m﹣5）＝±8，解得：m＝9或1，故答案為：9或116．若x2+kx+4是一個完全平方式，則常數(shù)k的值為±4．【解答】解：∵x2+kx+4＝x2+kx+22，∴kx＝±2×2x，解得k＝±4．故答案為：±4．一十一．完全平方公式的幾何背景（共3小題）17．若一個正方形的邊長增加1cm，它的面積就增加9cm2，則這個正方形的邊長是4cm．【解答】解：設(shè)這個正方形的邊長為acm，則變化后的邊長為（a+1）cm，由題意得，（a+1）2﹣a2＝9，解得a＝4，即這個正方形的邊長為4cm，故答案為：4．18．?dāng)?shù)學(xué)課上老師讓同學(xué)們用若干個小矩形，拼成一個大矩形，如圖所示，請你仔細(xì)觀察圖形，寫出圖中所表示的整式的乘法關(guān)系式為（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【解答】解：由拼圖可得，大長方形的長為a+2b，寬為a+b，所以面積為（a+2b）（a+b），根據(jù)各個部分面積和為a2+3ab+2b2，因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，故答案為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．19．有兩個正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲，將A，B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為5和35，則圖乙的面積為75．【解答】解：設(shè)正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5，（a+b）2﹣（a2+b2）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣b2＝2ab＝35，∴圖乙的面積為：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2﹣2ab+b2+4ab＝（a﹣b）2+2ab×2＝5+35×2＝5+70＝75，故答案為：75．一十二．分式的值（共1小題）20．解決下面的問題：（1）若3x×9x×27x＝312，則x＝2．（2）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值．（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代數(shù)式表示y．（4）若已知50a＝20，8b＝20，則a+bab=【解答】解：（1）∵3x×9x×27x＝312，∴3x?（32）x?（33）x＝312，3x?32x?33x＝312，3x+2x+3x＝312，∴6x＝12，x＝2，故答案為：2；（2）∵3x+2﹣3x+1＝54，∴3x+1（3﹣1）＝54，2×3x+1＝54，3x+1＝27＝33，∴x+1＝3，x＝2；（3）∵x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，∴5m＝x+3，25m＝52m＝（5m）2＝（x+3）2，∴y＝4﹣（x+3）2＝4﹣x2﹣6x﹣9＝﹣x2﹣6x﹣5；（4）∵50a＝20，8b＝20，∴50ab＝20b，8ab＝20a，∴50ab?8ab＝20b?20a，（50×8）ab＝20a+b，（202）ab＝20a+b，202ab＝20a+b，∴2ab＝a+b，∴a+bab故答案為：2．一十三．一元一次方程的應(yīng)用（共1小題）21．如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）如圖2，將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且OM恰好平分∠BOC．此時∠AOM＝120度；（2）如圖3，繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系，并說明你的理由；（3）將圖1中的三角板繞點O按每秒12°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，若直線ON恰好平分∠AOC，則此時三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是多少秒？（4）將圖1中的三角板繞點O按每秒12°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，同時射線OC繞點O以每秒2°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)30秒后都停止．在旋轉(zhuǎn)的過程中，若直線ON恰好平分∠AOC，則此時三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是24011【解答】解：（1）∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=12∠BOC=12×∴∠CAD＝360°﹣∠BAD﹣∠BAC＝60°，∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝90°，即①正確；∴∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝60°，又∵AB＝AE，∴∠ABE=∴△ABE是等邊三角形，即③正確；又∵分別以△ABC的邊AB，AC所在直線為對稱軸作△ABC的對稱圖形△ABD和△ACE，∴△ABD≌△AEC，∴S△ABD＝S△AEC，BD＝CE，∴BD邊上的高與CE邊上的高相等，∴OA平分∠BOC，即②正確；∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠ACD=∴CD＝AD＝AC，∵∠EAD＝90°，∴Rt△EAD中，DE＞AD，∴DE＞CD，即④不正確，故選：C．一十五．作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖（共1小題）23．架橋通常會考慮多種因素，其中一個就是路線規(guī)劃，確保橋兩邊A，B兩地間的路程盡量短，以減少通行時間和成本．（1）如圖①，河l的寬度忽略不計，即橋的寬度忽略不計，請你在l上畫出表示橋的位置的點P，使從A地經(jīng)過橋到B地的路程最短．（2）如圖②，河岸m和n之間的寬度不可忽略不計，即橋的寬度不可忽略不計，請你在m和n之間畫出表示橋的位置的線段CD，使橋與河岸垂直，并且從A地經(jīng)過橋到B地的路程最短．（3）如圖③，河岸m和n，p和q之間的寬度不可忽略不計，即橋的寬度不可忽略不計，請你在m和n之間、p和q之間分別畫出表示橋的位置的線段CD和EF，使每座橋與相應(yīng)的河岸垂直，并且從A地經(jīng)過2座橋到B地的路程最短．【解答】解：（1）如圖①中，點P即為所求；（2）如圖②中，線段CD即為所求；（3）如圖③中，線段CD，EF即為所求．一十六．軸對稱的性質(zhì)（共5小題）24．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點A關(guān)于BC邊的對稱點為A′，點B關(guān)于AC邊的對稱點為B′，點C關(guān)于AB邊的對稱點為C′，則△ABC與△A′B′C′的面積之比為（）A．12 B．13 C．25【解答】解：如圖，連接CC'并延長交A'B'于D，連接CB'，CA'，∵點A關(guān)于BC邊的對稱點為A′，點B關(guān)于AC邊的對稱點為B′，點C關(guān)于AB邊的對稱點為C′，∴AC＝A'C，BC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB'，AB垂直平分CC'，∴△ABC≌△A'B'C（SAS），∴S△ABC＝S△A'B'C，∠A＝∠AA'B'，AB＝A'B'，∴AB∥A'B'，∴CD⊥A'B'，∴根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，可得CD＝CE，∴CD＝CE=13∴S△A'B'C=13S△A'B'∴S△ABC=13S△A'B'∴△ABC與△A′B′C′的面積之比為13故選：B．25．如圖是一張鈍角三角形紙片ABC，小明想通過折紙的方式折出如下線段：①AC邊上的中線BD；②∠B的平分線BE；③AC邊上的高BF．上述三條線段中能通過折紙折出的是①②③（填上序號）．【解答】解：①折疊使點A與點C重合，則：對折點即為AC的中點D，則BD即為AC邊上的中線；②折疊使BC和AB重合，則：折痕BE即為∠B的平分線；③折疊使CF和AF重合，則：折痕BF即為AC邊上的高；故答案為：①②③．26．如圖，點P是∠AOB外的一點，點M、N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，QN＝1.5cm，則線段MR的長為（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm【解答】解：∵點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在MN的延長線上，∴PM＝MQ，PN＝NR，∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，∵QN＝1.5cm，∴MR＝MQ+QN+NR＝7（cm），故選：D．27．如圖，點P在四邊形ABCD的內(nèi)部，且點P與點M關(guān)于AD對稱，PM交AD于點G，點P與點N關(guān)于BC對稱，PN交BC于點H，MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．（1）連接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周長；（2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度數(shù)．【解答】解：（1）∵點P與點M關(guān)于AD對稱，點P與點N關(guān)于BC對稱，∴EM＝EP，F(xiàn)P＝FN，∴C△PEF＝PE+PF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝12（cm）．（2）∵∠C+∠D＝134°，∴∠A+∠B＝360°﹣134°＝226°．又∵PG⊥AD，PH⊥BC，∴∠PGA＝∠PHB＝90°，∴∠HPG＝540°﹣90°﹣90°﹣226°＝134°．28．?dāng)?shù)學(xué)活動：折紙中的數(shù)學(xué)【知識背景】我們在第六章《幾何圖形初步》中學(xué)習(xí)了角的平分