5.1大數(shù)定律

在前面我們已經(jīng)提到過事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)。這就充分說明事件的概率是客觀存在的。頻率的穩(wěn)定性，便是這一客觀存在的反映。在實(shí)踐中，人們還認(rèn)識(shí)到大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背景。在概率論中，用來闡明大量平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律。由大數(shù)定律，大量隨機(jī)因素的總和，必然導(dǎo)致某種不依賴于個(gè)別隨機(jī)事件的結(jié)果。為證明一系列大數(shù)定律的定理，下面給出一個(gè)重要且有用的不等式。一、契比曉夫不等式我們已經(jīng)知道，方差是用來描述一個(gè)隨機(jī)變量取值的分散程度的。它具體的估算了隨機(jī)變量X

取值時(shí)，以X

的數(shù)學(xué)期望為中心的分散程度。（1）這個(gè)不等式對于任何具有方差的隨機(jī)變量X

都成立。通常稱這個(gè)不等式為契比曉夫不等式。設(shè)隨機(jī)變量X

有數(shù)學(xué)期望和方差，則對于任意給定的正數(shù)總成立不等式

當(dāng)時(shí)，在實(shí)際應(yīng)用及理論上都很有用。為簡便起見，下面就連續(xù)型隨機(jī)變量X

討論其正確性。設(shè)隨機(jī)變量X

的概率密度為f(x)表示X落在之外.證畢故故，契比曉夫不等式又可表示成下面形式不等式（2）給出了在隨機(jī)變量X

的分布未知的情況下，估計(jì)隨機(jī)事件的概率的一種方法。若在不等式（2）中取由于與是對立事件，所以(2)則分別有由契比曉夫不等式（2）可以看出，若方差越小，則概率越大，表明隨機(jī)變量X

取值越集中；反之，方差越大概率越小，表明隨機(jī)變量X

取值較分散。由此，我們可以更進(jìn)一步理解方差的概率含義。二、大數(shù)定律定理1(定理2契比曉夫定理的特殊情況）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且具有相同的有限數(shù)學(xué)期望和方差：。作前n

個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均，記為則對于任意正數(shù)恒有即（3）證明故因?yàn)樵谏鲜街辛畈⒆⒁獾礁怕什荒艽笥?，由契比曉夫不等式（2）可得即得（3）式中，是一個(gè)隨機(jī)事件，等式表明，當(dāng)時(shí)，這個(gè)事件的概率趨于1，即對于任意正數(shù)當(dāng)n

充分大時(shí)，不等式幾乎都是成立的。通常我們稱序列依概率收斂于。一般地，設(shè)為一個(gè)隨機(jī)變量序列，a

是一個(gè)常數(shù)，若對于任意正數(shù)都有則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于a

。定理1表明:n很大時(shí),隨機(jī)變量的算術(shù)平均接近于數(shù)學(xué)期望這種接近是概率意義下的接近。通俗的說，在定理1的條件下，n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均，當(dāng)n

無限增加時(shí)將幾乎變成一個(gè)常數(shù)了。例如，在一個(gè)閉合容器內(nèi)有很多氣體分子，它們在不斷地運(yùn)動(dòng)，每個(gè)氣體分子的運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的。對于單個(gè)氣體分子而言，我們不能確定其在指定時(shí)刻的動(dòng)能。但是，在一定的溫度下，對于容器內(nèi)物理性質(zhì)和大數(shù)定律的結(jié)論是相吻合的。下面我們給出更一般的契比曉夫定理。和方差：（c為常數(shù)，i=1，2，…

）作前n

個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均，記為即則對于任意正數(shù)恒有（4）定理2(契比曉夫定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…,相互獨(dú)立，并且具有有限的數(shù)學(xué)期望定理2中要求方差（c為常數(shù)，i=1，2，…

），即是一致有界的。因此，當(dāng)n

無限增大時(shí)，是一個(gè)無窮小量。即當(dāng)n充分大時(shí)，的分布的分散程度是很小的。這表明，經(jīng)過算術(shù)平均后的的值，將比較緊密地集中在其數(shù)學(xué)期望值附近。即說明算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性。

定理2的證明可參照定理1完成。

定理3(貝努里定理,定理1、2的特例)設(shè)在

n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A

發(fā)生的次數(shù)為，在每次試驗(yàn)中事件A

發(fā)生的概率為p，則對于任意給定的正數(shù)ε＞0，恒有（5）（6）或證明顯然有由于只依賴于第i

次試驗(yàn)，而各次實(shí)驗(yàn)室是獨(dú)立的，于是相互獨(dú)立，且服從相同的（0—1）分布，即A

在第i

次試驗(yàn)中不發(fā)生，A

在第i

次試驗(yàn)中發(fā)生。引入隨機(jī)變量由定理1，得即又因?yàn)楣视胸惻锒ɡ硎瞧醣葧苑蚨ɡ淼奶乩?，它從理論上證明了頻率的穩(wěn)定性。只要試驗(yàn)次數(shù)n

足夠大，事件A出現(xiàn)的頻率與事件A

的概率p

有較大偏差的可能性很小。因此在實(shí)踐中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件發(fā)生的概率。5.2中心極限定理在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量，它們是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合效應(yīng)所形成的，而其中的每一個(gè)單個(gè)因素在總的效應(yīng)中所起的作用都是微小的。這類隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。在概率論中，論證隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理統(tǒng)稱為中心極限定理。下面介紹常用的三個(gè)中心極限定理。定理1(同分布的中心極限定理——列維-林德伯格定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…

Xn,…相互獨(dú)立同分布且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差,則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意x

，滿足注:作為定理1的推廣，我們有下面的定理

定理2

（李雅普諾夫定理）設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…

Xn,…

相互獨(dú)立，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：若每個(gè)Xi對總和∑Xi影響不大，記的分布函數(shù)對任意的x

，滿足則隨機(jī)變量定理2表明,不論各個(gè)隨機(jī)變量具有怎樣的分布,只要滿足定理2條件,它們的和當(dāng)n

很大時(shí),就近似地服從正態(tài)分布在很多問題中,所考慮的隨機(jī)變量都可表示成若干獨(dú)立的隨機(jī)變量之和.它們往往近似地服從正態(tài)分布.在后面將學(xué)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,我們會(huì)看到,中心極限定理是大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)。作為定理1的特殊情況，我們給出下面的定理

定理3

（德莫佛—拉普拉斯定理）設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),則有證X可以看作n個(gè)相互獨(dú)立,服從相同(0-1)分布的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn

之和:X=X1+X2+…+Xn

其中由于則定理1中的化為，故由定理1可得上述結(jié)論。定理3表明,當(dāng)n充分大時(shí),二項(xiàng)分布B(n,p)可近似地用正態(tài)分布N(np,)來代替.下面舉兩個(gè)關(guān)于中心極限定理的應(yīng)用的例子。因此,當(dāng)X~B(n,p),且n充分大時(shí),有(其中q=1-p)解設(shè)一袋味精凈重Xi克,一箱味精的凈重為X克,則例1:用機(jī)器包裝味精,每袋味精凈重為隨機(jī)變量,期望值為100克,標(biāo)準(zhǔn)差為10克,一箱內(nèi)裝有400袋味精,求一箱味精凈重大于40500克的概率.例2對敵陣地集中射擊,每次集中射擊的命中數(shù)的概率分布相同,數(shù)學(xué)期望為2,方差為1,求集中射擊100次有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率.解:設(shè)Xi為第i次集中射擊時(shí)的命中數(shù),X為100次射擊時(shí)總的命中數(shù),則(1)X1,X2,…

X100獨(dú)立同分布(2)(3)例3某單位有240臺(tái)電話機(jī),每臺(tái)電話機(jī)約有5%的時(shí)間要使用外線通話,設(shè)各電話機(jī)使用外線是相互獨(dú)立的,問這個(gè)單位需要按裝多少條外線才能以99%以上的概率保證每臺(tái)電話機(jī)需要外線時(shí)不占線。解將每臺(tái)電話機(jī)是否使用外線看作一次獨(dú)立試驗(yàn),240臺(tái)電話機(jī)是否使用外線看作240次貝努利試驗(yàn).設(shè)X為同時(shí)使用外線的電話機(jī)臺(tái)數(shù),m為需安裝的外線條數(shù),則X~B(240,0.05)，m滿足查表可得:故故取m=17例4設(shè)電路供電網(wǎng)中有10000盞燈,夜晚每一盞燈開著的概率都是0.7，假定各燈開、關(guān)是相互獨(dú)立的，計(jì)算同時(shí)開著的燈數(shù)在6800~7200之間的概率.解設(shè)同時(shí)開著的燈數(shù)為X,則作業(yè)：P107—2P112—5，8例

設(shè)一貨輪在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角度大于的概率為。若貨輪在航行中遭受了90