試題試題2024北京理工大附中初二4月月考數(shù)學一、單選題1．（3分）光在真空中的速度約為每秒30萬千米，用科學記數(shù)法表示（）千米/秒．A．0.3×106 B．3×105 C．30×104 D．300×1032．（3分）下列圖形不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）A．|a|＜b B．a+b＞0 C．ab＞0 D．b﹣a＞04．（3分）一把直尺和一塊三角板ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）擺放位置如圖所示，直尺一邊與三角板的兩直角邊分別交于點D，另一邊與三角板的兩直角邊分別交于點F，點A，那么∠BAF的大小為（）A．20° B．40° C．45° D．50°5．（3分）已知﹣＝1，則代數(shù)式（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣36．（3分）已知一個正多邊形的內角和為1440°，則這個正多邊形的每一個外角的度數(shù)是（）A．36° B．45° C．72° D．60°7．（3分）罰球是籃球比賽中得分的一個組成部分，罰球命中率的高低對籃球比賽的結果影響很大．如圖是對某球員罰球訓練時命中情況的統(tǒng)計：下面三個推斷：①當罰球次數(shù)是500時，該球員命中次數(shù)是411，所以“罰球命中”的概率是0.822；②隨著罰球次數(shù)的增加，“罰球命中”的頻率總在0.812附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性；③由于該球員“罰球命中”的頻率的平均值是0.809，所以“罰球命中”的概率是0.809．其中合理的是（）A．① B．② C．①③ D．②③8．（3分）如圖，正方形邊長為a，點E是正方形ABCD內一點，連接CE．給出下面四個結論：①AE+CE≥a；②CE≤a；④當CE＝a時，tan∠ABE＝，所有正確結論的序號為（）A．①② B．①③ C．①④ D．①③④二、填空題9．（3分）分式的值為0，則x的值是．10．（3分）方程的解為．11．（3分）將拋物線y＝x2先向下平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度后，得到的新拋物線解析式為．12．（3分）如圖，A，B，D三點在半徑為5的⊙O上，AB是⊙O的一條弦，若AB＝8，則OC的長為．13．（3分）有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，如表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為s甲2，s乙2，則s甲2s乙2（填“＞”、“＜”或“＝”）．14．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線交于點O，點M為AB的中點，BD＝8，則OM的長為．15．（3分）如圖，點M在正六邊形的邊EF上運動．若∠ABM＝x°，寫出一個符合條件的x的值．16．（3分）某單位承擔了一項施工任務，完成該任務共需A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序．施工要求如下：①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F(xiàn)，最后完成工序G；②完成工序A后方可進行工序B，工序C可與工序A，B同時進行；③完成工序D后方可進行工序E，工序F可與工序D，E同時進行；④完成各道工序所需時間如下表所示：工序ABCDEFG所需時間/天11152817163125（1）在不考慮其它因素的前提下，該施工任務最少天完成；（2）現(xiàn)因情況有變，需將工期縮短到80天．工序A，C，D每縮短1天需增加的投入分別為5萬元，6萬元，其余工序所需時間不可縮短萬元．三、解答題17．計算：．18．解不等式組，并將其解集在數(shù)軸上表示出來．19．已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）當該方程有兩個不相等的實數(shù)根時，求m的取值范圍；（2）當該方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)時，求m的值．20．下面是小方設計的“作等邊三角形”的尺規(guī)作圖過程．已知：線段AB．求作：等邊三角形△ABC．作法：如圖，①以點A為圓心，以AB的長為半徑作⊙A；②以點B為圓心，以AB的長為半徑作⊙B，交于⊙A于C；③連接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形．根據(jù)小方設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵點B，C在⊙A上，∴AB＝AC（）（填推理的依據(jù)）．同理∵點A，C在⊙B上，∴AB＝BC．∴＝＝．∴△ABC是等邊三角形．（）（填推理的依據(jù)）．21．在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點（1，0），（2，2），（1）求這個一次函數(shù)的表達式；（2）當x＞﹣1時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝mx+2的值大于一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），直接寫出m的取值范圍．22．為迎接2022年冬奧會，鼓勵更多的學生參與到志愿服務中學，甲、乙兩所學校組織了志愿服務團隊選拔活動，兩所學校各有400名學生進入綜合素質展開環(huán)節(jié)，為了了解兩所學校這些學生的整體情況（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行整理、描述和分析a．甲學校學生成績的頻數(shù)分布直方圖如圖：（數(shù)據(jù)分成6組：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）．b．甲學校學生成績在80≤x＜90這一組是：80 80  81  81.5 82  83    83 8485 86 86.5 87   88 88.5 89 89c．乙學校學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率（85分及以上為優(yōu)秀）如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率83.3847846%根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）甲學校學生A，乙學校學生B的綜合素質展示成績同為83分，這兩人在本校學生中綜合素質展示排名更靠前的是（填“A”或“B”）；（2）根據(jù)上述信息，推斷學校綜合素質展示的水平更高，理由為（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）．（3）若每所學校綜合素質展示的前120名學生將被選入志愿服務團隊，預估甲學校分數(shù)至少達到分的學生才可以入選．23．如圖，在△AOC中，OA＝OC，作∠COB的角平分線OH，過點C作CF⊥OH于點F．（1）求證：四邊形CDOF是矩形；（2）連接DF，若sinA＝，AC＝924．如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點P作⊙O的兩條切線PC，切點分別為C，D，連接OP（1）求證：OP⊥CD；（2）連接AD，BC，若∠DAB＝50°，OA＝2，求OP的長．25．小云在學習過程中遇到一個函數(shù)（x≥﹣2）．下面是小云對其探究的過程，請補充完整：（1）當﹣2≤x＜0時，對于函數(shù)y1＝|x|，即y1＝﹣x，當﹣2≤x＜0時，y1隨x的增大而，且y1＞0；對于函數(shù)y2＝x2﹣x+1，﹣2≤x＜0當時，y2隨x的增大而，且y2＞0；結合上述分析，進一步探究發(fā)現(xiàn)，當﹣2≤x＜0時，y隨x的增大而．（2）當x≥0時，對于函數(shù)y，當x≥0時x0123?y01?綜合上表，進一步探究發(fā)現(xiàn)，當x≥0時，畫出當x≥0時的函數(shù)y的圖象．（3）過點（0，m）（m＞0）作平行于x軸的直線l，結合（1）（2），解決問題：若直線l與函數(shù)的圖象有兩個交點．26．在平面直角坐標系xOy中，點M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意兩點．（1）直接寫出拋物線的對稱軸；（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比較y1與y2的大小，并說明理由；（3）若對于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，總有y1＜y2，求m的取值范圍．27．在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于點M（不與點M，C重合），將線段DM繞點D順時針旋轉2α得到線段DE．（1）如圖1，當點E在線段AC上時，求證：D是MC的中點；（2）如圖2，若在線段BM上存在點F（不與點B，M重合）滿足DF＝DC，EF，直接寫出∠AEF的大小28．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點S（﹣1，0），T（1，0）（0°＜α≤180°），將一個圖形先繞點S順時針旋轉α，再繞點T逆時針旋轉α（1）點R在線段ST上，則在點A（1，﹣1），B（3，﹣2），C（2，﹣2），D（0，﹣2）中，有可能是由點R經(jīng)過一次“90°對稱旋轉”后得到的點是；（2）x軸上的一點P經(jīng)過一次“α對稱旋轉”得到點Q．①當α＝60°時，PQ＝；②當α＝30°時，若QT⊥x軸，求點P的坐標；（3）以點O為圓心作半徑為1的圓．若在⊙O上存在點M，使得點M經(jīng)過一次“α對稱旋轉”后得到的點在x軸上，直接寫出α的取值范圍．參考答案一、單選題1．【解答】解：每秒30萬千米，用科學記數(shù)法表示3×105千米/秒．故選：B．2．【解答】解：選項B、C、D能找到這樣的一個點，所以是中心對稱圖形，選項A不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，故選：A．3．【解答】解：觀察數(shù)軸可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，A．|a|＞|b|＝b，該選項不符合題意；B．a+b＜0，該選項不符合題意；C．ab＜7，該選項不符合題意；D．b﹣a＝b+（﹣a）＞0，該選項符合題意；故選：D．4．【解答】解：由圖可得，∠CDE＝50°，∴∠CED＝40°，又∵DE∥AF，∴∠CAF＝40°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝60°﹣40°＝20°，故選：A．5．【解答】解：∵﹣＝3，∴﹣＝1，則＝1，∴mn＝n﹣m，即m﹣n＝﹣mn，則原式＝＝＝＝﹣3，故選：D．6．【解答】解：設此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180（n﹣2）＝1440，解得：n＝10，∴這個正多邊形的每一個外角等于：360°÷10＝36°．故選：A．7．【解答】解：當罰球次數(shù)是500時，該球員命中次數(shù)是411，但“罰球命中”的概率不一定是0.822；隨著罰球次數(shù)的增加，“罰球命中”的頻率總在0.812附近擺動，可以估計該球員“罰球命中”的概率是8.812；雖然該球員“罰球命中”的頻率的平均值是0.809，但是“罰球命中”的概率不是0.809．故選：B．8．【解答】解：①連接AC，△ABC為等腰直角三角形a，所以AE+CE≥；②連接CO，OC＝＝最?。剑?，故CE≥a；③當CE與圓O相切時，∠BCE最大，若∠BCE＝60°，tan30＝，故③錯誤；④當CE＝a時，CE與圓O相切，故④正確．故選：C．二、填空題9．【解答】解：∵分式的值為0，∴x﹣8＝0且x≠0，∴x＝8．故答案為1．10．【解答】解：，去分母，得5x＝﹣x+2，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解．故答案為：．11．【解答】解：將拋物線y＝x2先向下平移1個單位長度，再向右平移8個單位長度后2﹣1，故答案為：y＝（x﹣4）2﹣1．12．【解答】解：∵OD⊥AB，∴AC＝CB＝AB＝8，∴OC＝＝＝3，故答案為：3．13．【解答】解：＝×（11+12+13+14+15）＝13，s甲5＝×[（11﹣13）5+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）4+（15﹣13）2]＝2，＝×（12+12+13+14+14）＝13，s乙2＝×[（12﹣13）2+（12﹣13）5+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）5]＝0.8，∵7＞0.8，∴s甲6＞s乙2．故答案為：＞．14．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝4，∴AC⊥BD，OA＝OC＝×2＝2BD＝，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝3，∵點M為AB的中點，∴OM＝AB＝＝，故答案為：．15．【解答】解：連接BF，BE，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AF∥BE，∴∠A＝∠ABC＝∠AFE＝＝120°，∴∠ABF＝＝30°，∠ABE＝180°﹣∠A＝60°，∵點M在正六邊形的邊EF上運動，∠ABM＝x°，∴30°≤x≤60°，∴x＝50°．故答案為：50°（答案不唯一）．16．【解答】解：（1）由題意得：28+17+16+25＝86（天），即在不考慮其它因素的前提下，該施工任務最少86天完成；故答案為：86；（2）由題意可知，工序A縮短2天，工序D縮短2天時增加的投入最少8×5+4×2+6×2＝10+16+12＝38（萬元），即所增加的投入最少是38萬元．故答案為：38．三、解答題17．【解答】解：＝﹣2﹣2×＝﹣1﹣＝3．18．【解答】解：由①得，x≤2；由②得，x＞﹣3，故此不等式組的解集為：﹣3＜x≤3．在數(shù)軸上表示為：19．【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣（2m+6）x+m2﹣2＝4有兩個不相等的實數(shù)根，∴[﹣（2m+1]）4﹣4（m2﹣4）＞0，解得：m＞﹣．∴m的取值范圍是m＞﹣．（2）根據(jù)題意得5m+1＝0，解得m＝﹣，故m的值為﹣．20．【解答】解：（1）如圖，（2）完成下面的證明．證明：∵點B，C在⊙A上，∴AB＝AC（同圓的半徑相等  ）（填推理的依據(jù)）．同理∵點A，C在⊙B上，∴AB＝BC．∴AB＝AC＝BC．∴△ABC是等邊三角形．（三邊都相等的三角形是等邊三角形）（填推理的依據(jù)）．故答案為同圓的半徑相等；AB，BC．21．【解答】解：（1）把點（1，0），8）代入y＝kx+b得：，解得：，故一次函數(shù)解析式為：y＝2x﹣2；（2）把x＝﹣1代入y＝7x﹣2，求得y＝﹣4，把點（﹣7，﹣4）代入y＝mx+2，解得m＝8，∵當x＞﹣1時，對于x的每一個值，∴2≤m≤3．22．【解答】解：（1）甲學校學生成績的中位數(shù)為＝81.25，乙學校學生成績的中位數(shù)為84，故這兩人在本校學生中綜合素質展示排名更靠前的是A，故答案為：A；（2）根據(jù)上述信息，推斷乙學校綜合素質展示的水平更高，乙校的中位數(shù)更高；與甲校相比，說明乙校綜合展示水平高分的人數(shù)更多；故答案為：乙學校，與甲校相比，說明乙校綜合展示水平較高的同學更多，乙校的優(yōu)秀率更高（3）×50＝15，故預估甲學校分數(shù)至少達到88.4分的學生才可以入選，故答案為：88.5．23．【解答】（1）證明：∵OA＝OC，OD是AC邊上的中線，∴，∵∠COB的角平分線OH，∴∠BOF＝∠COF，∴，∵CF⊥OH∴四邊形CDOF是矩形．（2）解：∵OA＝OC，OD是AC邊上的中線，∴，∵，設OD＝4k，OA＝8k，根據(jù)勾股定理得，∴，∴，∴，∵四邊形CDOF是矩形，∴．24．【解答】解：（1）方法1、連接OC，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切線，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP＝∠COP，∵OD＝OC，∴OP⊥CD；方法2、∵PD，∴PD＝PC，∵OD＝OC，∴P，O在CD的中垂線上，∴OP⊥CD（2）如圖，連接OD，∴OA＝OD＝OC＝OB＝8，∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，∴∠COD＝60°，∵OD＝OC，∴△COD是等邊三角形，由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OP＝＝．25．【解答】解：（1）當﹣2≤x＜0時，對于函數(shù)y6＝|x|，即y1＝﹣x，當﹣2≤x＜4時，y1隨x的增大而減小，且y1＞3；對于函數(shù)y2＝x2﹣x+2，當﹣2≤x＜0時，y7隨x的增大而減小，且y2＞0；結合上述分析，對于函數(shù)y，y隨x的增大而減?。蚀鸢笧椋簻p小，減??；（2）函數(shù)圖象如圖所示：（3）觀察圖象可知，x＝﹣7時，最大值m＝，故答案為：．26．【解答】解：（1）拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞8）的對稱軸為：x＝﹣＝8，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1；（2）∵a＞0，拋物線開口向上；∴M（x2，y1），N（x2，y4）都在對稱軸右側，∵當x＞1時，y隨x的增大而增大1＜x2，∴y1＜y2；（3）∵m＜x3＜m+1，m+1＜x7＜m+2，∴＜，∵y1＜y8，a＞0，∴M（x1，y4）距離對稱軸更近，x1＜x2，則MN的中點在對稱軸的右側，∴解得：m．27．【解答】（1）證明：由旋轉的性質得：DM＝DE，∠MDE＝2α，∵∠C＝α，∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝α，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴DM＝DC，即D是MC的中點；（2）∠AEF＝90°，證明：如圖，延長FE到H使FE＝EH，AH，∵DF＝DC，∴DE是△FCH的中位線，∴DE∥CH，CH＝2DE，由旋轉的性質得：DM＝DE，∠MDE＝2α，∴∠FCH＝2α，∵∠B＝∠C＝α，∴∠ACH＝α，△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠ACH，AB＝AC設DM＝DE＝m，CD＝n，CM＝m+n，.DF＝CD＝n，∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝m+n，∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，∴CH＝BF，在△ABF和△ACH中，，∴△ABF≌△ACH（SAS），∴AF＝AH，∵FE＝EH，∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，28．【解答】解：（1）如圖，當點R與點O重合時，點R′繞點T逆時針旋轉90°