第六章

平行四邊形6.2平行四邊形的判定第3課時(shí)

平行線之間的距離及平行四邊形判定方法的選擇

在筆直的鐵軌上，夾在兩根鐵軌之間的平行枕木是否一樣長？你能說明理由嗎？與同伴交流.

情景導(dǎo)入

如圖，在方格紙上畫兩條互相平行的直線，在其中一條直線上任取若干點(diǎn)，過這些點(diǎn)作另一條直線的垂線，用刻度尺度量出平行線之間的垂線段的長度．

經(jīng)過度量，我們發(fā)現(xiàn)這些垂線段的長度都相等(從圖中也可以看到這一點(diǎn))．猜想：平行線間距離處處相等.探究1平行線之間的距離

探究新知如圖，直線a//b，A,B是直線a上任意兩點(diǎn)，AC⊥b，BD⊥b，垂足分別為C,D.求證：AC=BD.證明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，理論證明abABCD∴∠1=∠2=90°.∴AC∥BD.∴AB∥CD，∴四邊形ACDB是平行四邊形.∴AC=BD.12

如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離都相等(如圖：AC=BD),這個(gè)距離稱為平行線之間的距離.(簡記為：兩條平行線間的距離處處相等）.知識(shí)歸納AB思考：兩條平行線之間的距離與點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到線之間的距離有何區(qū)別與聯(lián)系？abAB

點(diǎn)到直線的距離只有一條，即過直線外點(diǎn)作直線的垂線段的長度；而平行線的距離有無數(shù)條即一直線任一點(diǎn)都可以得到一條兩平行直線的距離.例1如圖，直線AE//BD，點(diǎn)C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面積為16，則△ACE的面積為

.ABCDE分析：根據(jù)平行線之間的距離處處相等.解析：設(shè)高為h,則S△ABD=·BD·h=16,h=4,所以S△ACE=·AE·h=×5×4=10.10

例

題思考：若垂線段改為夾在兩條線段間的平行線段呢？它們是否相等呢？

由“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”易知其圍成的封閉圖形為平行四邊形，再由平行四邊形性質(zhì)易知夾在兩條平行線間的平行線段相等.例2已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，BN=DM，BE=DF．求證：四邊形MENF是平行四邊形.證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠MDF=∠NBE．∵DM=BN，DF=BE，∴△MDF≌△NBE(SAS).∴MF=NE，∠MFD=∠NEB．∴四邊形MENF是平行四邊形.∴∠MFE=∠NEF∴FM∥EN．

例

題ABCDEF證明：∵四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，∴AD

EF，EF

BC.∴ADBC.∴四邊形ABCD是平行四邊形.//=//=//=問題

四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，求證四邊形ABCD是平行四邊形.提示:要由其中的一個(gè)或多個(gè)平行四邊形，得出四邊形中邊角的條件，判定其他四邊形也是平行四邊形探究2平行四邊形判定方法的選擇

探究新知例3.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，給出下列四個(gè)條件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四邊形DEBF是平行四邊形的有（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)B

例

題【解析】由平行四邊形的判定方法可知：若是四邊形的對角線互相平分，可證明這個(gè)四邊形是平行四邊形，②不能證明對角線互相平分，只有①③④可以，故選B．例4如圖，在ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，連接AF，CE．求證：AF=CE．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，

例

題在△ABE和△CDF中，∠ABE＝∠CDF，

∠AEB＝∠CFD，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF=CE．

知識(shí)點(diǎn)1

兩條平行線之間的距離1.如圖，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于點(diǎn)E，F(xiàn)G⊥l2于點(diǎn)G，

則下列說法錯(cuò)誤的是（

D

）A.

AB＝CDB.

CE＝FGC.

A，B兩點(diǎn)間的距離就是線段AB的長度D.

l2與l1之間的距離就是線段CD的長度D隨堂練習(xí)2.如圖，直線l1∥l2，若△ABC的面積為10，則△DBC的面積（

C

）A.

大于10B.

小于10C.

等于10D.

不能確定第2題圖C3.如圖，在?ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，則AD

與BC之間的距離為（

B

）A.5B.10D.26第3題圖B4.如圖，直線a∥b，點(diǎn)A，B分別在直線a，b上，∠1＝45°.若點(diǎn)

C在直線b上，∠BAC＝105°，且直線a和b之間的距離為3，則線段

AC的長度為

?.6

5.在同一平面內(nèi)，已知直線a，b，c相互平行，直線a與b之間的距

離是4

cm，直線b與c之間的距離是6

cm，那么直線a與c之間的距離

是

?.2

cm或10

cm

A.

AD＝BCB.

AB∥DCC.

AB＝DCD.

∠A＝∠C知識(shí)點(diǎn)2

平行四邊形判定方法的選擇6.如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

C

）C7.（開放性試題）如圖，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，連

接DE并延長，交AB的延長線于點(diǎn)F，AB＝BF，請你添加一個(gè)條件

（不需再添加任何線段或字母），使四邊形ABCD是平行四邊形.你添

加的條件是

?.∠F＝∠CDE（答案不唯一）

8.在一次課題學(xué)習(xí)中，老師讓同學(xué)們合作編題.某學(xué)習(xí)小組受“趙爽

弦圖”的啟發(fā)，編寫了下面這道題，請你來解一解：如圖，將?ABCD

的四條邊DA，AB，BC，CD分別延長至點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，使得AE

＝CG，BF＝DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE.

求證：四邊形EFGH是

平行四邊形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，∴∠HCG＝∠EAF.

∵DH＝BF，∴DH＋CD＝BF＋AB，即CH＝AF.

又∵CG＝AE，∴△HCG≌△FAE，∴EF＝GH.

同理可得，EH＝GF.

∴四邊形EFGH是平行四邊形.

9.（教材P149習(xí)題T5變式）如圖，在7×7的方格紙中，每個(gè)小方格

都是邊長為1的小正方形，方格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A，B是方格紙

中的兩個(gè)格點(diǎn)，找出格點(diǎn)C，使△ABC的面積為3，則滿足條件的格點(diǎn)

C的個(gè)數(shù)是（

C

）A.4B.5C.6D.8C10.在?ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角.要在對角線BD上找點(diǎn)

N，M，使四邊形ANCM是平行四邊形.如圖，有甲、乙、丙三種方

案，其中正確的方案有（

A

）A.

甲、乙、丙B.

甲、乙C.

甲、丙D.

乙、丙A11.如圖，P是?ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，

得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA.

設(shè)它們的面積分別是S1，S2，

S3，S4，給出下列結(jié)論：①S1＋S3＝S2＋S4；②若

S3＝2S1，則S2＝

2S4；③若S1＋S3＝5，則四邊形ABCD的面積為10；④S1＋S2＝S3＋S4.

其中正確的是

.（填序號(hào)）①③

12.如圖，BD是?ABCD的對角線，過點(diǎn)A，C分別作AE⊥BD于點(diǎn)

E，CF⊥BD于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠ADE＝∠CBF.

∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AED＝∠CFB＝90°，∴△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.

又∵AE∥CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形.（2）若AD＝13，AE＝12，AB＝20，則點(diǎn)C到邊AB的距離為

?.

13.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于點(diǎn)E，E是

BD的中點(diǎn)，延長CD到點(diǎn)F，使DF＝CD，連接AF.

（1）求證：AE＝CE；解：（1）證明：∵E是BD的中點(diǎn)，∴BE＝DE.

∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBE.

∵∠AED＝∠CEB，∴△ADE≌△CBE，∴AE＝CE.

（2）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）證明：∵AE＝CE，BE＝DE，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD.

∵DF＝CD，∴DF＝AB.

又∵DF∥AB，∴四邊形A