河南省信陽(yáng)市淮濱縣多校聯(lián)考2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．2．某同學(xué)喜愛(ài)球類和游泳運(yùn)動(dòng)．在暑假期間，該同學(xué)上午去打球的概率為．若該同學(xué)上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為．已知該同學(xué)在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（

）A． B． C． D．3．已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則的解集是（

）A． B． C． D．4．已知關(guān)于的不等式成立的一個(gè)必要不充分條件是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．6．等差數(shù)列前項(xiàng)和為，則（

）A．44 B．48 C．52 D．567．雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．8．已知分別是函數(shù)的零點(diǎn)，則（

）A． B． C．3 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．已知是方程的實(shí)根，則下列各數(shù)為正數(shù)的是（

）A． B．C． D．10．如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個(gè)圓柱和直三棱柱組合而成，是上的動(dòng)點(diǎn).則（

）

A．為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面B．為的中點(diǎn)時(shí)，平面C．存在點(diǎn)，使得三棱錐體積是8D．存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為偶函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．三、填空題（本大題共3小題）12．某不透明紙箱中共有8個(gè)小球，其中2個(gè)白球，6個(gè)紅球，它們除顏色外均相同．一次性從紙箱中摸出4個(gè)小球，摸出紅球個(gè)數(shù)為，則．13．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則.14．設(shè)函數(shù)，若且，則的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，的最大值為.(1)求角；(2)若點(diǎn)在上，滿足，且，，解這個(gè)三角形.16．已知函數(shù)（）．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．某學(xué)校準(zhǔn)備訂做新的校服，有正裝和運(yùn)動(dòng)裝兩種風(fēng)格可供選擇，為了解學(xué)生和家長(zhǎng)們的偏好，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生及每名學(xué)生的一位家長(zhǎng)，得到以下的列聯(lián)表：更喜歡正裝更喜歡運(yùn)動(dòng)裝家長(zhǎng)12080學(xué)生16040(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生與家長(zhǎng)對(duì)校服風(fēng)格的偏好有差異；(2)若從家長(zhǎng)中按不同偏好的人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@5人中任選2人，記這2人中更喜歡正裝的家長(zhǎng)人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82818．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式，(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為．19．已知點(diǎn)，在雙曲線（，）上，直線.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)且時(shí)，直線與雙曲線分別交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.證明：直線過(guò)定點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程.

參考答案1．【答案】D【分析】根據(jù)交集、并集的定義求出、，再根據(jù)元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，即，?故選D.2．【答案】C【分析】上午打球?yàn)槭录嗀，下午游泳為事件B，利用全概率公式求出，再利用條件概率公式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)上午打球?yàn)槭录嗀，下午游泳為事件，則，于是，因此，所以上午打球的概率為.故選C.3．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，可判斷在上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】令，，則，所以在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，時(shí)，不等式化為，即，即，所以，所以不等式的解集為.故選C.4．【答案】A【分析】由，得，由必要不充分條件可得的取值范圍.【詳解】由，得，因?yàn)椴坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)必要不充分條件是，所以.故選A.5．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合奇函數(shù)的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，和不是奇函數(shù)，故AB錯(cuò)誤；的定義域?yàn)椋覞M足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在先增后減，故C錯(cuò)誤；的定義域?yàn)?，且滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，故D正確.故選D.6．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可【詳解】.故選C.7．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的離心率為，求得，即可得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為，即，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選B.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——漸近線方程的求解，根據(jù)雙曲線的離心率，得到是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理與運(yùn)算能力.8．【答案】C【分析】由題意可得函數(shù)與直線的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為，而與互為反函數(shù)，則由反函數(shù)的性質(zhì)可得和關(guān)于直線對(duì)稱，從而得，，進(jìn)而可求得答案.【詳解】由題意可得函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，直線也關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)和關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以.故選C.9．【答案】BC【分析】根據(jù)是方程的實(shí)根可得，計(jì)算判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膶?shí)根，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，則，D錯(cuò)誤；故選BC.10．【答案】ABC【分析】利用圓柱性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)證明平面，結(jié)合面面垂直判定定理可判斷A；利用直線平行的傳遞性證明，然后由線面平行判定定理可判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離向量公式求點(diǎn)到平面的距離，然后由棱錐體積公式列方程即可判斷C；求出平面的法向量，根據(jù)線面角的向量公式列方程求解可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題可知，半圓柱和三棱柱的底面在同一平面內(nèi)，由圓柱性質(zhì)可知平面，又平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以，即，又因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面，A正確；對(duì)于B，因?yàn)闉閳A柱底面圓的直徑，所以，由上知，，所以，由棱柱性質(zhì)可知，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，B正確；

對(duì)于C，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，圓柱的旋轉(zhuǎn)軸為軸，過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸建立如圖所在空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)辄c(diǎn)在以CD為直徑的半圓上，所以設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，令，得，則點(diǎn)到平面的距離為，易知，為正三角形，所以，所以，令，則，因?yàn)椋?，所以，所以，顯然有解，所以存在點(diǎn)（與不重合），使得三棱錐體積是8，C正確；對(duì)于D，由上可得，設(shè)平面的法向量為，則，令得，若存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，則，整理得，因?yàn)?，所以，即，，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，無(wú)法確定平面，不符合題意，D錯(cuò)誤.故選ABC.11．【答案】ABD【分析】由，結(jié)合偶函數(shù)定義及性質(zhì)判斷C，結(jié)合條件及偶函數(shù)定義判斷A，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及周期性判斷B，由條件結(jié)合周期性，對(duì)稱性求判斷D.【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C錯(cuò)誤；由，可得，由，可得，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，A正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以函?shù)為周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確；因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)周期，所以，又，所以，D正確；故選ABD.12．【答案】3【分析】根據(jù)給定條件，可得服從超幾何分布，再利用超幾何分布的期望公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，摸出紅球個(gè)數(shù)服從超幾何分布，，所以.故答案為：3.13．【答案】1【分析】利用三次導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合可得，然后可得.【詳解】由題可得，記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在上存在唯一零點(diǎn)，所以.故答案為：1.14．【答案】【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，判斷的范圍，進(jìn)而可得，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而推出的取值范圍．【詳解】函數(shù)，若且，如圖畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，由已知條件可知：，，，，由，故在為減區(qū)間，，的取值范圍是：．故答案為：．15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角恒等變換先化簡(jiǎn)函數(shù)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求A；（2）利用平面向量的基本定理及數(shù)量積計(jì)算可得AC，余弦定理可得BC，再由勾股定理逆定理可得B、C.【詳解】（1）由，由題意及三角函數(shù)的性質(zhì)可知：，即，又，∴；（2）

如圖所示，易得，∴(負(fù)值舍去)，由余弦定理可得：，∴，顯然：，由勾股定理逆定理可得.綜上.16．【答案】(1)；(2).【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可得最值；(2)由，可知，可初步確定的取值范圍，再變換主元，根據(jù)關(guān)于函數(shù)單調(diào)性可得，再根據(jù)(1)可知當(dāng)時(shí)恒成立.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，可得，，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，則函數(shù)的最小值為；(2)由題意有，又由函數(shù)（）單調(diào)遞減，且，可得，下面證明：當(dāng)時(shí)，，由關(guān)于的函數(shù)（）單調(diào)遞減，則有，由(1)有，故有在時(shí)恒成立，故若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．17．【答案】(1)有(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）計(jì)算，與臨界值比較可得結(jié)論；（2）利用超幾何分布寫(xiě)出分布列和期望.【詳解】（1）由題可知：更喜歡正裝更喜歡運(yùn)動(dòng)裝總計(jì)家長(zhǎng)12080200學(xué)生16040200總計(jì)280120400則，因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生與家長(zhǎng)對(duì)校服風(fēng)格的偏好有差異；（2）座談的家長(zhǎng)中更喜歡正裝的人數(shù)為，更喜歡運(yùn)動(dòng)裝的人數(shù)為，由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，則，，，故X的分布列為：X012P所以X的數(shù)學(xué)期望．18．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)構(gòu)造法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)退一相減法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可得數(shù)列前項(xiàng)和.【詳解】（1），，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，；，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，；（2）由（1）得，，作差可得，.19．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出a，b，即可得雙曲線方程；（