云南省楚雄彝族自治州2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，則（

）A． B． C． D．2．某同學(xué)測(cè)得連續(xù)7天的最低氣溫（單位：℃）分別為18，19，18，15，15，17，13，則該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為（

）A．15 B．17 C．17.5 D．183．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為1，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．4．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．63 C． D．315．已知直線和都是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．6．在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列直線與不垂直的是（

）A． B． C． D．7．設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在兩點(diǎn)，使得四邊形為正方形，則（

）A． B． C． D．8．若直線是曲線與的公切線，則直線的方程為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．為純虛數(shù) B．C．的實(shí)部不存在 D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)所有的，都有，則（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．在上可能單調(diào)遞增 D．在上可能單調(diào)遞減11．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上異于的一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記的斜率分別為，設(shè)為的內(nèi)心，記的面積分別為，，則（

）A． B．的離心率為C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知為等腰直角三角形，，若，則．13．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且為常數(shù)，則．14．在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，沿將折起為，則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，四棱錐外接球的表面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求角；(2)已知，求面積的最大值．16．如圖，在正三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，．(1)證明：平面．(2)求平面與平面夾角的余弦值．17．在一個(gè)牌堆中有6張牌，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，3，5，7．(1)規(guī)定每次隨機(jī)翻出一張牌，若數(shù)字為奇數(shù)，則放回這張牌，若數(shù)字為偶數(shù)，則不放回這張牌，求第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)的概率．(2)規(guī)定每次隨機(jī)翻出一張牌，然后放回，若數(shù)字為奇數(shù)，則得1分，若數(shù)字為偶數(shù)，則得2分，翻牌次數(shù)不限，直到總得分達(dá)到或超過(guò)5分，游戲結(jié)束．設(shè)游戲結(jié)束時(shí)翻牌的總次數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．18．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程．(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)．（?。┳C明：直線與的斜率之和為0．（ⅱ）求面積的最大值．19．定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：若對(duì)任意，且，都有，則稱是上的“好函數(shù)”．(1)若是上的“好函數(shù)”，求的取值范圍．(2)（?。┳C明：是上的“好函數(shù)”．（ⅱ）設(shè)，證明：．

參考答案1．【答案】C【分析】先計(jì)算集合A,再根據(jù)交集計(jì)算即可.【詳解】依題意得,則.故選C.2．【答案】D【分析】利用第70百分位數(shù)的定義求解即得.【詳解】將該組數(shù)據(jù)從小到大排列為，又，所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為18.故選D.3．【答案】A【分析】由實(shí)軸長(zhǎng)可列方程求得參數(shù)的值，進(jìn)一步即可求得漸近線方程.【詳解】由題可知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，則，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為．故選A.4．【答案】A【分析】由題意知，繼而由，解得，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式代入求值即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由，解得，故．故選A.5．【答案】A【分析】依題意當(dāng)或時(shí)，取得最值，代入檢驗(yàn)即可.【詳解】由題可知，當(dāng)或時(shí)，取得最值；對(duì)于A：，，符合題意，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.故選A.6．【答案】D【分析】結(jié)合正方體中常見(jiàn)的線面垂直，即可判斷A、B、C，利用三垂直定理可以判斷D.【詳解】對(duì)于A，在正方體中，，又，所以，故A不合題意；對(duì)于B，在正方體中，，又，所以，故B不合題意；對(duì)于C，在正方體中，，又，所以，故C不合題意；在平面內(nèi)的一條直線，若它和平面內(nèi)的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直，如圖，取中點(diǎn)F，連接OF，F(xiàn)E，易知，所以FE為在內(nèi)的射影，又與FE不垂直，所以與不垂直，所以D滿足題意，故選D．7．【答案】C【分析】根據(jù)四邊形為正方形可以得出，應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可.【詳解】要使得四邊形為正方形，結(jié)合圓的對(duì)稱性可得，滿足與圓相切，且，所以，所以，解得．故選C.8．【答案】B【分析】分別設(shè)兩曲線上的兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用導(dǎo)數(shù)求斜率，用斜率相等建立方程①，再利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率再次利用斜率相等建立方程②，解方程組即可求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，最后求得切點(diǎn)與斜率即可得解.【詳解】由，得，由，得．設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，則，又，由方程①②解得，所以直線過(guò)點(diǎn)，斜率為1，即的方程為．故選B.9．【答案】AB【分析】先解方程求得或，再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，復(fù)數(shù)實(shí)部，虛部的區(qū)分，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】由，解得或，故為純虛數(shù)．的實(shí)部為，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限或第三象限．故選AB．10．【答案】AC【分析】應(yīng)用賦值法及化簡(jiǎn)判斷A,B選項(xiàng)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性即可判斷C,D選項(xiàng).【詳解】令，則，若，則，即，所以為常數(shù)，則．因?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，故A正確，B錯(cuò)誤．，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故C正確．結(jié)合是開口向上的二次函數(shù)可知，不可能恒成立，故D錯(cuò)誤．故選AC.11．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，由題意點(diǎn)在以為直徑的圓上，由此即可判斷A；對(duì)于B，由離心率定義結(jié)合正弦定理即可判斷；對(duì)于C，由斜率公式結(jié)合離心率即可驗(yàn)算；對(duì)于D，由的關(guān)系以及這三個(gè)三角形的高一樣即可驗(yàn)算.【詳解】因?yàn)?，所以為正三角形，且點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，即，故A正確．不妨設(shè)，則的離心率為，故B錯(cuò)誤．，故C正確．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，故D正確．故選ACD.12．【答案】【分析】根據(jù)題意知為直角，，結(jié)合向量數(shù)量積公式計(jì)算的結(jié)果；【詳解】因?yàn)闉榈妊苯侨切?，，所以為直角，且，．故答案為?13．【答案】2【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合通項(xiàng)公式，依次求出關(guān)于的等式，再通過(guò)作差，即可求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，即．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，兩式相減得．因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以數(shù)列的公差，故，解得．故答案為：2.14．【答案】【分析】由題可知，當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積最大，求得外接圓的半徑，等腰梯形外接圓半徑，再根據(jù)四棱錐外接球的半徑的關(guān)系式解出半徑，最后用公式計(jì)算外接球的表面積.【詳解】由題可知，當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積最大．由折疊可知，，外接圓的半徑，等腰梯形中,等腰梯形外接圓圓心為的中點(diǎn)，且半徑，四棱錐外接球的半徑，故所外接球的表面積為．故答案為：.15．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)由正弦定理及兩角和的正弦定理得，再由得即可求解；(2)由余弦定理知，再由重要不等式知，最后通過(guò)三角形的面積公式求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?，所以由正弦定理可得．又，所以，所以，即．因?yàn)?，所以，所以，即，又，所以?2)由余弦定理可知，即．因?yàn)?，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的面積為，即面積的最大值為．16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形證明線線平行，然后用線面平行的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后利用向量坐標(biāo)法求夾角的余弦值即可得解.【詳解】（1）證明：取為的中點(diǎn)，連接．因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，且．又為棱的中點(diǎn)，所以．因?yàn)榍?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面平面，所以平面．?）取為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接．因?yàn)闉檎庵詢蓛纱怪保詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面的法向量為，則令，則，可得，又是平面的一個(gè)法向量，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．17．【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，.【分析】(1)第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)的概率受第一次翻出的數(shù)字是奇數(shù)還是偶數(shù)的影響，可以根據(jù)第一次翻出的數(shù)字的情況，將樣本空間表示為“第一次翻出的數(shù)字是奇數(shù)”和“第一次翻出的數(shù)字是偶數(shù)”兩個(gè)互斥事件的并集，利用全概率公式求解；(2)根據(jù)題意求出隨機(jī)變量X的每一個(gè)取值，再根據(jù)每個(gè)取值的含義求出其概率，列表即可得分布列，再用期望公式計(jì)算期望即可.【詳解】(1)設(shè)事件A:第一次翻出的數(shù)字是奇數(shù)，事件B:第一次翻出的數(shù)字是偶數(shù)，事件C:第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)，則，且與互斥，由題意得：，，，，由全概率公式得：，所以第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)的概率為.(2)隨機(jī)變量的可能取值為3，4，5．當(dāng)時(shí)，若前兩次都翻到偶數(shù)牌，則翻牌的總次數(shù)為3的概率為，若前兩次都只翻到一張偶數(shù)牌，則翻牌的總次數(shù)為3的概率為，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列如下：345．18．【答案】(1)；(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）12.【分析】(1)利用點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，可得答案；(2)（?。┰O(shè)直線，，的方程分別為，，，直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入可得答案；（ⅱ）求出，，得到的面積，利用的范圍可得答案．【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，因?yàn)?，所以，?lián)立，解得，所以拋物線的方程為；(2)（?。┳C明：設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，，由得，所以，所以，所以，故直線與的斜率之和為；（ⅱ）由得，同理可得，直線與軸交于點(diǎn)，則的面積，因?yàn)?，所以，所以，則，即面積的最大值為12，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.19．【答案】(1)(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用給定定義結(jié)合分離參數(shù)法求解即