試卷類型：II2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題部分請(qǐng)用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，非選擇題部分請(qǐng)用0.5mm的黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上非答題區(qū)域的答案均無效。3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意。1．若，則A．4 B． C． D．2．已知集合，，則A． B． C． D．3．已知，，，則向量在方向上的投影向量為A． B． C． D．4．若，則A． B． C． D．5．正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，若一個(gè)球的球心到正四棱臺(tái)各個(gè)面的距離均等于該球的半徑，則正四棱臺(tái)與該球的體積之比為A． B． C． D．6．已知且，則二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為A． B． C．1 D．247．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為A．B．C．D．8．已知，是雙曲線C：的焦點(diǎn)，過C上一點(diǎn)P作兩條漸近線的平行線，分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，記，的面積分別為，，若的最小值為，則C的離心率為A． B． C． D．2二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分。9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是A． B．為的最小值C． D．10．在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，若用隨機(jī)變量表示從這個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)取出的一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，表示，同時(shí)發(fā)生的概率，則A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，的均值為4D．當(dāng)（且）時(shí)，11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．若恒成立，則B．當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)只有1個(gè)C．若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，則D．當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，若，是△ABC的角平分線，點(diǎn)在上，，，則△ABC的面積為▲.13．亞冬會(huì)期間，某校學(xué)生會(huì)組織甲，乙，丙，丁，戊5個(gè)志愿服務(wù)團(tuán)，前往A，B，C這3個(gè)比賽場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，若每個(gè)場(chǎng)地至少分配1個(gè)志愿服務(wù)團(tuán)，每個(gè)志愿服務(wù)團(tuán)只能在1個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行服務(wù)，并且甲團(tuán)只能去A場(chǎng)地，則不同的分配方法種數(shù)為▲．14．已知直線：與圓：相切于點(diǎn)T，A是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，且以P為圓心，為半徑的圓恰與相切，則的最大值為▲．四、解答題：本大題共5小題，共77分。在解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，，為線段的中點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.16．（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；17．（本題滿分15分）已知數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，求證：.18．（本題滿分17分）在一個(gè)足夠大的不透明袋中進(jìn)行一個(gè)輪摸球試驗(yàn)，規(guī)則如下：每一輪試驗(yàn)時(shí)，袋中均有紅、黑、白三種顏色的球，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球（摸出的球不再放回），若摸出紅球．則試驗(yàn)成功；若摸出白球，則試驗(yàn)失??；若摸出黑球，則進(jìn)入判定環(huán)節(jié)：判定時(shí)，放回兩個(gè)黑球取出一個(gè)白球，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若為白球則試驗(yàn)失敗，否則試驗(yàn)成功．若試驗(yàn)成功，則結(jié)束試驗(yàn)，若試驗(yàn)失敗，則進(jìn)行下一輪試驗(yàn)，直至成功或輪試驗(yàn)進(jìn)行完．已知第輪試驗(yàn)開始時(shí)，袋中有1個(gè)紅球，個(gè)黑球，個(gè)白球．（1）求第1輪試驗(yàn)成功的概率；（2）某團(tuán)隊(duì)對(duì)這個(gè)試驗(yàn)進(jìn)行了一定的研究，請(qǐng)若干志愿者進(jìn)行了5輪試驗(yàn)，并記錄了第輪試驗(yàn)成功志愿者的比例，記，發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)試驗(yàn)輪數(shù)足夠大時(shí)，試驗(yàn)成功志愿者的比例；（3）記試驗(yàn)結(jié)束時(shí)，試驗(yàn)成功的概率為，證明：．參考數(shù)據(jù)：．附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．19．（本題滿分17分）由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.設(shè)橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比.已知橢圓與橢圓相似.（1）求橢圓的