高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市常熟市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知命題：“，”，則命題的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】易知“，”的否定為“，”.故選：B2.已知，則的最小值為（）A.4 B.5 C.3 D.2【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3.故選：C3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，則在中，，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D4.若函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，y=fx在0,+∞上單調(diào)遞減，符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，y=fx在0,+∞上單調(diào)遞增，不符合題意.綜上所述：實(shí)數(shù)的值為.故選：A.5.常熟“叫花雞”，又稱“富貴雞”，既是常熟的特產(chǎn)，也是聞名四海的佳肴，以其鮮美、香噴、酥嫩著稱.雙十一購(gòu)物節(jié)來(lái)臨，某店鋪制作了300只“叫花雞”，若每只“叫花雞”的定價(jià)是40元，則均可被賣(mài)出；若每只“叫花雞”在定價(jià)40元的基礎(chǔ)上提高（）元，則被賣(mài)出的“叫花雞”會(huì)減少只.要使該店鋪的“叫花雞”銷(xiāo)售收入超過(guò)12495元，則該店鋪的“叫花雞”每只定價(jià)應(yīng)為（）A.48元 B.49元 C.51元 D.50元【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，整理得，解得，又，所以，該店鋪的“叫花雞”每只定價(jià)應(yīng)為.故選：D.6.已知是奇函數(shù)，對(duì)于任意（），均有成立，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由任意（），均有成立，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，而是奇函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，不等式中，令，則，又，于是t+2<0f(t)>0或t+2>0f(t)<0，當(dāng)時(shí)，f(t)>f(-2)當(dāng)時(shí)，或，解得，則，解得，所以不等式的解集為.故選：C7.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)，為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（）參考公式：A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)函數(shù)y=fx的對(duì)稱中心為點(diǎn)，則是奇函數(shù)，則，代入整理得，比較系數(shù)可得，解得，所以對(duì)稱中心為.故選：C.8.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則代數(shù)式的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，可得；所以；因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；此時(shí).故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于的不等式（）的解集可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】不等式中，當(dāng)時(shí)，，解得，A可能；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，當(dāng)時(shí)，不等式化為，若，則；B可能；若，則或；若，則或，C不可能，D可能.故選：ABD10.若非零實(shí)數(shù)，，滿足，則下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】根據(jù)題意，不妨取滿足，此時(shí)不成立，即A錯(cuò)誤；易知，可知，即，可得B正確；同理可得，即，所以C正確；若，滿足，此時(shí)，即D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為奇函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.關(guān)于的方程有2個(gè)解D.若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則正實(shí)數(shù)的范圍是【答案】ACD【解析】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，即定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；且滿足，即可得為奇函數(shù)，即A正確；當(dāng)時(shí)，可得，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即B錯(cuò)誤；畫(huà)出函數(shù)圖象如下圖所示：易知代表函數(shù)圖象與和交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖可知方程有2個(gè)解，即C正確；關(guān)于的不等式可得，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，可知不等式有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上無(wú)整數(shù)解，因此只需在上包含一個(gè)即可，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，因此若不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，只需，解得；又為正實(shí)數(shù)，所以正實(shí)數(shù)的范圍是，可得D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.【答案】3【解析】集合的真子集為：，共3個(gè).所以集合的真子集個(gè)數(shù)為3.故答案為：313.已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_____.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此函數(shù)在R上是增函數(shù)，不等式，即，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：14.已知函數(shù)，記，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】或【解析】當(dāng)時(shí)，所以，解得或，設(shè)的兩個(gè)根為，（設(shè)，，，，由，得，由于，則，故，此時(shí)，,符合題意，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，此時(shí)對(duì)，故對(duì)任意的恒成立，故,滿足，綜上可知或故答案為：或四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)全集，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以或，所以，或x>2}=x|-4<x<-1；（2）當(dāng)時(shí)，得，解得，當(dāng)時(shí)，由，則2a-1≤a+22a-1>-4a+2<1，解得，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為或.16.已知函數(shù)（，）.（1）若是否存在，使命題：“，”與命題：“，”均為真命題，若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；（2）若，且在區(qū)間上的最小值為，求的值.解：（1）由，得，解得，，由，，得，解得；由，，得，解得，而命題均為真命題，則，所以存在，使命題均為真命題，的取值范圍是.（2）由，得，，當(dāng)時(shí)，，解得，因此；當(dāng)時(shí)，，解得或，因此，所以或.17.已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且.（1）求實(shí)數(shù)的值及在上的解析式：（2）判斷并證明在上的單調(diào)性；（3）解關(guān)于的不等式：.解：（1）由為定義在上的偶函數(shù)，，得，而當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，，，所以在上的解析式為.（2）由（1）知，，函數(shù)在0,2上單調(diào)遞減.證明如下：，，由，得，則，即，因此，所以函數(shù)在0,2上單調(diào)遞減.（3）由（2）知，不等式，又函數(shù)在0,2上單調(diào)遞減，則，即或，解得或，所以原不等式的解集為.18.某市為了改善交通，緩解交通壓力，完善交通道路網(wǎng)，在該市交通部門(mén)的配合下，對(duì)該市某個(gè)重要路口的交通情況做了一個(gè)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)一天中，該路口的交通擁堵指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）有如下關(guān)系：（常數(shù)，我們把的最大值記作，用作為當(dāng)天的擁堵指數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求當(dāng)天擁堵指數(shù)的值；（2）求當(dāng)天擁堵指數(shù)的表達(dá)式.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，而，所以當(dāng)天擁堵指數(shù)的值為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，而，函數(shù)在的圖象與直線有唯一公共點(diǎn)，令該公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，，，顯然，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)天擁堵指數(shù)的表達(dá)式.19.已知函數(shù)定義域?yàn)?，若存在，，?shí)數(shù)大于0，對(duì)，有成立，則稱為定義在上的函數(shù).（1）已知為定義在上函