2025屆高三數(shù)學(xué)模擬測試卷本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把集合解出來化成最簡形式，再利用補集和交集的定義即可得出答案.【詳解】由或，故集合或，所以，易得集合，故.故選：B.2.已知條件，條件，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】化簡命題，并求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】或，則，，則或，因此推出，而不能推出，所以是的必要不充分條件.故選：B3.設(shè)是定義域為的奇函數(shù)，且.若，則（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性與已知關(guān)系，證明是周期函數(shù)，利用函數(shù)周期性與奇偶性結(jié)合已知條件，求函數(shù)值即可.【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，則，則，故是以為周期的周期函數(shù)，由，則.故選：B.4.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，再利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，最后即可比較大小關(guān)系.【詳解】，則，即，因為，則，則，則.又因為，所以.故選：B.5.已知，，，且，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.9【答案】B【解析】【分析】運用基本不等式，通過已知條件進行變形，構(gòu)造基本不等式求最值即可.【詳解】，由于，則，由于，當且僅當，時取等號.則，當且僅當時取等號，則的最小值為3.故選：B.6.已知為銳角，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式與兩角和的余弦公式化簡已知條件等式得，根據(jù)角的范圍與函數(shù)值的大小比較得，從而得到，然后利用兩角差的余弦公式求得，再利用二倍角的余弦公式求可得.【詳解】由，得，則，由為銳角，則，又，，故，所以，由二倍角余弦公式得，則.又為銳角，所以，故.故選：C.7.已知x，，若恒成立，則實數(shù)m的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】的幾何意義為兩動點與的距離，A在曲線上，B在曲線上，為拋物線的焦點，的最小值就是，即求點到曲線上點的最小值，通過設(shè)點，由兩點間距離公式，利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】的幾何意義為兩動點與的距離，A在曲線上，B在曲線上，拋物線開口向右，焦點，作出兩曲線與的圖象，如圖所示，可得，，最小值就是，即求點到曲線上點的最小值.取曲線上點，，令，則，函數(shù)單調(diào)遞增，且，則有在上為負，在上為正，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則的最小值為，即的最小值為，所以實數(shù)m的最大值是.故選：D.【點睛】思路點睛：某些代數(shù)式的最值問題，用代數(shù)方法解決相當繁瑣，如果所求代數(shù)式具有某種幾何意義，根據(jù)代數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想幾何背景，建立解析幾何基本模型，然后再利用解析幾何的有關(guān)公式、性質(zhì)、圖形特征、位置關(guān)系探求解法，能使我們在的問題簡化，使解題變得更輕松，這對于開拓思路，提高和培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力大有裨益.8.甲、乙兩人進行一場游戲比賽，其規(guī)則如下：每一輪兩人分別投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，比較兩者的點數(shù)大小，其中點數(shù)大的得3分，點數(shù)小的得0分，點數(shù)相同時各得1分．經(jīng)過三輪比賽，在甲至少有一輪比賽得3分的條件下，乙也至少有一輪比賽得3分的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)古典概型得出一輪游戲中，甲得3分、1分、0分的概率.進而求出三輪比賽，在甲至少有一輪比賽得3分的概率，以及事件三輪比賽中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根據(jù)條件概率公式，計算得出答案.【詳解】用分別表示甲、乙兩人投擲一枚骰子的結(jié)果，因為甲、乙兩人每次投擲均有6種結(jié)果，則在一輪游戲中，共包含個等可能的基本事件.其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15個，概率為.同理可得，甲每輪得0分的概率也是，得1分的概率為.所以每一輪甲得分低于3分的概率為．設(shè)事件A表示甲至少有一輪比賽得3分，事件表示乙至少有一輪比賽得3分，則事件表示經(jīng)過三輪比賽，甲沒有比賽得分為3分.則，.事件可分三類情形：①甲有兩輪得3分，一輪得0分，概率為；②甲有一輪得3分，兩輪得0分，概率為；③甲有一輪得3分，一輪得0分，一輪得1分，概率為.所以，所以.故選：B．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則下列說法正確的有（）A.若，則或B.若，則C.若，則D.若，則位于第三象限【答案】BD【解析】【分析】對于A，利用列舉反例的方法，結(jié)合模長公式，可得答案；對于B，利用復(fù)數(shù)的幾何意義求出，在利用復(fù)數(shù)的運算求出的值即可判斷；對于C，利用復(fù)數(shù)模的計算公式進行計算即可；對于D，對復(fù)數(shù)進行化簡，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，由題意可知：，所以，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，因為，故，位于第三象限，故D正確；故選：BD.10.若隨機變量，隨機變量，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)逐項判斷.【詳解】，A正確；因為，所以，B錯誤；，故C正確；，，，D錯誤．故選：AC.11.如圖是一個邊長為1的正方體的平面展開圖，M為棱AE的中點，點N為平面EFGH內(nèi)一動點，若平面BDG，下列結(jié)論正確的為（）A.點N的軌跡為正方形EFGH的內(nèi)切圓的一段圓弧B.存在唯一的點N，使得M，N，G，D四點共面C.無論點N在何位置．總有D.MN長度的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】把展開圖折疊成正方體，利用正方體中的線面位置關(guān)系對選項進行逐一判斷.【詳解】將展開圖折疊成正方體，如圖所示：連接，，，則，.取的中點，的中點，連接，，，則，，所以，不在面內(nèi)，面，則面，同理有，不在面內(nèi)，面，則面，而相交且都在面內(nèi)，故平面平面.要使平面，則點在線段上，故點的軌跡為線段，故A錯誤；當點與點重合時，，又，所以四點共面，由圖可知，點與點不重合時，與異面，所以B正確；在正方體的結(jié)構(gòu)特征，易證平面，又平面平面，所以平面，又平面，所以，所以C正確；當點為中點時，長度最小，連接，則，，當點與點（或）重合時，的長度最大，此時，所以長度的取值范圍為：，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，且，，，則________【答案】##【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意列出方程組求解即可.【詳解】由題意可設(shè)，則已經(jīng)滿足，，還需保證，所以，解得.故答案為：.13.已知點是雙曲線左支上一點是雙曲線的左、右兩個焦點，且與兩條漸近線相交于兩點（如圖），點恰好平分線段，則雙曲線的離心率是______．【答案】【解析】【分析】利用三角形中位線定理、銳角三角函數(shù)的正弦與余弦的定義，結(jié)合已知，可以求出的雙曲，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】因為是中點，即是中位線，則，可得，，又因為，則，，關(guān)系則，所以雙曲線的離心率是.故答案為：.14.已知函數(shù)，若存在，使得，且的最小值為1，則___________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)，求得，構(gòu)造，結(jié)合其單調(diào)性即可求解.【詳解】當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞增，又可得，且因為存在，使得，所以，即.不妨設(shè)，則，即，所以.設(shè)函數(shù)，則.所以在上單調(diào)遞減，，解得.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知中，三個內(nèi)角的對應(yīng)邊分別為，且．（1）若，求c；（2）設(shè)點M是邊AB的中點，若，求的面積．【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理列出方程求解即得.（2）由余弦定理求得中線與邊長的關(guān)系，從而求得三角形的第三邊長，再由余弦定理求出一個角的余弦，轉(zhuǎn)化為正弦后可得三角形面積．【小問1詳解】在中，由余弦定理，得，整理得，而，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又，，兩式相加得，即，解得，即，則，，所以的面積.16.已知函數(shù)．（1）若，求過原點且與相切的切線方程；（2）若關(guān)于的不等式對所有成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點橫坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解即得.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類探討函數(shù)的單調(diào)性，求出當時的值范圍.【小問1詳解】當時，，求導(dǎo)得，設(shè)切點橫坐標，則切線方程，而切線過原點，于是，解得，所以切線方程是.【小問2詳解】依題意，，①若，則在時恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則對所有，不滿足題意；②若，則，由，得；由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（ⅰ）若，則，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，不滿足題意；（ⅱ）若，則，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對所有，，符合題意，所以的取值范圍是．17.如圖，在圓錐中，若軸截面是正三角形，C為底面圓周上一點，F(xiàn)為線段上一點，D（不與S重合）為母線上一點，過D作垂直底面于E，連接，且．（1）求證：平面平面；（2）若為正三角形，且F為的中點，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面平行的判定方法，證明面面平行.（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量方法求二面角的余弦.【小問1詳解】因為，所以，因為平面，平面，所以平面，因為垂直底面于垂直底面于O，所以，同理平面，因為，且平面，平面，所以平面平面．【小問2詳解】不妨設(shè)圓錐的底面半徑為2，因為軸截面是正三角形，所以，如圖，設(shè)平面與底面圓周交于G，因為為正三角形，且F為的中點，所以，所以E為的中點，所以為的中位線，所以，如圖，在底面圓周上取一點H，使得，以直線為x，y，z軸建立空間坐標系，由已知得，，，設(shè)的中點為M，則平面的法向量為，所以，設(shè)平面的一個法向量為，所以，，令，則，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.在中，已知，，設(shè)分別是的重心、垂心、外心，且存在使.（1）求點的軌跡的方程；（2）求的外心的縱坐標的取值范圍；（3）設(shè)直線與的另一個交點為，記與的面積分別為，是否存在實數(shù)使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)重心坐標公式以及向量共線可得，即可根據(jù)垂直的坐標運算求解，（2）根據(jù)外心的性質(zhì)得，與橢圓方程聯(lián)立可得，即可根據(jù)橢圓的有界性求解，（3）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達定理，即可根據(jù)共線關(guān)系以及面積的表達，代入化簡求解即可.【小問1詳解】設(shè)，則的重心.，，則，為垂心，故因為存在使，故，所以，，而，由垂心定義得，即，整理得，所以點的軌跡的方程為.【小問2詳解】由外心的定義知點在軸上，則，的中點，，所以，整理得.與的方程為聯(lián)立，得.因為，所以.【小問3詳解】由對稱性，不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)，，直線：，聯(lián)立方程得，，整理得；，又，所以.由條件知，，，所以三點共線且所在直線平行于軸，由，知，所以.令，解得（舍去）.又點在直線：上，所以，即，所以.又，聯(lián)立得，所以.又，所以，即，所以.所以，當點在第一、四象限時，；當點在第二、三象限時，.故存在實數(shù)使.【點睛】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.19.設(shè)和是兩個等差數(shù)列，記，其中表示，，，這個數(shù)中最大的數(shù)．（1）若，，求，，的值；（2）若為常數(shù)列，證明是等差數(shù)列；（3）證明：或者對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當時，；或者存在正整數(shù)，使得，，，，是等差數(shù)列．【答案】（1），，；（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）分別求得，，，，，，代入即可求得，，；（2）根據(jù)，，即可作差得，即可根據(jù)時，則，以及時，，此時為常數(shù)，所以是等差數(shù)列；（3）方由，分類討論，，三種情況進行討論根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求得使得，，，是等差數(shù)列；【小問1詳解】已知，，，，，，，