專題06二次函數(shù)

目錄

01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（5大模塊知識(shí)梳理）

知識(shí)模塊一：二次函數(shù)的相關(guān)概念

知識(shí)模塊二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

知識(shí)模塊三二次函數(shù)與a，b，c之間的關(guān)系

知識(shí)模塊四二次函數(shù)與方程、不等式

知識(shí)模塊五二次函數(shù)的應(yīng)用

03究·考點(diǎn)考法：對考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大考點(diǎn)）

考點(diǎn)一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)二：判斷二次函數(shù)圖象a，b，c之間的關(guān)系

考點(diǎn)三：二次函數(shù)含參問題

考點(diǎn)四：二次函數(shù)解析式的確定及圖象變化

考點(diǎn)五：二次函數(shù)最值

考點(diǎn)六：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系

考點(diǎn)七：二次函數(shù)與不等式關(guān)系

考點(diǎn)八：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

考點(diǎn)九：二次函數(shù)綜合

04辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，沖刺高分。（5大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)一：忽略題目中的隱含條件

易錯(cuò)點(diǎn)二:混淆二次函數(shù)的增減性與一次函數(shù)的增減性

易錯(cuò)點(diǎn)三：考慮不全,導(dǎo)致出錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)四：求最值時(shí)忽略自變量的取值范圍

易錯(cuò)點(diǎn)五：忽略二次函數(shù)圖象中二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)導(dǎo)致出錯(cuò)

1

知識(shí)模塊一：二次函數(shù)的相關(guān)概念

知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中，x是自變量，a是

二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng)。

注意：如果已說明該函數(shù)為二次函數(shù),那么隱含條件為a≠0.

知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)解析式的確定

1.二次函數(shù)常見表達(dá)式

名稱解析式適用范圍

一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)已知拋物線上的無規(guī)律的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)

頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k（a，h，k為常數(shù)，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸、最值

a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）

交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)

2

注意:拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方ax2

+bx+c=0的解

相互聯(lián)系1）以上三種表達(dá)式是二次函數(shù)的常見表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.

2)一般式化為頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，主要運(yùn)用配方法、因式分解等方法.

2.對未給定二次函數(shù)解析式,根據(jù)所給點(diǎn)坐標(biāo)選擇適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)方式

(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),可設(shè)為y=ax2

(2)對稱軸是y軸(或頂點(diǎn)在y軸上),可設(shè)為y=ax2+c;

(3)頂點(diǎn)在x軸上,可設(shè)為y=a(x-h)2;

(4)拋物線過原點(diǎn),可設(shè)為y=ax2+bx.

知識(shí)模塊二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線

的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).

注意：

圖象特征

二次函數(shù)圖象的畫法(1)依據(jù)解析式列表、描點(diǎn)、連線畫出二次函數(shù)圖象;(2)利用配方法找

出函數(shù)圖象頂點(diǎn);利用因式分解法或公式法找出圖象與x軸的交點(diǎn);利用一般式中的c值找

出圖象與y軸的交點(diǎn),畫出簡易的函數(shù)圖象.

基本形式y(tǒng)=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c

圖

a>0

象

3

a<0

對稱軸y軸y軸x=hx=hx=

?

?2?

頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(，)

2

?4????

?2?4?

a>0開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)y有最小值；

2

最?4????

?2?4?

值

a<0開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)時(shí)y有最大值.

2

?4????

?2?4?

增a>0在對稱軸x=的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸x=的右邊y隨x的增大而增大.

??

減?2??2?

性a<0在對稱軸x=的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸x=的右邊y隨x的增大而減小.

??

?2??2?

知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖象變換

1.二次函數(shù)的平移變換

總結(jié)：拋物線的平移規(guī)律左加右減自變量，上加下減常數(shù)項(xiàng)”

方法一:

(1)將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k);

(2)保持拋物線y=ax2的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到(h,k)處,

方法二:

(1)將拋物線y=ax2+bx+c沿y軸向上(或向下)平移m(m>0)個(gè)單位,得拋物線y=ax2+bx+c+m(或

y=ax2+bx+c-m);

(3)(2)將拋物線y=ax2+bx+c沿x軸向左(或向右)平移m(m>0)個(gè)單位,得拋物線y=a(x+m)2+b(x+m)+c(或

y=a(x-m)2+b(x-m)+c)具體平移方法如下:

平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣

4

左加

向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k

向右平移n個(gè)單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減

向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減

2.二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)

變換前變換方式變換后口訣

繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號，h、k均不變

y=a(x-h)2+k

繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號

沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號，h不變

沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號

知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)的對稱性問題

拋物線的對稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：

1）求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；

2）已知拋物線上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，求其對稱軸.

解題技巧：

1.拋物線上兩點(diǎn)若關(guān)于直線，則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與x=的差的絕對值相等；

?

???

2若二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=對稱；

?

???

3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關(guān)于y軸對稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的

圖象于x軸對稱.

知識(shí)模塊三二次函數(shù)與a，b，c之間的關(guān)系

關(guān)系符號圖象特征

a決定拋物線a>0開口向上|a|越大，拋物線的開口?。?/p>

5

的開口方向

a<0開口向下

a、b共同決b=0對稱軸是y軸

定拋物線對

ab>0(a，b同號)對稱軸在y軸左側(cè)左同右異

稱軸的位置

ab<0((a，b異號))對稱軸在y軸右側(cè)

c決定了拋物c=0拋物線經(jīng)過原點(diǎn)

線與y軸交

c>0拋物線與y軸交于正半軸

點(diǎn)的位置．

c<0拋物線與y軸交于負(fù)半軸

由b2-4ac確b2-4ac>0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

定拋物線與

xb2-4ac=0拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)

軸交點(diǎn)的個(gè)

b2-4ac＜0拋物線與x軸沒有交點(diǎn)

數(shù)

注意：當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c;當(dāng)x=-1時(shí),y=a-b+c.若a+b+c>0,即當(dāng)x=1時(shí)y>0;若a-b+c<0,即當(dāng)x=-1時(shí),y<0.

知識(shí)模塊四二次函數(shù)與方程、不等式

知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c=0圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

b2-4ac與0的關(guān)系二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況

b2-4ac>02個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

b2-4ac=01個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

b2-4ac<00個(gè)交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根

知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)與不等式的關(guān)系（以a大于0為例）

不等式以a大于0為圖象觀察方法解集

例

6

2

ax＋bx＋c>0函數(shù)y=ax2+bx+c的x<x1或x>x2

的解集情況圖象位于x軸上方時(shí)

對應(yīng)的自變量的取值

范圍

2

ax＋bx＋c<0函數(shù)y=ax2+bx+c的x1<x<x2

的解集情況圖象位于x軸下方時(shí)

對應(yīng)的自變量的取值

范圍

知識(shí)模塊五二次函數(shù)的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)一：用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟

1.審：仔細(xì)審題，理清題意；

2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)

的未知數(shù)；

3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；

4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問題；

5.檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.

注意：二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果頂

點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．

知識(shí)點(diǎn)二：方法技巧總結(jié)

1.利用二次函數(shù)解決面積最值：利用圖形面積公式構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù),利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求

出最值，注意解題時(shí)必須結(jié)合自變量的取值范圍和函數(shù)的增減性確定最值

2.拋物線形問題：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,建立函數(shù)模型,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題

3.銷售利潤問題：根據(jù)“利潤=(售價(jià)-進(jìn)價(jià))×銷量列出函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值

4.利用二次函數(shù)解決動(dòng)點(diǎn)問題：首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線

或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)

行計(jì)算．

5.利用二次函數(shù)解決存在性問題：一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該

點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列

7

出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．

考點(diǎn)一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【典例1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線yx22x向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)

式為（）

2222

A．yx13B．yx12C．yx13D．yx12

22，，，，5，

【典例2】（2024·四川涼山·中考真題）拋物線yx1c經(jīng)過2y10y2y3三點(diǎn)，則

32

，，

y1y2y3的大小關(guān)系正確的是（）

A．y1y2y3B．y2y3y1C．y3y1y2D．y1y3y2

【典例3】（2024·安徽馬鞍山·二模）下列函數(shù)中，當(dāng)x0時(shí)，y隨x的值的增大而增大的是（）

A．yx1B．yx1

22

C．yx1D．yx1

【典例4】（2024·西藏·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A3,0，

B1,0，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①abc0

②3b2c0

③對任意實(shí)數(shù)m，am2bmab均成立

1

④若點(diǎn)4,y1，,y2在拋物線上，則y1y2

2

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

1

【典例5】（2024·貴州遵義·二模）已知函數(shù)y的圖象與二次函數(shù)y2ax23ax1(a0)的圖象交于點(diǎn)

x1

Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3．若點(diǎn)A在x軸下方且y2y3時(shí)，則下列正確的是（）

8

A．x1x2x3B．x2x1x3

C．x30x1x2D．x3x2x1

【典例6】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線yx24上，點(diǎn)D在

y軸上．若A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n（mn0），下列結(jié)論正確的是（）

m

A．mn1B．mn1C．mn1D．1

n

考點(diǎn)二：判斷二次函數(shù)圖象a，b，c之間的關(guān)系

【典例1】（2024·山東青島·三模）二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc0；

22

②2ab0；③m為任意實(shí)數(shù)，則abm(amb)；④abc0；⑤若ax1bx1ax2bx2，且x1x2，

則x1x22．其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

【典例2】（2024·湖北武漢·二模）函數(shù)y1、y2在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則在該平面直角

坐標(biāo)系中，函數(shù)yy1y2的大致圖象是（）

9

A．B．

C．D．

【典例3】（2024·四川自貢·中考真題）一次函數(shù)yx2n4，二次函數(shù)yx2(n1)x3，反比例函數(shù)

n1

y在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（）

x

A．n1B．n2C．1n1D．1n2

【典例4】（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線yax2bxc（a、b、c為常數(shù)，且a0）的對

稱軸為直線x=1，且該拋物線與x軸交于點(diǎn)A1,0，與y軸的交點(diǎn)B在0,2，0,3之間（不含端點(diǎn)），

則下列結(jié)論正確的有多少個(gè)（）

10

①abc0；

②9a3bc0；

2

③a1；

3

④若方程ax2bxcx1兩根為m,nmn，則3m1n．

A．1B．2C．3D．4

【典例5】（2024·山東青島·中考真題）二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，對稱軸是直線x1，則

過點(diǎn)Mc,2ab和點(diǎn)Nb24ac,abc的直線一定不經(jīng)過（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

2

【典例6】（2024·四川雅安·中考真題）已知一元二次方程axbxc0有兩實(shí)根x11，x23，且abc0，

則下列結(jié)論中正確的有（）

4c

①2ab0；②拋物線yax2bxc的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,；

3

③a<0；④若mamb4a2b，則0m1．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【典例7】（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)

圖象經(jīng)過點(diǎn)1,0，對稱軸為直線x2．對于下列結(jié)論：①abc0；②acb；③多項(xiàng)式ax2bxc可

因式分解為x1x5；④當(dāng)m9a時(shí)，關(guān)于x的方程ax2bxcm無實(shí)數(shù)根．其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

11

考點(diǎn)三：二次函數(shù)含參問題

【典例1】（2024·四川內(nèi)江·二模）若二次函數(shù)ykx23x1的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

99

A．kB．k且k0

44

99

C．kD．k且k0

44

【典例2】（2024·山東菏澤·一模）若二次函數(shù)ym2x2mxm22m8經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值為（）

A．2B．4C．2或4D．無法確定

【典例3】（2024·廣東廣州·一模）二次函數(shù)yk1x2k的圖象開口向．

【典例4】（2023·浙江嘉興·中考真題）在二次函數(shù)yx22tx3(t0)中，

(1)若它的圖象過點(diǎn)(2,1)，則t的值為多少？

(2)當(dāng)0x3時(shí)，y的最小值為2，求出t的值：

(3)如果A(m2,a),B(4,b),C(m,a)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且ab3，求m的取值范圍．

22

【典例5】（2024·云南·二模）我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)y1a1xb1xc1與y2a2xb2xc2同時(shí)滿

22023

足

a2c1b2b1c2a10，b1b20，則稱函數(shù)y1與函數(shù)y2互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約

定，解答下列問題．

22

(1)若關(guān)于x

的二次函數(shù)y12xkx3與y2mxxn互為“美美與共”函數(shù)，求k，m，n的值．

2

(2)對于任意非零實(shí)數(shù)r，s，點(diǎn)Pr,t與點(diǎn)Qs,trs始終在關(guān)于x的函數(shù)y1x2rxs的圖象上運(yùn)動(dòng)，

函數(shù)y1與y2互為“美美與共”函數(shù)．

①求函數(shù)y2的圖象的對稱軸．

②函數(shù)y2的圖象是否經(jīng)過某兩個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過某兩個(gè)定點(diǎn)，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由．

12

考點(diǎn)四：二次函數(shù)解析式的確定及圖象變化

【典例1】（2024·江蘇南通·中考真題）將拋物線yx22x1向右平移3個(gè)單位后得到新拋物線的頂點(diǎn)坐

標(biāo)為（）

A．4,1B．4,2C．2,1D．2,2

【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線yax2bx3向下平移5個(gè)單位長度后，經(jīng)過點(diǎn)2,4，

則6a3b7．

【典例3】（2024·江蘇徐州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)yx2023x20245的圖

象向下平移5個(gè)單位長度，所得拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)P、Q，則PQ．

【典例4】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）對于二次函數(shù)yx22ax3（a是常數(shù)），下列結(jié)論：①將這個(gè)函

數(shù)的圖像向下平移3個(gè)單位長度后得到的圖像經(jīng)過原點(diǎn)；②當(dāng)a1時(shí)，這個(gè)函數(shù)的圖像在函數(shù)yx圖像

的上方；③若a1，則當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大；④這個(gè)函數(shù)的最小值不大于3．其中

正確的是（填寫序號）．

【典例5】（2024·四川巴中·中考真題）若二次函數(shù)yax2bxca0的圖象向右平移1個(gè)單位長度后關(guān)

于y軸對稱．則下列說法正確的序號為．（少選得1分，錯(cuò)選得0分，選全得滿分）

b

①2

a

35

②當(dāng)a時(shí)，代數(shù)式a2b25b8的最小值為3

22

③對于任意實(shí)數(shù)m，不等式am2bmab0一定成立

④，為該二次函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且x1x2．當(dāng)x1x220時(shí)，一定有y1y2

??1,?1??2,?2

【典例6】（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線yax2bxc（a，b，c是常數(shù)，a<0）經(jīng)過1,1，m,1

兩點(diǎn)，且0m1．下列四個(gè)結(jié)論：

①b0；

2

②若0x1，則ax1bx1c1；

13

③若a1，則關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc2無實(shí)數(shù)解；

11

④點(diǎn)Ax,y，Bx,y在拋物線上，若xx，xx，總有yy，則0m．

112212212122

其中正確的是（填寫序號）．

【典例7】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx22bx4經(jīng)過點(diǎn)1,m．

(1)若m1，則b_________，通過配方可以將其化成頂點(diǎn)式為_________；

(2)已知點(diǎn)x1,y1,x2,y2在拋物線上，其中x1x2．若m0且2x12x25，比較y1與y2的大小關(guān)系，并說

明理由；

1

(3)若b0，將拋物線向上平移4個(gè)單位得到的新拋物線與直線ykx交于A，B兩點(diǎn)，直線與y軸交于

4

1

點(diǎn)C，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接AF，CF．求證：CF2CE．

2

【典例8】（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）如果二次函數(shù)y1的圖象的頂點(diǎn)在二次函數(shù)為y2的圖象上，同時(shí)二次

函數(shù)y2的圖象的頂點(diǎn)在二次函數(shù)y1的圖象上，那么我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)”．

22

(1)若二次函數(shù)y1x2x3與二次函數(shù)y2xbx7互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)”，則b_______．

1

(2)如圖，已知二次函數(shù)y(x1)22的圖象的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將二次函數(shù)

14

y1的圖象繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180得到一個(gè)新的二次函數(shù)y2的圖象，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)函數(shù)互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)”，且y2

的圖象的頂點(diǎn)為N．

①求二次函數(shù)y2的解析式；

②點(diǎn)Q為y軸上一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)Q，使得△MNQ為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，

14

請說明理由．

2、

【典例9】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖①，已知拋物線y1xbxc與x軸交于兩點(diǎn)O(0,0)A(2,0)，

將拋物線y1向右平移兩個(gè)單位長度，得到拋物線y2，點(diǎn)P是拋物線y1在第四象限內(nèi)一點(diǎn)，連接PA并延長，

交拋物線y2于點(diǎn)Q．

(1)求拋物線y2的表達(dá)式；

(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為xQ，求xQxP的值；

22

(3)如圖②，若拋物線y3x8xt與拋物線y1xbxc交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線MN，分別交拋物線y1

和y3于點(diǎn)M、N（M、N均不與點(diǎn)C重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n，試判斷|mn|是

否為定值．若是，直接寫出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．

15

4

【典例10】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y(x1)24

9

的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C．

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過B、C、M(t,4)三點(diǎn)，其中t1，該函數(shù)圖像與x軸交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)D在線

段OB上（與點(diǎn)O、B不重合）．

①若D點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，則t_________；

②求t的取值范圍：

③求ODDB的最大值．

16

4

【典例11】（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線C:yax2x4的圖象經(jīng)過點(diǎn)D1,1，與x軸交

13

于點(diǎn)A，點(diǎn)B．

(1)求拋物線C1的表達(dá)式；

(2)將拋物線C1向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)D

是否在拋物線C2上；

(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點(diǎn)P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由．

17

考點(diǎn)五：二次函數(shù)最值

【典例1】（2024·廣西·中考真題）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)yx22axa3的

最值問題展開探究．

【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．

（1）老師給出a4，求二次函數(shù)yx22axa3的最小值．

①請你寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式；

②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值．記錄結(jié)果，并整

理成下表：

a…42024…

x…*2024…

y的最小值…*93515…

注：*為②的計(jì)算結(jié)果．

【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”

甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取xa，就能得到y(tǒng)的最小值．”

乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜

想y的最小值中存在最大值．”

（2）請結(jié)合函數(shù)解析式y(tǒng)x22axa3，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？

（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．

18

【典例2】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）已知在正方形ABCD中，AB4，點(diǎn)E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)

B，C重合），連接AE，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到EF，連接AF交CD于點(diǎn)G

GF

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求的值；

AG

(2)如圖2，若DGBE，求BE的長；

(3)連接DF，求DF的最小值.

19

【典例3】（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線yx2bxc與x軸交于點(diǎn)A1,0，B3,0．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段OC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線PA，PB分別交拋物線

S1

于點(diǎn)E，D，設(shè)△PAD面積為S1，△PBE面積為S2，求的值；

S2

(3)如圖2，點(diǎn)K是拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)K的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)M，N，

過拋物線頂點(diǎn)G作直線l∥x軸，點(diǎn)Q是直線l上一動(dòng)點(diǎn)．求QMQN的最小值．

20

【典例4】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bxca0

的圖像經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A4,0．經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B1,3，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E，與直線AB交

于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①m為何值時(shí)線段PD的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點(diǎn)P，使得△BPD與△AOC相似．若存在，請求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

21

【典例5】（2024·江蘇常州·中考真題）將邊長均為6cm的等邊三角形紙片ABC、DEF疊放在一起，使點(diǎn)E、

B分別在邊AC、DF上（端點(diǎn)除外），邊AB、EF相交于點(diǎn)G，邊BC、DE相交于點(diǎn)H．

(1)如圖1，當(dāng)E是邊AC的中點(diǎn)時(shí)，兩張紙片重疊部分的形狀是________；

(2)如圖2，若EF∥BC，求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；

(3)如圖3，當(dāng)AEEC，F(xiàn)BBD時(shí)，AE與FB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由．

【典例6】（2024·山東淄博·中考真題）在綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小明以“圓”為主題開展研究性學(xué)習(xí)．

【操作發(fā)現(xiàn)】

小明作出了O的內(nèi)接等腰三角形ABC，ABAC．并在BC邊上任取一點(diǎn)D（不與點(diǎn)B，C重合），連

接AD，然后將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACE．如圖①

小明發(fā)現(xiàn)：CE與O的位置關(guān)系是__________，請說明理由：

【實(shí)踐探究】

連接DE，與AC相交于點(diǎn)F．如圖②，小明又發(fā)現(xiàn)：當(dāng)VABC確定時(shí)，線段CF的長存在最大值．

請求出當(dāng)AB310．BC6時(shí)，CF長的最大值；

【問題解決】

在圖②中，小明進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)D分線段BC所成的比CD:DB與點(diǎn)F分線段所成的比DF:FE始終相

等．請予以證明．??

22

【典例7】（2024·重慶銅梁·一模）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bx3與x軸交于點(diǎn)B，C，

與y軸交于點(diǎn)A，其中B3，0，C1，0．

(1)求a，b的值；

(2)如圖1，連接AB，點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PK∥y軸交AB于點(diǎn)K，過點(diǎn)K作KEy

軸，垂足為點(diǎn)E，求PKKE的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2，點(diǎn)P在拋物線上，且滿足在（2）中求出的點(diǎn)P的坐標(biāo)，連接PC，將該拋物線向右平移，使得

新拋物線y′恰好經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是F，點(diǎn)M是新拋物線y上一點(diǎn)，連接CM，當(dāng)MCFPCB135

時(shí)，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

考點(diǎn)六：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系

23

【典例1】（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxc的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4，則下列說法正確的是（）

A．二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x1

B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2

C．當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而減小

D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3

【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bxca0與x軸交于

A、B兩點(diǎn)，A3,0,B1,0，與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在3～2之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①abc20；

45

②b2；③若ax2bxax2bx且xx，則xx2；④直線ycxc與拋物線yax2bxc

3112212126

1

的一個(gè)交點(diǎn)(m,n)(m0)，則m．其中正確的結(jié)論是（）

2

A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④

【典例3】（2024·寧夏·中考真題）若二次函數(shù)y2x2xm的圖象與x軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是．

【典例4】（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bx3與x與相交于點(diǎn)A，

B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)，若點(diǎn)C(2,3)在拋物線上，則AB的長為．

24

【典例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．

素材1：為響應(yīng)全民健身號召，某校在校運(yùn)會(huì)上開展“8”字長繩比賽．圖1是繩甩到最高處時(shí)的示意圖，可

以近似的看作一條拋物線，正在甩繩的甲、乙兩位隊(duì)員拿繩的手間距6米，到地面的距離均為1米．

素材2：如圖2，身高為1.5米的小麗站在距點(diǎn)O的水平距離為1米的點(diǎn)F處，繩子甩到最高處時(shí)剛好通過

她的頭頂點(diǎn)E．

(1)如圖3，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)某班跳繩成員有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，繩子能否

順利從每位跳繩成員頭頂越過？請說明理由．

(3)身高為1.6米的跳繩成員至少站在離搖繩同學(xué)多遠(yuǎn)的地方，才能讓繩子順利從頭上越過？

【典例6】（2024·云南昆明·一模）已知拋物線yx22mxm29．

(1)求證：拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

(2)當(dāng)m1時(shí)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，求的長．

??

【典例7】（2024·江蘇常州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)yx2bx3的圖像與x軸

相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．

25

(1)OC________；

(2)如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0)．

①當(dāng)1xm，且m1時(shí)，y的最大值和最小值分別是s、t，st2，求m的值；

②連接AC，P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），過點(diǎn)P作PDx軸，垂足為D．作

DPQACO，射線PQ交y軸于點(diǎn)Q，連接DQ、PC．若DQPC，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

【典例8】（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)yx2(2a4)xa24a（a為常數(shù)）．

26

(1)求證：不論a為何值，該二次函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(2)當(dāng)a1x2a5(a1)時(shí)，該二次函數(shù)的最大值與最小值之差為9，求此時(shí)函數(shù)的解析式；

(3)若二次函數(shù)圖象對稱軸為直線x1，該函數(shù)圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于

點(diǎn)C．點(diǎn)C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為D，點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l（直線l不過C,D兩點(diǎn)）與二次

函數(shù)圖象交于E,F兩點(diǎn)，直線CE與直線DF相交于點(diǎn)P．

①求證：點(diǎn)P在一條定直線上；

3

②若SS，請直接寫出滿足條件的直線l的解析式，不必說明理由．

COP5ABP

考點(diǎn)七：二次函數(shù)與不等式關(guān)系

【典例1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bx2a0的圖象與x軸交于1,0，

27

(x1,0)，其中2x13．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①ab0；②ab2；

③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；

2

④關(guān)于?>x1的一元二次方程ax2bx20a0的另一個(gè)根是；

a

4

⑤b的取值范圍為1b．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

3

A．2B．3C．4D．5

【典例2】（2024·四川眉山·二模）若拋物線yax2bxc經(jīng)過0,1和1,3兩點(diǎn)，開口向上，且與x軸有

兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是．

【典例3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)yax23a1x3（a是常數(shù)，且a0），

（1）若點(diǎn)1,2在該函數(shù)的圖象上，則a的值為；

（2）當(dāng)a1時(shí)，若3x2，則函數(shù)值y的取值范圍是．

【典例4】（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）已知二次函數(shù)yax2bxc的y與x的部分對應(yīng)值如下表：

x43115

y059527

下列結(jié)論：①abc0；②關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc9有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)4x1時(shí)，

y的取值范圍為0y5；④若點(diǎn)m,y1，m2,y2均在二次函數(shù)圖象上，則y1y2；⑤滿足

ax2b1xc2的x的取值范圍是x<2或x3．其中正確結(jié)論的序號為．

考點(diǎn)八：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【典例1】（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，VABC是等邊三角形，點(diǎn)D在