如皋高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)2.若\(a=2\)，\(b=3\)，則\(a+b\)的值為（）A.4B.5C.6D.73.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.1B.2C.3D.44.方程\(x^2-4=0\)的解是（）A.\(x=2\)B.\(x=-2\)C.\(x=\pm2\)D.\(x=4\)5.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{3,4\}\)D.\(\{1,4\}\)6.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.47.函數(shù)\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.48.\(\cos60^{\circ}\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.19.不等式\(2x-3\gt0\)的解集是（）A.\(x\gt\frac{3}{2}\)B.\(x\lt\frac{3}{2}\)C.\(x\gt-\frac{3}{2}\)D.\(x\lt-\frac{3}{2}\)10.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為（）A.3B.2C.\(\sqrt{5}\)D.\(\sqrt{13}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.下列說法正確的是（）A.空集是任何集合的子集B.若\(A\subseteqB\)，\(B\subseteqA\)，則\(A=B\)C.集合中的元素具有確定性、互異性、無序性D.有限集的子集個(gè)數(shù)是有限的3.直線\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的性質(zhì)有（）A.\(k\gt0\)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增B.\(k\lt0\)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減C.\(b\)決定直線與\(y\)軸的交點(diǎn)D.直線一定經(jīng)過原點(diǎn)4.關(guān)于\(y=\cosx\)的說法正確的是（）A.是偶函數(shù)B.值域是\([-1,1]\)C.最小正周期是\(2\pi\)D.在\([0,\pi]\)上單調(diào)遞增5.以下哪些是等比數(shù)列的性質(zhì)（）A.\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}\)（\(n\gt1\)）B.若\(m+n=p+q\)，則\(a_ma_n=a_pa_q\)C.公比\(q\)可以為\(0\)D.等比數(shù)列所有項(xiàng)都不能為\(0\)6.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\log_2x\)（\(x\gt0\)）C.\(y=x^3\)D.\(y=-x\)7.關(guān)于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），說法正確的是（）A.判別式\(\Delta=b^2-4ac\)B.當(dāng)\(\Delta\gt0\)時(shí)，方程有兩個(gè)不同實(shí)根C.當(dāng)\(\Delta=0\)時(shí)，方程有兩個(gè)相同實(shí)根D.當(dāng)\(\Delta\lt0\)時(shí)，方程無實(shí)根8.空間中兩直線的位置關(guān)系有（）A.平行B.相交C.異面D.重合9.已知向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)D.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)10.以下哪些是雙曲線的性質(zhì)（）A.有兩條漸近線B.離心率\(e\gt1\)C.實(shí)軸和虛軸長(zhǎng)度一定相等D.焦點(diǎn)在\(x\)軸或\(y\)軸上三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)是奇函數(shù)。（）2.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.數(shù)列\(zhòng)(1,2,4,8,16\)是等比數(shù)列。（）5.函數(shù)\(y=\sin^2x+\cos^2x=1\)恒成立。（）6.兩個(gè)向量的夾角范圍是\([0,\pi]\)。（）7.拋物線\(y=x^2\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是\((0,\frac{1}{4})\)。（）8.若\(A\cupB=A\)，則\(B\subseteqA\)。（）9.指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）恒過點(diǎn)\((0,1)\)。（）10.異面直線所成角的范圍是\((0,\frac{\pi}{2}]\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3x-1\)在\(x=2\)處的函數(shù)值。答：將\(x=2\)代入\(y=3x-1\)，得\(y=3×2-1=5\)。2.求等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式，已知\(a_1=1\)，\(d=2\)。答：根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，將\(a_1=1\)，\(d=2\)代入，得\(a_n=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的對(duì)稱軸。答：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱軸公式為\(x=-\frac{2a}\)，此函數(shù)\(a=1\)，\(b=-4\)，則對(duì)稱軸為\(x=-\frac{-4}{2×1}=2\)。4.已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec\)。答：根據(jù)向量點(diǎn)積公式\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)，這里\(x_1=1\)，\(x_2=3\)，\(y_1=2\)，\(y_2=4\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=1×3+2×4=11\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的單調(diào)性與\(a\)的關(guān)系。答：當(dāng)\(a\gt1\)時(shí)，函數(shù)\(y=\log_ax\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\lta\lt1\)時(shí)，函數(shù)\(y=\log_ax\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。2.討論直線與圓的位置關(guān)系有哪些判定方法。答：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\ltr\)時(shí)相交，\(d=r\)時(shí)相切，\(d\gtr\)時(shí)相離；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.討論等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法。答：推導(dǎo)等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)求和公式\(S_n\)常用錯(cuò)位相減法。設(shè)\(S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}\)，兩邊同乘公比\(q\)得\(qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n\)，兩式相減可消去中間項(xiàng)，進(jìn)而求出\(S_n\)。4.討論如何根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來繪制函數(shù)圖象。答：先確定函數(shù)定義域，判斷奇偶性知對(duì)稱性，求單調(diào)性找增減區(qū)間，求極值點(diǎn)確定函數(shù)最值位置，再求出一些特殊點(diǎn)坐標(biāo)，如與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，綜合這些性質(zhì)用平滑曲線連接各點(diǎn)繪制圖象。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.B3.