/湖南省長(zhǎng)沙市2024-2025學(xué)年高三下冊(cè)月考（七）數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先求出集合，再求，然后可求出【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足：，且的實(shí)部為2，則（）A.2 B. C. D.5【正確答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)可求出值，由此可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，而，∴，解得，∴，故.故選：B.3.（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.4.某省中學(xué)生足球賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽1場(chǎng)，那么每組進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為（）A.15 B.18 C.30 D.36【正確答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】可以先從這6支隊(duì)中選1支為主隊(duì)，然后從剩下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì).按分步乘法計(jì)數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為.故選：C.5.已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用倒序相加法計(jì)算求解.【詳解】，則兩式相加得所以，所以.故選：A.6.在矩形中，為邊上的一點(diǎn)，，現(xiàn)將沿直線折成，使得點(diǎn)在平面上的射影在四邊形內(nèi)（不含邊界），設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成的角分別為，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先根據(jù)線面角的定義得出、、的正切值表達(dá)式，再通過(guò)比較線段長(zhǎng)度得出正切值大小關(guān)系，進(jìn)而得到角的大小關(guān)系.【詳解】如圖所示，在矩形中，過(guò)作交于點(diǎn)，將沿直線折成，則點(diǎn)在面內(nèi)的射影在線段上（不包含兩點(diǎn)），設(shè)到平面上的距離為，則，由二面角，線面角的定義得：，顯然，所以最大，所以最大，當(dāng)與重合時(shí)，，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，故選：D.7.設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得，，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用雙曲線的定義結(jié)合已知條件可得出，可求得，再由公式可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】由雙曲線的定義得，又，，即，因此，即，則，解得，（舍去），因此，該雙曲線離心率為.故選：B.本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵就是利用雙曲線的定義建立、所滿足的齊次等式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8.已知，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】令，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化可得，均為方程的根，進(jìn)而得到，，進(jìn)而求解即可.【詳解】令，則，由，得，則，則，均為方程的根，則，即，所以故選：A.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是變量和的個(gè)樣本點(diǎn)，直線是由這些樣本點(diǎn)通過(guò)最小二乘法得到的線性回歸直線，以下結(jié)論正確的是（）A.直線過(guò)點(diǎn)B.直線的斜率即為和的相關(guān)系數(shù)C.和的相關(guān)系數(shù)在到1之間D.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，分布在兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等【正確答案】AC【分析】根據(jù)回歸直線方程、相關(guān)系數(shù)的的概念及特點(diǎn)、回歸直線與樣本點(diǎn)的關(guān)系判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】回歸直線一定過(guò)這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，故A項(xiàng)正確；兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)不是回歸直線的斜率，兩者公式不同，故B項(xiàng)不正確；兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)在到1之間，故C項(xiàng)正確；所有樣本點(diǎn)集中在回歸直線附近，不一定兩側(cè)一樣多，故D項(xiàng)不正確.故選：AC.10.關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sinx|的敘述正確的是（）A.f(x)是偶函數(shù)` B.f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增C.f(x)在[－π，π]有4個(gè)零點(diǎn) D.f(x)的最大值為2【正確答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)、最值對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx，f(x)在單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；C.當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，令f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上為偶函數(shù)，∴f(x)＝0在[－π，π]上的根為－π，0，π，有3個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D.∵sin|x|≤1，|sinx|≤1，當(dāng)或時(shí)兩等號(hào)同時(shí)成立，∴f(x)的最大值為2，故D正確．故選：AD11.已知，且，函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，恒成立B.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)D.存在，使得存在三個(gè)極值點(diǎn)【正確答案】ABC【分析】對(duì)于A，不等式變形后求函數(shù)的最值進(jìn)行判斷；對(duì)于B，結(jié)合選項(xiàng)A中的新函數(shù)進(jìn)行判斷；對(duì)于C，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷；對(duì)于D，求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)等于0，構(gòu)造新函數(shù)確定導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得極值點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，要證明，即證明，即證明，即證明，設(shè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由A的分析可知，，因此有兩個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，存在唯一零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，，令得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，設(shè)，，令得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，最多有兩個(gè)極值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的焦點(diǎn)為，且離心率，若點(diǎn)在橢圓上，，則__________.【正確答案】2【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念求的，結(jié)合橢圓的定義計(jì)算即可求解.【詳解】橢圓，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，則離心率，即，由解得，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，由橢圓的定義可知，.故213.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為_(kāi)_______．【正確答案】【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式和平方差公式化簡(jiǎn)即可求出公比.【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，即，即，即，解?故14.如圖，已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)等于1，，和分別是上下底面對(duì)角線的交點(diǎn)，在線段上，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，則三棱錐的體積最小值為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】因?yàn)镃1到平面BB1D1D（即三棱錐底面O1MH）的距離為定值，所以當(dāng)△O1MH的面積取得最小值時(shí)，三棱錐的體積最小，將平面BB1D1D單獨(dú)畫(huà)圖可得，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B處時(shí)，△O1MH的面積有最小值，求出三棱錐的體積即可．【詳解】因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD?A1B1C1D1的底面是菱形,∠ABC=60°，邊長(zhǎng)為1，∴O1C1⊥平面BB1D1D,且O1C1=,O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距離為O1C1=，∵OH=3HB1，點(diǎn)M是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)△O1MH的面積取得最小值時(shí)，三棱錐的體積有最小值．將平面BB1D1D單獨(dú)畫(huà)圖可得，當(dāng)B點(diǎn)到O1H的距離最小時(shí)，△O1MH的面積有最小值．過(guò)點(diǎn)B做BF//O1H，可得直線BF上方的點(diǎn)到O1H的距離比直線BF上的點(diǎn)到O1H的距離小，而線段BD上除B點(diǎn)外的所有點(diǎn)都在直線BF下方，到O1H的距離比B點(diǎn)到O1H的距離大．即當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，△O1MH的面積取得最小值，且三棱錐的體積有最小值．連接O1B,則O1B=OB1==，∴B1到O1B的距離d===，∵OH=3HB1，∴H到直線O1B的距離為d=．∴===，∴===．故答案為．本題考查了四棱柱的結(jié)構(gòu)特征和三棱錐的體積計(jì)算，動(dòng)態(tài)動(dòng)點(diǎn)的最值問(wèn)題需要先確定點(diǎn)的位置，屬于較難題．四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若的面積為3，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由余弦定理，結(jié)合，求出，進(jìn)而，由余弦定理求出；（2）根據(jù)三角形面積求出，故.【小問(wèn)1詳解】，由余弦定理可得：，，又，，即，又，，可得，，即，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，又，故，，，解得..16.如圖，三棱錐中，平面，是空間中一點(diǎn)，且平面.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證得，再有線面垂直的判定定理得平面，從而得，利用線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解兩個(gè)平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?【小問(wèn)2詳解】設(shè)，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD為y軸，BA為z軸，過(guò)B垂直BD（與CD平行）的線為x軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，又，由（1）設(shè)，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所平面與平面夾角的余弦值為.17.年廣告費(fèi)（單位：百萬(wàn)元）和年銷售量（單位：百萬(wàn)輛）關(guān)系如圖所示：令，數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)初步處理得：444.81040.3160819.58.04現(xiàn)有①和②兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年廣告費(fèi)x的回歸分析模型，其中a，b，m，n均為常數(shù).（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（2）根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)年廣告費(fèi)為6（百萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量是多少？（3）該公司生產(chǎn)的電動(dòng)車毛利潤(rùn)為每輛200元（不含廣告費(fèi)?研發(fā)經(jīng)費(fèi)）.該公司在加大廣告投入的同時(shí)也加大研發(fā)經(jīng)費(fèi)的投入，年研發(fā)經(jīng)費(fèi)為年廣告費(fèi)的199倍.電動(dòng)車的年凈利潤(rùn)受年廣告費(fèi)和年研發(fā)經(jīng)費(fèi)影響外還受隨機(jī)變量影響，設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且滿足.在（2）的條件下，求該公司年凈利潤(rùn)的最大值大于1000（百萬(wàn)元）的概率.（年凈利潤(rùn)毛利潤(rùn)×年銷售量年廣告費(fèi)年研發(fā)經(jīng)費(fèi)隨機(jī)變量）.附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中；②參考數(shù)據(jù)：【正確答案】（1），由相關(guān)系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可得，模型②的擬合程度更好.（2），13（百萬(wàn)輛）（3）0.3【分析】（1）分別計(jì)算相關(guān)系數(shù)和，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果；（2）利用最小二乘法求解即可；（3）由凈利潤(rùn)為，由導(dǎo)數(shù)求最大值求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)模型①和②的相關(guān)系數(shù)分別為.由題意可得：，.所以，由相關(guān)系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可得，模型②的擬合程度更好.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋钟?，得，所以，即回歸方程為.當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)年廣告費(fèi)為6（百萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的銷售量大概是13（百萬(wàn)輛）.【小問(wèn)3詳解】?jī)衾麧?rùn)為，令，所以.可得在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).所以，由題意得：，即，即該公司年凈利潤(rùn)大于1000（百萬(wàn)元）的概率為0.3.18.已知拋物線.過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)（在第一象限），且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求的值；（2）設(shè)拋物線在處的切線交于點(diǎn)，求面積的最小值；（3）面積最小時(shí)，過(guò)作直線交拋物線于兩點(diǎn).軸且的中點(diǎn)在直線上，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【正確答案】（1）（2）32.（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，可求；（2）求導(dǎo)可求得兩點(diǎn)處的切線方程，聯(lián)立方程可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)到直線的距離公式可求得，可求最小值；（3）由（2）得，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，聯(lián)立方程①，②，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，故處切線方程為：，即.同理，點(diǎn)處切線方程為.聯(lián)立解得.由②及可得.方程①中，.點(diǎn)到直線的距離.故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故面積的最小值為32.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，此時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程，，，令，得，，又，即，所以三點(diǎn)共線，故直線過(guò)定點(diǎn).19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)為的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn).證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)依次為，.求證.【正確答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，得單調(diào)遞減，則，故.(2)對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，分析符號(hào)變化，確定極值點(diǎn)，求，根據(jù)等比數(shù)列的定義求證即可.(3)當(dāng)時(shí)，取得極