/江西省南昌市2024-2025學(xué)年高二下冊期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．等差數(shù)列的公差為2，且，則（

）A．17 B．19 C．21 D．232．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)（

）A．2024 B．2023 C． D．3．已知函數(shù)（為自然常數(shù)），記，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．4．設(shè)為雙曲線曲線的左、右焦點(diǎn)，過直線與第一象限相交于點(diǎn)，且直線傾斜角的余弦值為，的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．5．已知等差數(shù)列滿足，前8項(xiàng)和；公比為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時，的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．86．已知函數(shù)，若對任意的、，當(dāng)時，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．曲線在處的切線與曲線相切于點(diǎn)，若且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足，且，若表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．2016 B．2017 C．4032 D．4034二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題正確的有（）A．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則B．已知函數(shù)，若，則C．D．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則10．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C．D．，總存在，使得成立11．已知函數(shù)，直線，則下列說法不正確的有（）A．B．若有兩個不等實(shí)根，則C．若有且僅有2個整數(shù)，使得點(diǎn)在直線的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．當(dāng)時，在軸右側(cè)，直線恒在曲線上方三、填空題（本大題共3小題）12．已知，且，，，則方程的解的組數(shù)為.13．已知，為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值是.14．已知數(shù)列，中，，，，，若對使得恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．（1），求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．（2）已知，求的極值16．高血脂癥是指脂肪代謝或者運(yùn)轉(zhuǎn)異常使人體血液中的血脂含量超過正常范圍，表現(xiàn)為血中膽固醇或甘油三酯過高或高密度脂蛋白過低，現(xiàn)代醫(yī)學(xué)稱“血脂異?！?高血脂癥是常見病、多發(fā)病，更是導(dǎo)致心腦血管疾病的元兇.最新的調(diào)查顯示，中國成人高血脂的患病率為41.1%，大概每五位成人中就有兩位是高血脂患者.改善生活方式和藥物治療是最常用的治療方式，同時適當(dāng)鍛煉可以使血脂水平下降，高血脂發(fā)病率降低，控制高血脂的發(fā)展.(1)某社區(qū)為鼓勵和引導(dǎo)轄區(qū)居民積極參加體育健身活動，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，開展“低碳萬步走，健康在腳下”徒步走活動.下表為開展活動起5個季度社區(qū)高血脂患者的血脂情況統(tǒng)計.季度12345血脂明顯降低（或治愈）人數(shù)/人100150210270320已知血脂明顯降低（或治愈）人數(shù)與季度變量（季度變量依次為）具有線性相關(guān)關(guān)系，試求出與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測第6季度血脂明顯降低（或治愈）者大約有多少人？(2)社區(qū)將參加徒步走活動的隊(duì)員分成了甲、乙、丙三組去參加徒步走比賽.若比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽.已知甲組在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙組在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙組在第一輪和第二輪獲勝的概率分別為和.設(shè)進(jìn)入決賽的組數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，17．已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．若有窮數(shù)列（n是正整數(shù)），滿足即（i是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．(1)已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的對稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，，試寫出的每一項(xiàng)；(2)已知是項(xiàng)數(shù)為的對稱數(shù)列，且構(gòu)成首項(xiàng)為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)k為何值時，取到最大值？最大值為多少？(3)對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項(xiàng)數(shù)為的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)時，并分別求出所有對稱數(shù)列的前2024項(xiàng)和．

答案1．【正確答案】C【詳解】由等差數(shù)列知.故選C.2．【正確答案】A【詳解】令，所以，所以，所以，解得．故選．3．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，且，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，所以，即.故選B.4．【正確答案】A【詳解】由在第一象限內(nèi)，且，則，且，由余弦定理可得cos∠PF1F2＝，整理得，等式兩邊同除，則，解得或(舍去).故選A.5．【正確答案】D【詳解】設(shè)的公差為，由得，解得，所以.設(shè)的公比為，由，得，解得（舍）或，所以.因?yàn)?，所以，則，因?yàn)閷θ我獾模?，所以?shù)列單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以?dāng)時，，故的最大值是8.故選D.6．【正確答案】C【詳解】令，對任意的、，當(dāng)時，都有，即，即，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，且，參變分離可得，令，其中，則，由可得，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，，故，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選C.7．【正確答案】B【詳解】函數(shù)在處的切線斜率為，則切線方程為，函數(shù)在處的切線斜率為，則切線方程為，即，由題意有①且②，故，，從而，整理得，所以，即.代入式②，得，即.故選B.8．【正確答案】A【詳解】由，可得，又，故數(shù)列是以12為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，則，，，，，故當(dāng)時，，則當(dāng)時，，又適合上式，故，，，，.又，故.故選A.9．【正確答案】BD【詳解】對于因?yàn)楹瘮?shù)在上可導(dǎo)，且，所以，故錯誤.對于因?yàn)?，若則，即，故正確.對于因?yàn)?，故錯誤.對于因?yàn)?故，故，正確.故選.10．【正確答案】BCD【詳解】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，3，6，10，…，則有，利用累加法，得，得到，n=1時也成立；正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，4，9，16，…，則有，利用累加法，得，得到，n=1時也成立.對于A，，利用裂項(xiàng)求和法：，故A錯誤；對于B，令，解得；令，解得；故B正確；對于C，，則，整理得，，故C正確；對于D，取，且，則令，則有，故，總存在，使得成立，故D正確.故選BCD.11．【正確答案】ABC【詳解】，故當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，,此時單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極大值也是最大值，故，又，，畫出的大致圖象如圖：對于A，由于在上單調(diào)遞減，故，故A不正確，對于B，若有兩個不等實(shí)根，則，故B不正確，對于C，由于直線恒過定點(diǎn)，若有且僅有2個整數(shù)，使得點(diǎn)在直線的上方,則只有2個整數(shù)解，結(jié)合圖象可知：這兩個整數(shù)解只能是1和2，故解得，故C不正確，對于D，當(dāng)直線與相切于第一象限時，設(shè)切點(diǎn)為，所以切點(diǎn)為的切線方程為，在切線上，此時，故，故切點(diǎn)處的橫坐標(biāo)為，故當(dāng)，當(dāng)時，即，此時，在y軸右側(cè)直線恒在曲線上方，正確.故選ABC.12．【正確答案】15【詳解】由題意，原問題等價于將7個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子中至少放入1個小球的方法個數(shù)，在7個相同的小球之間形成的6個空中，任選2個放入兩個隔板，共有種方法，即方程的解的組數(shù)為15.13．【正確答案】8【詳解】由題意可得：的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率，則在該點(diǎn)的切線方程為，即，由題意可得，整理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為8.14．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，則，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，所以，由可得，①，由可得②，①②可得，當(dāng)時，，則，所以，所以，則，當(dāng)時，也滿足上式，所以，則，所以，因?yàn)槭沟煤愠闪?，則，解得或.15．【正確答案】（1）最小值為，最大值為；（2）極大值；極小值.【詳解】（1）由題意可知，所以，令，解得，，列表有x100遞增極大值遞減極小值遞增由上可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以最小值為，最大值為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，得或，?dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，所以在處取得極小值.16．【正確答案】(1)，378人(2)分布列見解析，【詳解】（1），.，，所以，所以，所以，當(dāng)時，，所以第6季度血脂明顯降低（或治愈）者大約有378人.（2）由題知的可能取值為0，1，2，3.依題意，甲組、乙組、丙組進(jìn)入決賽的概率分別為，，，所以，，，.所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由，可得當(dāng)時，，兩式相減可得：，當(dāng)時，可得，所以，也滿足，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知，則，則，，兩式作差得，則，由不等式對一切恒成立，可得為奇數(shù)時，恒成立，由單調(diào)遞增，可得最小值為，即有，可得；為偶數(shù)時，恒成立，由單調(diào)遞增，可得最小值為，即有，綜上可得.18．【正確答案】（1）當(dāng)時，在上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）【詳解】（1），.當(dāng)時，，在上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，在上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可得，當(dāng)時，.由不等式恒成立，得恒成立，即在時恒成立.令，，則.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)