/江西省南昌市東湖區(qū)2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.若一數(shù)列的前4項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式可能為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列前項(xiàng)的規(guī)律，分別分析數(shù)列的符號(hào)規(guī)律和數(shù)值規(guī)律，進(jìn)而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】觀察數(shù)列的前項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù).根據(jù)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)結(jié)果為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)結(jié)果為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)結(jié)果為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)結(jié)果為，可知該數(shù)列的符號(hào)規(guī)律可以用來表示.分母依次為3,5,7,9，得該數(shù)列分母的通項(xiàng)公式為.結(jié)合上述對(duì)符號(hào)規(guī)律和數(shù)值規(guī)律的分析，可知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故選：A.2.已知在等差數(shù)列中，，則（）A.18 B.16 C.20 D.17【正確答案】A【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求得，從而再求得公差，最后由通項(xiàng)公式的變形形式求得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以．故選：A．3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，若，則A.15 B.16 C.18 D.20【正確答案】A【詳解】設(shè)公比為，則等價(jià)于，故，所以，選A.4.若在數(shù)列中，，，則（）A.2 B. C. D.【正確答案】D【分析】列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得到是以為周期的周期數(shù)列，根據(jù)周期性計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，所以是以為周期的周期?shù)列，所以.故選：D5.已知，證明不等式時(shí)，比多的項(xiàng)數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，然后寫出和進(jìn)行比較可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以比多的?xiàng)數(shù)是.故選：B.6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳疼減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其大意為：“有一個(gè)人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起腳疼每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了？”根據(jù)此規(guī)律，求后3天一共走多少里A.156里 B.84里 C.66里 D.42里【正確答案】D【分析】此人每天所走的路程，組成等比數(shù)列，其中，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得結(jié)果．【詳解】此人每天所走的路程組成等比數(shù)列，其中，．則，解得．后3天一共走了（里）．故選D．本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式基本量運(yùn)算，屬于中檔題．等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個(gè)基本量，一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)和公式，并靈活應(yīng)用，在運(yùn)算過程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.7.已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列恒單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的前項(xiàng)和，再利用遞減數(shù)列列式求得范圍.【詳解】在等差數(shù)列中，，，由公差，得，解得，，，，，由數(shù)列恒單調(diào)遞減，得恒成立，整理得恒成立，而，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D8.已知數(shù)列前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用求出，進(jìn)而可得，對(duì)分奇偶求得，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，綜上，，又因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，所?故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于分為奇數(shù)與為偶數(shù)兩種情況求得，進(jìn)而求得的最大值，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的最小值.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】AD【分析】將選項(xiàng)中的a、b值代入題中式子，判斷數(shù)列類型，根據(jù)數(shù)列類型求解即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，所以.因?yàn)?，所以是首?xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則，故正確.當(dāng)，時(shí)，，即.因?yàn)?，所以，則，故錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，，因，所以，，所以是周期為2的周期數(shù)列，則，故錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，，則，即.因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，故正確.故選：AD10.已知為等差數(shù)列的公差，為數(shù)列的前項(xiàng)和.若為遞減數(shù)列，則下列結(jié)論正確的為（）A.數(shù)列為遞減數(shù)列B.數(shù)列是等差數(shù)列C.若前10項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為，且，則公差為D.若，則【正確答案】BCD【分析】舉反例排除A，利用等差數(shù)列的求和公式判斷B，利用等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷C，利用等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)判斷D，從而得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列是遞減的等差數(shù)列，所以，不妨舉例數(shù)列為，則9，這三項(xiàng)不構(gòu)成遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，是關(guān)于的一次函數(shù)，因此是等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，數(shù)列前10項(xiàng)中，奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和，所以，設(shè)，則，解得，所以公差，故C正確；對(duì)于D，，則，，則，所以，故D正確.故選：BCD.11.已知數(shù)列滿足（為正整數(shù)），，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則所有可能取值的集合為C.若，則D.若為正整數(shù)，則的前項(xiàng)和為【正確答案】BCD【分析】對(duì)于A，由遞推關(guān)系直接驗(yàn)算即可；對(duì)于B，結(jié)合是正整數(shù)分類討論反推即可；對(duì)于C，寫出前面幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)周期規(guī)律，由此即可驗(yàn)算；對(duì)于D，由等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則只能（否則，與是奇數(shù)矛盾），從而（否則，與是奇數(shù)矛盾），由可分成三種情形：①；②；③.即所有可能取值的集合為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，依次可求，即從開始數(shù)列呈現(xiàn)周期為又因均能被3整除，即，故C正確；對(duì)于D，，則的前項(xiàng)和為，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，，成等比數(shù)列，則__________．【正確答案】【分析】利用等比中項(xiàng)的定義列方程，求出．【詳解】，，成等比數(shù)列，或．而當(dāng)時(shí)，，不合題意．故13.在等差數(shù)列中，，記，則數(shù)列的前30項(xiàng)和為_________．【正確答案】755【分析】根據(jù)分組求和，結(jié)合等差求和公式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故．故75514.已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.【正確答案】16【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式求得數(shù)列{}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公差為﹣3的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為﹣4，公差為﹣3的等差數(shù)列，進(jìn)而求出其2n項(xiàng)的和，即可求解結(jié)論．【詳解】數(shù)列滿足，，且，，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，(負(fù)值舍去)，，此時(shí)n無正整數(shù)解，若，則，故16.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，（1）求通項(xiàng)公式;（2）若，且的前n項(xiàng)和為，求【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）利用等差數(shù)列求和公式得到，從而得到通項(xiàng)公式.（2）利用帶入，得，進(jìn)行計(jì)算.【小問1詳解】由等差數(shù)列求和公式得，，，；【小問2詳解】由（1）知：，則，則16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由，的關(guān)系作差即可判斷；（2）由（1）求得，再由等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式即可求解；【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立①－②，可得，即，所以，又，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可得，則，，所以．17.已知數(shù)列對(duì)于任意都有．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，求．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)條件，利用間的關(guān)系，即可求解；（2）由（1）得到，再利用錯(cuò)位相減法，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，②，由①②，得到，所以，又時(shí)，，得到，滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由題意，所以③，得到④，由③④，得到，所以.18.市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購(gòu)買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式：①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每月的還款額均相同．銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（如2020年7月7日貸款到賬，則2020年8月7日首次還款）．已知該筆貸款年限為20年，月利率為0.4%．（1）若小張采取等額本金的還款方式，已知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，試計(jì)算該筆貸款的總利息．（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半．已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張申請(qǐng)?jiān)摴P貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）．參考數(shù)據(jù)：．（3）對(duì)比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式．【正確答案】（1）（元）；（2）小張申請(qǐng)?jiān)摴P貸款能夠獲批；（3）小張應(yīng)選擇等額本金的還款方式．【分析】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據(jù)題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，設(shè)小張每月還款額為元，由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù)，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；（3）計(jì)算出等額本息還款方式時(shí)所付出的總利息，兩個(gè)利息比較即可判斷.【詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成等差數(shù)列，記為，用表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則，，則，故小張的該筆貸款的總利息為（元）．（2）設(shè)小張每月還款額為元，采取等額本息還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，則，所以，即，因?yàn)?，所以小張?jiān)摴P貸款能夠獲批.（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為（元），因?yàn)椋詮慕?jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇等額本金的還款方式．19.現(xiàn)定義：若數(shù)列為遞減數(shù)列且也為遞減數(shù)列，則為“數(shù)列”.（1）已知：，，探究數(shù)列，是否為“數(shù)列”；（2）定義：，已知數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)并證明數(shù)列為“數(shù)列”.【正確答案】（1）是遞減數(shù)列，不是“數(shù)列”（2）答案見解析，證明見解析【分析】（1）判斷，的單調(diào)性，證明數(shù)列為遞減數(shù)列，舉例說明不是遞減數(shù)列，結(jié)合定義判斷結(jié)論；（2）由關(guān)系證明，再判斷數(shù)列，的單調(diào)性，由此證明結(jié)論.小問1詳解】因?yàn)槭沁f減數(shù)列，，且，而，所以，，所以所以是遞減數(shù)列，所以數(shù)列是“數(shù)列”；因?yàn)槭沁f減數(shù)列，，其中，，則，所以不是遞減數(shù)列，所以數(shù)列