/上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高三下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12小題）1．已知橢圓x24+y22．已知fx=x+cx，若對(duì)任意x∈0,+∞3．已知函數(shù)fx=lnx,x＞14．在△ABC中，AB+AC=8，AB,AC=π35．已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l的傾斜角為45°，且l過(guò)點(diǎn)F.若l與C相交于A,B兩點(diǎn)，則以6．已知函數(shù)fx=2cos2ωx?π6?17．已知一組數(shù)據(jù)1，1，2，3，5，2，1的第60百分位數(shù)為m，且隨機(jī)變量X的分布列為X0.5m2mP0.40.30.3則EX8．已知z1=3sinθ+i9．已知點(diǎn)P,Q分別在直線l1:x+y+2=0與直線l2:x+y?1=0上，且PQ⊥l1，點(diǎn)10．若定義在?∞,0∪0,+∞上的函數(shù)fx同時(shí)滿足：①fx為奇函數(shù)；②f1=0；③對(duì)任意的x111．晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元，是結(jié)構(gòu)化學(xué)研究的一個(gè)重要方面在如圖（1）所示的體心立方晶胞中，原子A與B（可視為球體）的中心分別位于正方體的頂點(diǎn)和體心，且原子B與8個(gè)原子A均相切，已知該晶胞的邊長(zhǎng)（圖（2）中正方體的棱長(zhǎng)）為23，則當(dāng)圖（1）中所有原子(8個(gè)A原子與1個(gè)B原子）的體積之和最小時(shí)，原子12．在數(shù)列an中，若存在兩個(gè)連續(xù)的三項(xiàng)ai，ai+1，ai+2與aj，aj+1，aj+2相同i≠j，則稱an是“3階可重復(fù)數(shù)列”.已知給定項(xiàng)數(shù)為m（m∈N，m?4）的數(shù)列二、單選題（本大題共4小題）13．x∈A是x∈A∪B的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．已知兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y滿足條件2X+Y=2，且Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．設(shè)函數(shù)Fx=PX?2xA． B． C． D．15．在正方體ABCD?A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)A．橢圓的一部分 B．線段C．圓的一部分 D．拋物線的一部分16．已知數(shù)列an滿足aA．當(dāng)a1=3時(shí)，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M?0B．當(dāng)a1=5時(shí)，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M?6C．當(dāng)a1=7時(shí)，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M＞6D．當(dāng)a1=9時(shí)，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M＞0三、解答題（本大題共5小題）17．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M是AD的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面ADE；(2)求直線CM與平面DEN所成角的正弦值．18．已知=(bsinx，acosx)，=(cosx，﹣cosx)，，其中a，b，xR.且滿足，.（1）求a和b的值；（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，]上總有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.19．某校高一年級(jí)開(kāi)設(shè)有羽毛球訓(xùn)練課，期末對(duì)學(xué)生進(jìn)行羽毛球五項(xiàng)指標(biāo)(正手發(fā)高遠(yuǎn)球、定點(diǎn)高遠(yuǎn)球、吊球、殺球以及半場(chǎng)計(jì)時(shí)往返跑)考核，滿分100分.參加考核的學(xué)生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.(1)由頻率分布直方圖，求出圖中的值，并估計(jì)考核得分的第60百分位數(shù)；(2)為了提升同學(xué)們的羽毛球技能，校方準(zhǔn)備招聘高水平的教練.現(xiàn)采用分層抽樣的方法(樣本量按比例分配)，從得分在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)闹刑舫鰞扇诉M(jìn)行試課，求兩人得分分別來(lái)自和的概率；(3)現(xiàn)已知直方圖中考核得分在內(nèi)的平均數(shù)為75，方差為6.25，在內(nèi)的平均數(shù)為85，方差為0.5，求得分在內(nèi)的平均數(shù)和方差.20．已知拋物線E:y2=4x，直線l:x=my+3交拋物線E(1)若線段AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，求直線l的方程；(2)若拋物線E上存在兩點(diǎn)C,D關(guān)于直線l軸對(duì)稱，求m的取值范圍.(3)若存在定點(diǎn)P，使以AB為直徑的圓上的任意點(diǎn)Q，都滿足PQ:OQ=2:3（O為原點(diǎn)），求定點(diǎn)21．已知常數(shù)p＞1，定義在0,+∞的函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若函數(shù)gx=ax?x1p（i）求實(shí)數(shù)（ii）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=fx

答案1．【正確答案】1【詳解】雙曲線x2a?y2所以4?a2=a+2，又a＞02．【正確答案】9【詳解】若對(duì)任意x∈0,+∞，都有f則fx=x+cx在由基本不等式得：x+c當(dāng)且僅當(dāng)x=cx時(shí)，即則c=3,即c=9.3．【正確答案】ln2【詳解】因?yàn)閘og32＜1，所以f4．【正確答案】19【詳解】在△ABC中，AB+AC=8，5sinB=3sinC，由正弦定理得5b=3c，所以3c5+c=8，所以得出再應(yīng)用余弦定理得a2則BC=195．【正確答案】27【詳解】由題意l:y=x?1，聯(lián)立C:y2=4x，則x所以xA+x所以，以AB為直徑的圓的圓心橫坐標(biāo)為3，半徑為4，故以AB為直徑的圓被y軸截得的弦長(zhǎng)為216?96．【正確答案】72【詳解】由x∈0,π6令t=2ωx?π由題意可知：y=cost在t∈?結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可知需滿足：ωπ3解得ω?7所以ω的最小值為727．【正確答案】2【詳解】一組數(shù)據(jù)1，1，2，3，5，2，1，從小到大排列為1,1,1,2,2,3,5，又因?yàn)?×0.6=4.2，所以第60百分位數(shù)為小到大排列的第5個(gè)數(shù)m=2，所以EX8．【正確答案】7?3【詳解】由z1=3所以z1?2i=3，所以復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z而z2=?5i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z20,?5，易知9．【正確答案】310【詳解】易知l1//l2，作出圖象如下，過(guò)B點(diǎn)作直線直線l:y=x?3，過(guò)P作直線PC//QB，與直線l交于點(diǎn)C，易知四邊形PCBQ為平行四邊形，故PC=QB，且B到直線l2的距離等于C到l設(shè)Ct,t?3，則t+t?3+22=3+0?12，解得t=32而AP+PQ+故只需求出|AP|+|PC|的最小值即可，顯然AP+故AP+PQ+10．【正確答案】?∞,?2∪【詳解】因?qū)θ我獾膞1,x2∈則gx=xfx又fx為奇函數(shù)及f1=0則gx為偶函數(shù)，且g1=g?1=0所以gx+1在?∞,?1上單調(diào)遞增，在?1,+∞又x∈?∞,0∪0,+∞當(dāng)x＞0時(shí)，fx+1＜0?gx+1x+1＜0，得故x＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，fx+1＞0?g得x+1＜0gx+1＜0或x+1＞0gx+1綜上，不等式xfx+1＜0的解集為11．【正確答案】62【詳解】∵正方體的棱長(zhǎng)為23，則該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2設(shè)A原子的半徑為r，B原子的半徑為R，依題意，2r+2R=6，即R=3?r，0＜r＜3，∴8個(gè)A原子與1個(gè)B原子的體積之和為：V=8?4π令fr=7r3+9由f′r=0，得r=62當(dāng)62?37∴函數(shù)fr在0,62即當(dāng)r=62?3∴當(dāng)圖（1）中所有原子(8個(gè)A原子與1個(gè)B原子）的體積之和最小時(shí)，原子A的半徑為612．【正確答案】11【詳解】因?yàn)閿?shù)列an的每一項(xiàng)只可以是0或1，所以連續(xù)3項(xiàng)共有2若m=11，則數(shù)列an中有9組連續(xù)3即項(xiàng)數(shù)為11的數(shù)列an一定是“3若m=10，數(shù)列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則3?m＜10時(shí)，均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列an所以，要使數(shù)列an一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值為1113．【正確答案】A【詳解】若x∈A，根據(jù)并集的定義,所以當(dāng)x∈A時(shí)，一定有x∈A∪B，即由x∈A能推出x∈A∪B，所以x∈A是x∈A∪B的充分條件.若x∈A∪B，則x可能屬于A，也可能屬于B，不一定有x∈A.例如A=1,2，B=3,4，當(dāng)x=3時(shí)，x∈A∪B=1,2,3,4，但x?A，即由x∈A∪B不能推出x∈A，所以x∈A綜上，x∈A是x∈A∪B的充分不必要條件.故選A.14．【正確答案】D【詳解】Fx=PX?2x＞1=P所以Fx=P(1?Y2＞2x+1F1?x=P[Y＜?41?x或Y＞4?41?x]因?yàn)閅服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以根據(jù)對(duì)稱性可知Fx=F1?x，所以函數(shù)F當(dāng)x=12時(shí)，F(xiàn)12=PX?1＞1，X=1?Y2，所以F12=PX?1＞1=P故選D．15．【正確答案】D【詳解】設(shè)正方體ABCD?A1B以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、則D10,0,1、A1,0,0D1A=cosD化簡(jiǎn)得y2所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為拋物線的一部分.故選D.16．【正確答案】B【詳解】法1：因?yàn)閍n+1=1對(duì)于A，若a1=3，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：an證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1?6=?3??3，此時(shí)不等關(guān)系設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak則ak+1?6=1由數(shù)學(xué)歸納法可得an而an+114an?62?1?9故an為減數(shù)列，注意a故an+1?6=1所以6?an+1?94若存在常數(shù)M?0，使得an＞M恒成立，則故6?M3＞94n?1，故n＜故A不成立.對(duì)于B，若a1=5,可用數(shù)學(xué)歸納法證明：?1?a證明：當(dāng)n=1時(shí)，?1?a1?6=?1?0設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，5?a則ak+1?6=1由數(shù)學(xué)歸納法可得5?a而an+114an?62?1＜0，an若M=6，則an對(duì)于C，當(dāng)a1=7時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：0＜a證明：當(dāng)n=1時(shí)，0＜a設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，6＜a則ak+1?6=14a由數(shù)學(xué)歸納法可得6＜a而an+1?an=又an+1?6=an?6×1若an+1?6+14n則M?6＜14n?1恒成立，故n＜對(duì)于D，當(dāng)a1=9時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：an證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak則ak+1?6=1由數(shù)學(xué)歸納法可得an而an+1?an=又an+1?6=an?6×1若存在常數(shù)M＞0，使得an＜M恒成立，則故M＞6+394n?1，故n＜故選B.法2：因?yàn)閍n+1令fx=1令f′x＞0，得0＜x＜6?令f′x＜0所以fx在?∞,6?233和令fx=0，則14x3?92x注意到4＜6?233所以結(jié)合fx的單調(diào)性可知在?∞,4和6,8上fx＜0，在4,6和8,+∞對(duì)于A，因?yàn)閍n+1=1當(dāng)n=1時(shí)，a1=3，a2假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1?6=1綜上：an?3，即因?yàn)樵?∞,4上fx＜0，所以an+1因?yàn)閍n+1令?x=1因?yàn)?′x開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為所以?′x在?∞,3上單調(diào)遞減，故所以?x在?∞,3上單調(diào)遞增，故?故an+1?a假設(shè)存在常數(shù)M?0，使得an取m1=?M+4，其中因?yàn)閍n+1＜a上式相加得，a?則am1=對(duì)于B，因?yàn)閍1當(dāng)n=1時(shí)，a1=5＜6，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閍k＜6，所以ak所以ak+1又當(dāng)n=1時(shí)，a2?5=1假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閍k?5，所以ak所以ak+1綜上：5?a因?yàn)樵?,6上fx＞0，所以an+1此時(shí)，取M=6，滿足題意，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閍n+1=1注意到當(dāng)a1=7時(shí)，a2=1猜想當(dāng)n?2時(shí)，ak當(dāng)n=2與n=3時(shí)，a2=14+6假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak當(dāng)n=k+1時(shí)，所以ak+1綜上：an易知3n?1＞0，則0＜1所以an因?yàn)樵?,8上fx＜0，所以an+1假設(shè)存在常數(shù)M＞6，使得an記m0=log32則3m故123m?1＞所以am＜M，故對(duì)于D，因?yàn)閍1當(dāng)n=1時(shí)，a2?6=1假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1?6=1綜上：an因?yàn)樵?,+∞上fx＞0，所以an+1因?yàn)閍n+1令gx=1因?yàn)間′x開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為所以g′x在9,+∞上單調(diào)遞增，故所以gx故an+1?a假設(shè)存在常數(shù)M＞0，使得an取m2=M+1，其中因?yàn)閍n+1＞a上式相加得，aM則am2=故選B.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，由，知，，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以，又，平面，所以平面．（2）平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值．18．【正確答案】（1），；（2）.（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，由，解得，再由，進(jìn)而求得的值；（2）由（1）化簡(jiǎn)得，根據(jù)，得到，結(jié)合方程在區(qū)間上總有實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上成立，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，由得，，因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所?（2）由（1）得，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，又因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上總有實(shí)數(shù)解，所以在區(qū)間上成立，所以，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．【正確答案】(1)，85(2)(3)得分在內(nèi)的平均數(shù)為81，方差為26.8【分析】（1）首先根據(jù)頻率和為1求出，再根據(jù)百分?jǐn)?shù)公式即可得到答案；（2）求出各自區(qū)間人數(shù)，列出樣本空間和滿足題意的情況，根據(jù)古典概型公式即可；（3）根據(jù)方差定義，證明出分層抽樣的方差公式，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意得，解得，設(shè)第60百分位數(shù)為，則，解得，所以第60百分位數(shù)為85.（2）由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在的有人，設(shè)為，，在的有人，設(shè)為，，.則樣本空間為.設(shè)事件“兩人分別來(lái)自和”，則，所以，所以兩人得分分別來(lái)自和的概率為.（3）由題意知，落在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有個(gè)，落在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有個(gè).記在區(qū)間的數(shù)據(jù)分別為，平均分為，方差為；在區(qū)間的數(shù)據(jù)分別為，平均分為，方差為；這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.由題意，，且，則.根據(jù)方差的定義，,由，可得，故得分在內(nèi)的平均數(shù)為81，方差為26.8.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是充分利用方差定義，推導(dǎo)出分層抽樣的方差計(jì)算公式即可.20．【正確答案】(1)x=y+3(2)m∈?∞,?1(3)定點(diǎn)P?1,0，m=0【詳解】（1）設(shè)Ax聯(lián)立y2=4xx=my+3，化簡(jiǎn)得yy1+y由于yM=y故直線l的方程為x=y+3；（2）設(shè)Cb若m=0，則l:x=3，易得此時(shí)不合題意；若m≠0，由于C,D關(guān)于直線l軸對(duì)稱，故kCD故a+b=?4m，所以CD中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為將其代入l:x=my+3中可得x=1，又x=1=b24結(jié)合a+b=?4m，故化簡(jiǎn)可得b2由于關(guān)于b的方程要有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ′故m2＞1，即綜上所述，