第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年云南省昭通市第一中學(xué)高二下學(xué)期5月獎學(xué)金考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)全集U=x1≤x<7,x∈N?，集合AA.3,4 B.1,3,4 C.1,3,4,6 D.1,3,4,72.若復(fù)數(shù)z=2?4ii，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為A.(?4,?2) B.(?4,2) C.(?2,?3.將函數(shù)y=4cos2x?π6的圖象向右平移1A.y=4cos2x+π12 B.y=4cos2x?4.已知兩個(gè)非零向量a，b滿足a+b=a?b，則向量3A.b B.?b C.3a 5.已知函數(shù)f(x)=x?142+A.14 B.12 C.0 6.已知圓臺的側(cè)面展開圖是半個(gè)圓環(huán)，側(cè)面積為8π，則圓臺上下面面積之差的絕對值為(

)A.π B.2π C.4π 7.在數(shù)列bn的項(xiàng)2i和2i+1之間插入i個(gè)i(i=1,2,3,…,i∈N?)構(gòu)成新數(shù)列aA.19 B.219 C.20 D.8.已知x,y∈R，且9x+(x?2)?3xA.1 B.2 C.3 D.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.一組數(shù)據(jù)6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位數(shù)為7

B.若事件A，B相互獨(dú)立，且P(A)>0，P(B)>0，則事件A，B不互斥

C.已知隨機(jī)變量X～B(n,13)，若E(X)=1，則P(X=2)=10.已知數(shù)列an滿足a1+2a2+4a3+?+2A.a1=1 B.數(shù)列an為等差數(shù)列

C.Sn，S2n，S3n構(gòu)成等比數(shù)列 D.11.已知函數(shù)fn(x)=sinnA.若cos2x=35，則f4(x)=1725

B.當(dāng)x∈?π2,π2時(shí)，函數(shù)y=f4(x)與y=sin4x+34的圖像恰有三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若角α+π4的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(?3,4)，則cos2α=

13.記雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>14.6根長度相同的繩子平行放置在桌面上，分別將左、右兩邊的6個(gè)繩頭各自隨機(jī)均分成3組，然后將每組內(nèi)的兩個(gè)繩頭打結(jié)，則這6根繩子恰能圍成一個(gè)大圈的概率為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分在?ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c.已知a(1)求角A；(2)如圖，∠BAC的平分線AD交BC于D，AD=2，求1BD16.(本小題15分)21世紀(jì)汽車博覽會在上海舉行．某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型，其外觀與內(nèi)飾的顏色分布如表所示：

紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾812米色內(nèi)飾23現(xiàn)將這25個(gè)汽車模型進(jìn)行編號．(1)若小明從25個(gè)汽車模型編號中隨機(jī)選取一個(gè)，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件B為小明取到的模型為米色內(nèi)飾，求P(B)和P(B∣(2)該公司舉行了一個(gè)抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人一次性從25個(gè)汽車模型編號中選取兩個(gè)，給出以下抽獎規(guī)則：①選到的兩個(gè)模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均同色、外觀和內(nèi)飾都異色以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；②按結(jié)果的可能性大小設(shè)置獎項(xiàng)，概率越小獎項(xiàng)越高；③該抽獎活動的獎金金額為一等獎600元、二等獎300元、三等獎150元．請你分析獎項(xiàng)對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎金金額，寫出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望．17.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=e(1)若a=1，求曲線y=f(x)在點(diǎn)0,f(0)處的切線方程；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．18.(本小題17分如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD,AB⊥BC，且AB=BD=2CD=4，側(cè)面PCD是正三角形，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，E為PC中點(diǎn)，作EF(1)求證：PB⊥平面DEF(2)求平面PBD與平面PBC的夾角的余弦值；(3)在平面DEF內(nèi)是否存在點(diǎn)Q.使得QA?QB=0，若存在，求動點(diǎn)19.(本小題17分)已知圓心在x軸上移動的圓經(jīng)過點(diǎn)A(?4,0)，且與x軸、y軸分別交于B(x,0)，C(0,y)兩個(gè)動點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P(x,y)的軌跡Γ的方程；(2)過A(?4,0)作直線與曲線Γ相交于M，N兩點(diǎn)．(i)E(2,0)，直線EM，EN與曲線Γ的另一個(gè)交點(diǎn)分別為D，F(xiàn)，證明直線DF過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；(ii)En(n,0)n=1,2,3,?,n∈N?為點(diǎn)列，直線MEn，NEn與曲線Γ的另一個(gè)交點(diǎn)分別為Dn，參考答案1.C

2.B

3.D

4.C

5.D

6.C

7.A

8.B

9.BCD

10.BD

11.ACD

12.?2413.514.81515.(1)∵acos由正弦定理可得：sinA在?ABC中，B=π?(A+C)化簡得：2sin∵sinC>0，則cosA=(2)在?ABD中，由正弦定理可得ADsinB同理?ACD中，有1CD=sinC，1∴sin∵B∈0,216.(1)由題意得，P(B)=2+325=15則P(B∣(2)記外觀與內(nèi)飾均同色為事件A1，外觀與內(nèi)飾都異色為事件A2，僅外觀或僅內(nèi)飾同色為事件則PAPAPA∵PA∴一等獎為兩個(gè)汽車模型的外觀與內(nèi)飾都異色，二等獎為兩個(gè)汽車模型的外觀與內(nèi)飾均同色，三等獎為兩個(gè)汽車模型僅外觀或僅內(nèi)飾同色．X的分布列：X150300600P7715049150425E(X)=150×17.(1)若a=1，f(x)=e2x2則f′(0)=e故所求的切線方程為y?4=6(x?0)，即6x?y+4=0．(2)由題意函數(shù)的定義域?yàn)??∞,+∞f′①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0恒成立，函數(shù)在定義域內(nèi)最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)a<0時(shí)，令f′令f′(x)>0，則x>ln函數(shù)f(x)在?∞,lnf(x)若f(x)極小值≥0，則?若f(x)極小值<又x→+∞時(shí)，f(x)→+∞；x→?∞由零點(diǎn)存在性定理和函數(shù)f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在?∞在ln(?a)綜上a<?e18.(1)由側(cè)面PCD⊥底面ABCD，側(cè)面PCD∩底面ABCD=CD，BC?又底面ABCD是直角梯形，AB//CD,AB⊥所以BC⊥面PCD，DE?面PCD，則由側(cè)面PCD是正三角形，E為PC中點(diǎn)，則DE⊥而BC∩PC=C且都在面PBC內(nèi)，則DE⊥面PBC，DE所以面DEF⊥面PBC，而EF⊥PB，面DEF∩面PBC=EF，所以PB⊥平面DEF(2)依題意，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，C(0,0,0),B(0,2所以CB=(0,23令m=(x,y,z)是面PBC的一個(gè)法向量，則令x=3，則令n=(a,b,c)是面PBC的一個(gè)法向量，則令a=3，則所以平面PBD與平面PBC的夾角的余弦值cosm(3)由QA?QB=0，即QA⊥QB，故Q又A(4,23,0),B(0,23由(1)(2)知，PB=(?1,23所以O(shè)到面DEF的距離d=|所以以AB為直徑的球體與平面DEF不相交，故不存在Q使QA?

19.(1)因?yàn)閳A的圓心在x軸上移動，所以A(?4,0)與B(x,0)的中點(diǎn)為該圓的圓心，故圓心為Sx?4又因?yàn)镃(0,y)在圓上，所以|SC|=|AB|即x?4化簡得：y2所以點(diǎn)P(x,y)的軌跡Γ的方程為y2(2)因?yàn)橄襇N的斜率必不為0，故設(shè)弦MN所在直線方程為x=my?4，聯(lián)立方程x=my?4y2=4x因?yàn)榻挥趦牲c(diǎn)，故Δ=16m2?4×設(shè)Mx1,y1，N(i)證明：因?yàn)镋(2,0)，直線EM，EN與曲線Γ的另一個(gè)交點(diǎn)分別為D，F(xiàn)，設(shè)直線EM:聯(lián)立方程x=ty+2y2=4x所以y1yD=?8所以x1x2由上述解答可知：過x軸上一定點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)時(shí)，這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值，故猜想若xDxF為定值時(shí)，直線DF下面進(jìn)行證明．因?yàn)閗DF=yF?令y=0，解得x=?又因?yàn)閥D根據(jù)題目可知，yD，yF同號，故yD故直線DF恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)為(?1,0)；(ii)由(i