高一數(shù)學(xué)月考試卷（2025年5月）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】解：．故選：．2.將一個(gè)直角三角形繞其一直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為（）A.一個(gè)圓臺(tái) B.兩個(gè)圓錐 C.一個(gè)圓柱 D.一個(gè)圓錐【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓錐的定義可得答案.【詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義可知，這是一個(gè)圓錐.故選：D.3.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則為（）．A. B.5 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法除法法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，得，所以，所以.故選：D.4.設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝()A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【詳解】,,故選D.5.已知向量，滿足，，則在方向上投影向量為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，根據(jù)投影向量定義及數(shù)量積的運(yùn)算律求投影向量即可.【詳解】由，得.根據(jù)定義可知：在方向上的投影向量為.故選：C.6.如圖，由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，結(jié)合正方形的性質(zhì)、平面向量基本定理進(jìn)行求解即可.【詳解】過作，垂足為，設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，因?yàn)椋?，所以，由勾股定理可知：，即，，，因此由平面向量基本定理可知：，因?yàn)?，所以，故選：C7.某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量一個(gè)球體建筑物的高度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若小明同學(xué)在B，C處分別測(cè)得球體建筑物的最大仰角為和，且米，則該球體建筑物的高度為（）米．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)可得，利用，求解即可得所求．【詳解】如圖，設(shè)球心為，連接，則設(shè)球的半徑為，則，，，，則該球體建筑物的高度為米．故選：B．8.如圖所示，在直三棱柱中，棱柱的側(cè)面均為矩形，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，結(jié)合勾股定理余弦定理等求解即可.【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有，如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即,在三角形中，，，由勾股定理可得：且.同理可求：，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，所以在三角形中?,由余弦定理得：.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列化簡(jiǎn)正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角公式、輔助角公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD10.下列說法中正確的有（）A.若與是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上B.若向量，，則C.若平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C滿足，則D.若非零向量，滿足，則與的夾角是【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)向量共線的定義，可得其正誤；對(duì)于B，利用向量共線定理，可得其正誤；對(duì)于C，根據(jù)向量減法，結(jié)合共線定理，可得其正誤；對(duì)于D，根據(jù)向量模的求解以及夾角公式，可得答案.【詳解】與是共線向量，也可能是，故A錯(cuò)誤；設(shè)，∵，，∴解得∴，又∵，∴，故B正確；由已知得，∴，∴，故C正確；由整理可得，設(shè)與的夾角是，則，∴與的夾角是，故D錯(cuò)誤．故選：BC.11.在棱長(zhǎng)為4的正方體中，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.線段長(zhǎng)度的最小值為B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角正弦值的取值范圍為D.若動(dòng)點(diǎn)在線段上，則線段長(zhǎng)度的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于,利用面面平行，確定點(diǎn)在線段在線段上，當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最?。粚?duì)于,三棱柱體積轉(zhuǎn)化為，根據(jù)線面平行可知，點(diǎn)到平面的距離為定值，即可判斷；對(duì)于,點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線與所成角為，可排除；對(duì)于，線段長(zhǎng)度可轉(zhuǎn)化為直線與之間的距離，在轉(zhuǎn)化為線面距，即可求解.【詳解】對(duì)于,如下圖所示，連接,易得平面,所以平面,同理，平面,又所以平面平面,又平面平面,故可知?jiǎng)狱c(diǎn)在線段上，則時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小，此時(shí)是的中點(diǎn)，易求所以正確；對(duì)于,平面，故點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積也為定值，則為定值，即三棱錐的體積為定值，所以正確；對(duì)于因?yàn)橹本€與所成角即為異面直線與所成角，又為等邊三角形，當(dāng)位于的中點(diǎn)時(shí)，，即直線與所成角為，其正弦值為故錯(cuò)誤；對(duì)于,由題意，異面直線與之間的距離，即為線段長(zhǎng)度的最小值，連接平面,故平面,則異面直線與之間的距離即為到平面距離，即點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為又即即則正確.故選：三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直得到，求出，再利用夾角公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：13.如圖所示，已知平面，則__________．【答案】12【解析】【分析】首先表示向量，平方后，利用數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】，,因?yàn)槠矫?，平面，所以，，所以，則.故答案為：14.刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）．例如，正四面體的每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角為，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為．在底面為矩形的四棱錐中，底面，，與底面所成的角為，在四棱錐中，頂點(diǎn)的曲率為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)線面角定義可知，設(shè)，可求得所需的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)；根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系和垂直關(guān)系可確定點(diǎn)處的三個(gè)面角的大小，根據(jù)曲率定義可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，平面，即為與底面所成角，即，，，，，；平面，平面，，又，，平面，平面，平面，，即，又，頂點(diǎn)的曲率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知平面向量，滿足，，.（1）求；（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由給定條件求出，再根據(jù)向量模的計(jì)算公式即可得解；(2)根據(jù)向量夾角為銳角借助數(shù)量積列出不等關(guān)系即可作答.【詳解】（1）依題意，，得，，所以；（2）由向量與的夾角為銳角，可得，即有，解得，而當(dāng)向量與同向時(shí)，可知，綜上所述的取值范圍為.16.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)和點(diǎn)在棱上，且.（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）連接、，設(shè)，連接，即可得到，從而得證；（2）首先證明平面，得到，再證，即可得到平面，從而得證.【小問1詳解】在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)和點(diǎn)在棱上，且，連接、，設(shè)，連接，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在長(zhǎng)方體中，，則為正方形，所以，平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，又，，，，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.17.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用和角的正弦、二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即得.（2）令，結(jié)合分離參數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】依題意，，由，得，則，解得，所以不等式的解集為.【小問2詳解】由，得，由，得，即有，令，，原不等式化為，即，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，因此，所以的取值范圍.18.如圖，為半球的直徑，C為上一點(diǎn)，P為半球面上一點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）若，，求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】(1)由,可得平面，進(jìn)而可得，又由于,所以可得平面，即可得；(2)利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)直線與平面所成的角為，則有，即可得答案.【小問1詳解】證明：因?yàn)闉榘肭虻闹睆?，C為上一點(diǎn)，所以,又因?yàn)?，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)镻為半球面上一點(diǎn)，所以,,平面，所以平面，平面，所以；【小問2詳解】解：因?yàn)槿切螢橹苯侨切?，，所以，又因?yàn)?，平面，所以，又因?yàn)槿切我彩侵苯侨切?，所?所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則有,即,所以,設(shè)直線與平面所成的角為，則.19.在中，，點(diǎn)D在邊上，且（1）若的面積為，求邊的長(zhǎng)；（2）若，求.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由三角形面積公式首先可以求得的長(zhǎng)度，然后在中，運(yùn)用余弦定理即可求解.（2）設(shè)所求角，根據(jù)已知條件把圖中所有角都用含有