天津南開2023屆第二次月考試卷

一、單選題

1.設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},3={2,3,4},則Al@8)二()

A.⑶B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

2.已知〃GR,則“4〈6”是“々2<36”()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

則數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為()

C.64.5D.66

353工+J圖像大致為(

4.函數(shù)/")=)

91-1

5.三個數(shù)a=0.42,b=log20.3,。=2。6之間的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

1+sina+cosa

6.已知曲線)，=4，7在點(1,4)處切線的傾斜角為崇，則匚嬴了I河=()

-c\4；

A.—B.2X/2C.；D.1

22

7.將函數(shù)/(x)=sin2x圖象先向右平移(個單位長度，再把所得函數(shù)圖象上每一個點的

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(5)的值為()

A.1B.-且C.--D.正

2222

8.己知S“是等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和，公差dwO,4=1，若4M2，0成等比數(shù)列，則

S+9

上r的最小值為

4+3

139

A—B.2C.\J\0—1D.一

64

、(-X2-2x,x<0

9.設(shè)函數(shù)〃上M必,0

①若方程.f(x)=4有四個不同的實根/，/，&，4，則X"，?占的取值范圍是(0,1)

②若方程〃x)=a有四個不同的實根毛,須，芻，”則西+X2+X3+X4的取值范圍是

(O,+a>)

③若方程/(/)="有四個不同的實根，則。的取值范圍是(0,1)

(1A

④方程/'(X)-。+—j(x)+l=。的不同實根的個數(shù)只能是1，2,3,6

Ia)

四個結(jié)論中，正確的結(jié)論個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

10.已知復(fù)數(shù)z=&q，則z=.

1+/

ii.^-4］展開式中的常數(shù)項是___.（用數(shù)字作答）

12.已知各項都為正的等差數(shù)列｛如｝中，若〃2+。3+。4=15,0+2,幻+4,%+16成等比數(shù)

列，則00=.

13.甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球

除顏色外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以A，&和4表

示由甲箱中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以8表示由乙

箱中取出的球是紅球的事件，則P（8）=.

14.若正數(shù)人滿足則/-+E的最小值為______.

aba-\b-\

15.如圖，在梯形A3CO中，AB//CD且DC=2AB=2BC,E為8C的中點，4C與OE

交于點。.若］2CH,Cl）=5OAOI）,則N8CZ）的余弦值為.

16.在_ABC中，角A,B,C的對邊分別為〃，b,。，且

c

(2fz+c?)cos(/4+C)4-/?=2/7cos2一.

（2）如圖，若。為“BC外一點，且NBCD=—,AB1AD,AB=1,AD=6

1

求sinN5OC.并求3c.

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，24_1底面43。0,4。，43,45//。。，

4力=DC=4P=2,48=1,點七為棱PC的中點.

天津南開2023屆第二次月考試卷

一、單選題

1.設(shè)集合U={1，2,3,4,5,6},A={1,3,6},3={2,3,4},則A值a二（）

A.{3}B.{1,6）C.{5,6}D.{1,3}

【詳解】由題設(shè)可得"6={1,5,6},故4c（?3）={1,6},

故選：B.

2.已知awR,則“。＜6”是＜36”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【詳解】因為/＜36,即。?-6,6）,又（-6,6）是（e,6）的真子集，

故“。＜6”是＜36”的必要不充分條件.

故選：B.

,則數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為（）

C.64.5D.66

【詳解】解：因為（。.。3+。.04＞1。=。.7＞。.5,所以中位數(shù)位于［60,70）之間,

設(shè)中位數(shù)為x,則0.03x10+(x-60)x0.04=0.5,解得x=65,

即中位數(shù)為65.

故選：B

)

c/G_C0S3x_COS3x

【詳解】由于八?二9，-1=3'-3一一，

3K

??./(-)=￥*=-箸”-仆)，

D—JO—J

???/（工）是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，排除A,

令f(x)=0,得cos3x=0,

71

，3x=E+—,keZ,

2

E兀，~

??x=4,keZ,

36

???函數(shù)/(X)有無數(shù)個零點，排除D.

當(dāng)T吟>>>o,排除c.

故選：B.

5.三個數(shù)。=0.42,Z>=log20.3,。=2。6之間的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.a<h<cC.b<a<cD.b<c<a

【詳解】解：???0V0.42V0.4O=l,???0VaVl,

Vlog20.3<log21=0,???力<0,

V2°-6>2°=1/.c>l,

.\b<a<c,

故選：c.

1+sina+cosa

6.已知曲線），=4j7在點（1,4）處切線的傾斜角為三，則二777^1=（）

/1V乙UU3（XI

I4J

A.B.2X/2C.；D.I

22

L,2

【詳解】解：因為），=46,則）=7：

則曲線)，=4?在點(1,4)處的切線的斜率為人y[y=2,又傾斜角為多

OL

所以tan—=2

2

1+sina+cosa_1+sina+cosa_I+sina+cosa

則1―、歷+V2及.)1-cosGf+sincz

1vzcos^(7+J-V2—coscr--sinor

2cos~—+2sin--cos-1+tan

222,2

，aa

2sin2-+2sin-cos-tan--+tan2

22222

故選：C.

7.將函數(shù)/（x）=sin2x的圖象先向右平移？個單位長度，再把所得函數(shù)圖象上每一個點的

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，則gjg］的值為（

)

2J

B值

A1

A-2cD.

2-42

【詳解】將函數(shù)/（x）=sin2x圖象先向右平移？個單位長度，得到

y=sin2(x-y=sin|2x--

I3的圖象;

再把所得函數(shù)圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到

2%

g(x)=sinx--的--圖象:

3

故g

故選：c.

8.已知S“是等差數(shù)列｛〃,』的前〃項和，公差dwO,4=1,若q,〃2，6成等比數(shù)列，則

S〃+9

的最小值為

為+3

139

A.—B.2C.Vlo-lD.-

64

【詳解】???q,/，6成等比數(shù)列，

222

/.a2=ata5=>(I+J)=I(1+4t/)=>J-2J=0,解得：d=2,

〃(〃一1)9

.??$+9_〃+1-'一1(〃+l)2—25+1)+10_1”10

--------------------------------------------------------------------——1(/7+1)+-------2]'

an+31+(/?-1)-2+32//+12〃+1

令/=〃+1,令y=，Q+W-2）,其中，22的整數(shù),

2t

???函數(shù)在（0,Ji6］遞減，在［癡,+8）遞增，

139

.??當(dāng)/=3時，y=—；當(dāng)/=4時，y=一，

64

.13

??%in=V-

O

故選：A.

-x2-2x,x<0

9.設(shè)函數(shù)/(x)=<

|lnx|,x>0

①若方程〃力=。有四個不同的實根玉，々，七，丹，則西鵬飛?七的取值范圍是（0」）

②若方程/（、）=〃有四個不同的實根X1.XyX3,x4,則M+X2+&+X4的取值范圍是

(0,+co)

］

③若方程/（★）="有四個不同的實根，則。的取值范闈是0,-

e

1\

④方程尸（X）-。+—〃x）+l=0的不同實根的個數(shù)只能是1，2,3,6

Ia）

四個結(jié)論中，正確的結(jié)論個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【詳解】解：對于①：作出的圖像如下：

若方程/（幻二。有四個不同的實根/，%""則Ovavl，不妨設(shè)西<七〈七，

則巧，々是方程4=0的兩個不等的實數(shù)根，與，七是方程|lnx|=。的兩個不

等的實數(shù)根，

所以不（2=。，-lnx3=lnx4,所以lnx4+lnx,=0，所以號與T，

所以內(nèi)與天匕=a€（0,1）,故①正確；

對于②：由上可知，尤|+4=-2,-lnx3=lnx4=at且0<a<l,

所以用工4二1，

所以凡eg1）七€（l,e）,

月?以M+~='+匕￡（2,e+」），

x4e

所以％+x,+,q+冗t（O,。"*---2）,故②錯誤；

e

對于③：方程/（幻=，氏的實數(shù)根的個數(shù)，即為函數(shù)丁二八力與）=辦的交點個數(shù)，

因為丁="恒過坐標(biāo)原點，當(dāng)。二（）時，有3個交點，當(dāng)4<0時最多2個交點，所以。>0,

當(dāng)y=ar與），=Inx（x>1）用切時，設(shè)切點為（如Inx0）,

,1,1Inx11

即），'=一，所以）f口氣二:=-3n,解得加=e,所以丁1氣=上，所以。=一,

所以當(dāng)）="與），=lnx（x>l）相切時，即。=，時，此時有4個交點，

e

若/（?=av有4個實數(shù)根，即有4個交點，

當(dāng)。時由圖可知只有3個交點，當(dāng)()＜。＜!時，

ee

令g(x)=lnx-or,xe(l,+oo),則/(力二，一。=^—,則當(dāng)1vx時g(E)＞0,

xxa

即g(犬)單調(diào)遞增，當(dāng)X〉/時/(“＜0,即g(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x時，，函數(shù)取得極大值即最大值，g(工)心、=g(5)=-hia-l＞0,

又8(1)=-“＜。及對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長趨勢可知，當(dāng)x無限大時g(x)〈O,即g(x)

(1A1)

在1,-和一,+8內(nèi)各有一個零點，即/(x)=at有5個實數(shù)根，故③錯誤;

對于④：/2W-(r/+-)/(x)+l=(),

a

所以"(x)-翅/(1)一3=0，

a

所以/(x)=?；?*)="!?,

a

由圖可知，當(dāng)勿＞1時，/'(x)=小的交點個數(shù)為2,

當(dāng)m=1,0時，/(x)=w的交點個數(shù)為3,

當(dāng)0＜切＜1時，fW=mR勺交點個數(shù)為4,

當(dāng)mvO時，/0)=m的交點個數(shù)為1,

所以若々＞1時.則!*(0,1),交點的個數(shù)為2+4=6個，

a

若a=l時，則，=1,交點的個數(shù)為3個，

a

若0＜a＜l,則2＞1,交點有4+2=6個，

a

若〃vO且。工―1時，則，＜0且aw',交點有1+1=2個，

aa

若。=-1=，交點有1個，

綜上所述，交點可能有1,2,3,6個，即方程不同實數(shù)根1,2,3,6,故④正確;

故選：B.

二、填空題

10.已知復(fù)數(shù)z=￡二匚，則2=

1+Z

(一)2-2/_-2i(1

【詳解】解：復(fù)數(shù)z

1+i1+i(1+Z)(1-/)

-2/(1-0

故答案為：-1-/.

ii.^-4）展開式中的常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）

7/'7-7,

【詳解】乙=孰（61=（-2）'C/丁，

故展開式中的常數(shù)項為（=（一2）G=T4.

故答案為：-14.

12.已知各項都為正的等差數(shù)列｛d｝中，若〃2+。3+火=15,山+2,4+4,%+16成等比數(shù)

歹I],則00=.

【詳解】設(shè)公差為d（漆0）,因為及+%+&=34=15,所以薊=句+2d=5,所以句=5-2d

又（的+2）（%+16）=（a+4>,所以（國+2）（a1+5d+⑹=（7—2而（3d+21）=8L整理得

2/+74-22=0,解得仁2或仁一口（舍）.所以團(tuán)=1,故如=1+9義2=19.故答案為：

13.甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球

除顏色外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲箱中隨機取出?球放入乙箱，分別以A，&和A|表

示由甲箱中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以8表示由乙

箱中取出的球是紅球的事件，則P（8）=.

【詳解】根據(jù)題意，A事件發(fā)生且8事件發(fā)生的概率為

21122

144

4事件發(fā)生且8事件發(fā)生的概率為《＞＜打二萬；

346

事件發(fā)生且4事件發(fā)生的概率為正、行二京；

1V-/11JJ

故「（3）=』+2+9=2.

v722555522

故答案為：弓9.

22

14.若正數(shù)“，〃滿足2+?=1,則/一十型的最小值為

aba-\b-\

【詳解】解：因為正數(shù)。，人滿足，+:=1,

ab

.1?1b-\,1a

則rll有z一=]一7=-；-，即ljr----=—，

abbb-\b

1,1a-lIUI1b

baaa-\a

當(dāng)且僅當(dāng)竺二學(xué)即b=2。，又J=

abab

3

即。=一,〃=3時取得最小值，且最小值為16.

2

故答案為：16.

15.如圖，在梯形48a＞中，AB//CDH.ZX?=2AB=2BC,E為BC的中點，4c與OE

交于點0.若］2CB-CD=5OA-OD'則NBCD的余改值為

【詳解】取。。中點G,連接AG,BG,且8GAC=F,連接￡尸，

-CD=2AB,G為CO中點，;.AB=CG,又ABHCG,

f1T

二?四邊形A8CG為平行四邊形，.?.尸為AC中點，即用二一C4,

2

又E為BC中點、，：.EF/CG且EF=LcG,;.EF=、CD,

24

OFEF即d=-!-&,

OF=-OC=-CF=—CA,

OCCD4451010

TTT3—>

.\OA=OF+FA=-CA,

5

OEEF14->4-

又——=——=一，:.OD=4OE=-DE,即OD=-EO,

ODCD45

—>3—T>4T12—>—>—>—>1—>

OA-OD=-CA--ED=—CB+BA-ICD-CE—ICB+-CDI-CD--CB

552512522

12(13—>.619TT6

=-------CD2+-CBCD——CB2=——CDl——CBCD——CB2,

251242252525

不妨設(shè)CB=1,CD=2,

—>—>—>—>->->249Tt651T—18

由得：T2CBCD=-JCBCD—2,即土C8CO=，

\2CBCD=5OAOD55555

TTI863

:,CBCD=2cosZBCD,cos/.BCD=—.

511717

3

故答案為：—

17

三、解答題

16.在^,ABC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,且

,c

(2e7+c)cos(A4-C)4-Z?=2/?cos2—.

(2)如圖，若。為"BC外一點，且N4C0=-y,AI31AD,AB=1,AD=+,

1乙

求sinN8QC.并求BC.

【小問l詳解】

cr（c\

解：S（26z+c）cos（A+C）+/?=2Z?cos2—,得（2a+c）cos（兀-8）=b2cos2-----1,

2I2,

即一（2^+c）cosB=0cosC,

由正弦定理得一（2sinA+sinC）cosB=sinBcosC,

整理得-2sinAcosB=sinCeosB+sinBcosC，

A-2sin/4cosB=sin（B+C）=sin/4,又人￡（0,兀），.'sinA〉。，，cos6=—;;

又3?0,兀），???B二手

【小問2詳解】

解：

連接30，因為AOSAB,AB=1,AD=6

所以8￡）=辦夕+心=/+（4=2,tanZABD=-^=73,

兀兀

所以〃6。=一，所以/C6E>=/八6。一/八6。二一.

33

7兀71

又NBCD=——，所以N8OC=兀-N3CO—NC8O=—,

1212

.兀nn.nV6-V2

所以sinZ.BDC=sin—=sin=sin—cos——cos—sin—=

123434

2BC

BDBC

在△3CO中，由正弦定理可得即.7兀.兀

sin/BCDsinZBDC

G.兀元gTtIt

2sin-cos——2cos—sin

------——4----------3——4=4-273.

.兀兀兀.兀

sin—cos—+cos—sin

3434

17.如圖，在四棱錐P—ABC。中，PAJ_底面

4力=DC=4P=2,48=1,點七為棱PC的中點.

(1)證明：BE上DC；

(2)求直線班:與平面所成角的正弦值；

(3)若F為梭PC上一點,滿足8月上AC,求二面角打一44一。的余弦值.

【詳解】依題意，以點E為原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得8(1,0,0),C(2,2,0),

0(0,2,0),P(0,0,2),由點￡為棱PC的中點，得石(1,1,1).

(1)向量8E=(O,l,l),DC=(2,0,0),故BEDC=b.：.BE上CD.

(2)向量8。=(一1,2,0),尸8=(1,0,-2),設(shè)“=(x,)、,z)為平面尸血)的法向量，則

nBD=b[-x+2y=0

八，即VCA，

n-PB=()[x-2z=0

不妨令z=1，可得〃=(2,1,1)為平面PBD的一個法向量.

工門心/DF\?BE2百

于是有cos〈〃,RE)=-----------=—j=——產(chǎn)=——，

\n\x\BE\V6x>/23

/7

???直線BE與平面PBD所成角的正弦值為組.

3

(3)CP=(-2,-2,2),4C=(2,2,0),AB=(1,0,0),,

由點尸在棱PC上，故BF=BC+CF=BC+1CP=(1-21,2-21,21),

由8尸工AC,得2(1—21)+2(2-2/)=0,解得/=:,即BE=(-J_3

2'2'2>

x=0

n}-AB=0

即《

設(shè)n｝=（x,y,z）為平面ABF的法向量，則，113八，不妨

明?BF—0——x+—y+—z=0

222

令z=l，可得“=（0,-3,1）為平面43尸的一個法向量.取平面的法向量

3麗

叼=（。」,。），則8s/m--，-叱-\麗〃]=?/五二-3一

1(),

易知，二面角是銳角，，其余弦值為上叵.

10

18.已知等差數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，S”為數(shù)列｛（｝的前〃項和，64=99,九=100.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）若數(shù)列｛〃｝滿足々=含,求低｝的前〃項和人

【小問I詳解】

設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,易知〃>0,因為S10=100,即5（4+4。）=5（%+g）=100,

即％+%=20，又6%=99,故％,名為方程f-20x+99=0的兩根，解得x=9或

x=ll,

又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，故可得6=9,/=11,即d=2,q+4d=9,解得q=l,

故氏=2〃-1.

【小問2詳解】

勿=拿？=（2"-l）x（；）,故Tn=b、+b?+…+b”

(1(1

+(2n-3)x-+(2/?-l)x-

WIJ

、2\n-\

作差可得|1=1+2fif⑴

3+l3I++l3一（2〃T）x-

1

1-

即『，2二

(2/?-l)x=2-(2/?+2

T

解得7；=3—(〃+l)x

19.記S”是公差不為。的等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項和，已知4+3%=S5,q%=S4,數(shù)列

｛么｝滿足d=3b“7+2'15N2),且4=q_1.

）求｛4｝的通項公式，并證明數(shù)列＜*+1，是等比數(shù)歹IJ;

4〃

（2）若數(shù)列｛%｝滿足C”=（T）'"，求｛g｝的前〃項和的最大值、最小值.

（?！ㄒ?）（?！?1T）

I113

（3）求證：對于任意正整數(shù)〃，-+—++一＜—

h4a2,

【小問1詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為4。工。），

5x4,

q+2d+3(q+3d)=5q+-----a

依+3『土可得.2a.=2a.=0

由《,解得《或4(舍

[44=S,4x3d=2”d=0

q(q+4d)=4q+----d

去）,

an=2+2(〃-1)=2〃.

又4=q-l=l,則*+1=|,

h23於】,

由b,=3%+2'1(〃之2),可得*=|?畀+；,-^+x1=-

2"

i33

二數(shù)列1寸+11是以;3為首項，;3為公比的等比數(shù)歹I」;

22

小問2詳解】

解：由（1）可得

4〃4〃

廠（-『=(-iy,-'-----------=㈠廣|

(〃”T)(-T)(2/z-1)(2/?+1)

(2n4-l)+(2/?-l)

=(_廣=(-打

(2〃-1)(2〃+1)2〃一12Z?4-1>

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