/山東省煙臺市萊州市2024-2025學(xué)年高二下冊第三次質(zhì)量檢測（3月）數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中不放回地抽件產(chǎn)品，抽到的正品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，抽到正品數(shù)服從超幾何分布，結(jié)合超幾何分布的期望公式，即可求解.【詳解】由題意，有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中不放回地抽件產(chǎn)品，則抽到正品數(shù)服從超幾何分布，所以抽到的正品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是.故選：B.2.已知，則的值是（）A.2 B.4 C.6 D.2或6【正確答案】D【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得到方程求解.【詳解】因為已知，由組合數(shù)的性質(zhì)得到或，解得或.故選：D.3.若從這個整數(shù)中取個不同的數(shù)，使其和為奇數(shù)，則不同的取法共有（）A.種 B.種C.種 D.種【正確答案】A【分析】將和為奇數(shù)分為兩類情況：個奇數(shù)，個偶數(shù)或個偶數(shù)，個奇數(shù)；利用組合數(shù)公式計算可得每種情況對應(yīng)的數(shù)量，由分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】中，共有個奇數(shù)，個偶數(shù)，若個不同的數(shù)之和為奇數(shù)，則有個奇數(shù)，個偶數(shù)或個偶數(shù)，個奇數(shù)；若個奇數(shù)，個偶數(shù)，則有種取法；若個偶數(shù)，個奇數(shù)，則有種取法；不同的取法共有：種.故選：A.4.的展開式中的系數(shù)是（）A.60 B.80 C.84 D.120【正確答案】D【分析】的展開式中的系數(shù)是，借助組合公式：，逐一計算即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)是因為且，所以，所以，以此類推，.故選：D.本題關(guān)鍵點(diǎn)在于使用組合公式：，以達(dá)到簡化運(yùn)算作用.5.從4種不同的顏色中選出一些顏色給如圖所示的3個格子涂色，每個格子涂一種顏色，記事件為“相鄰的2個格子顏色不同”，事件為“3個格子的顏色均不相同”，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出用4種顏色涂3個格子的試驗的所有樣本點(diǎn)個數(shù)，并求出事件A，B所含樣本點(diǎn)個數(shù)，再依據(jù)概率公式計算即得.【詳解】用4種顏色涂圖示中3個格子的試驗的所有樣本點(diǎn)有個，它們等可能，相鄰的2個格子顏色不同時，可先涂中間格子有4種方法，再涂兩邊的格子各有3種方法，由分步乘法計數(shù)原理得事件A所含樣本點(diǎn)有個，3個格子的顏色均不相同時，相當(dāng)于4種顏色占三個不同位置有種方法，即得事件B所含樣本點(diǎn)有個，于是得，，所以.故選：B6.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.24【正確答案】A【分析】利用二項式定理計算展開式中的系數(shù)即可.【詳解】原式，因展開式中沒有項，展開式中項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：A7.若為正奇數(shù)，則被9除所得的余數(shù)是()A.0 B.2 C.7 D.8【正確答案】C分析】根據(jù)二項式定理可得，利用二項展開即可求解.【詳解】原式，為正奇數(shù)，，則余數(shù)為7.故選:C.8.設(shè)是1，2，3，4，5的一個排列，若對一切恒成立，就稱該排列是“交替”的，則“交替”的排列的數(shù)目是（）A.16 B.25 C.32 D.41【正確答案】C【分析】由已知可知當(dāng)時，此時有或.由“交替”的排列的概念可得，當(dāng)時，或，分別求解即可得到當(dāng)時，或時，有8種方法.同理可求得當(dāng)，或，此時也有8種方法.然后得出時，或時“交替”的排列數(shù)目，相加即可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，，.（?。┊?dāng)時，，可推出，，，此時有或.①當(dāng)時，由已知可得或當(dāng)，時，此時必有，排列可以是或兩種；當(dāng)時，時，此時可選擇1，2，3中的任意排列，共中排列.綜上所述，共有8種方法；②同理可得當(dāng)，可得或，也有8種方法.綜上所述，當(dāng)時，“交替”的排列的數(shù)目是16；（ⅱ）當(dāng)時，，可推出，，，此時有或.①當(dāng)時，由已知可得或當(dāng)，時，此時必有，排列可以是或兩種；當(dāng)時，時，此時可選擇3，4，5中的任意排列，共中排列.綜上所述，共有8種方法；②同理可得當(dāng)，可得或，此時也有8種方法.綜上所述，當(dāng)時，“交替”的排列的數(shù)目是16.所以，“交替”的排列的數(shù)目是32.故選：C.二、多項選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項.符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.）9.已知正態(tài)分布的密度函數(shù)，，以下關(guān)于正態(tài)曲線的說法正確的是（）A.曲線與x軸之間的面積為1B.曲線在處達(dá)到峰值C.當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移D.當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“矮胖”【正確答案】ABC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)結(jié)合解析式依次判斷即可得出.【詳解】由正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式可知曲線與x軸之間的面積即為必然事件的概率，其值為1，故A正確；，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴曲線在處達(dá)到峰值，故B正確；其圖像關(guān)于直線對稱，且當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移，故C正確；當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“高瘦”，故D錯誤..故選：ABC.10.袋中有大小完全相同的2個黑球和3個白球，從中不放回地每次任取一個小球，直到取到白球后停止取球，則下列結(jié)論正確的是（）A.抽取次后停止取球的概率為B.停止取球時，取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為C.取球次數(shù)的期望為D.取球次數(shù)的方差為【正確答案】BD【分析】設(shè)取球次數(shù)為，可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，計算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可判斷出A選項的正誤，計算出取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為，可判斷出B選項的正誤，利用數(shù)學(xué)期望公式和方差公式計算出隨機(jī)變量的期望和方差，可判斷C、D選項的正誤，綜合可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)取球次數(shù)為，可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，則，，.對于A選項，抽取次后停止取球的概率為，A選項錯誤；對于B選項，停止取球時，取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為，B選項正確；對于C選項，取球次數(shù)的期望為，C選項錯誤；對于D選項，取球次數(shù)的方差為，D選項正確.故選：BD.11.某中學(xué)積極響應(yīng)國家“雙減”政策，大力創(chuàng)新體育課堂，其中在課外活動課上有一項“投實心球”游戲，其規(guī)則是：將某空地劃分成①②③④四塊不重疊的區(qū)域，學(xué)生將實心球投進(jìn)區(qū)域①或者②一次，或者投進(jìn)區(qū)域③兩次，或者投進(jìn)區(qū)域④三次，即認(rèn)為游戲勝利，否則游戲失?。阎埻瑢W(xué)每次都能將實心球投進(jìn)這塊空地，他投進(jìn)區(qū)域①與②的概率均為p（0＜p＜1），投進(jìn)區(qū)域③的概率是投進(jìn)區(qū)域①的概率的4倍，每次投實心球的結(jié)果相互獨(dú)立．記小張同學(xué)第二次投完實心球后恰好勝利的概率為P1，第四次投完實心球后恰好勝利的概率為P2，則（）A.B.C.D.若，則p的取值范圍為【正確答案】AC【分析】對四個選項一一判斷：對于A：利用概率的范圍直接判斷；對于B：利用概率的乘法直接求解；對于C：根據(jù)游戲規(guī)則利用概率乘法直接求解；對于D：分別表示出，列不等式求出p的取值范圍.【詳解】對于A：小張同學(xué)投進(jìn)區(qū)域③的概率為4p，投進(jìn)區(qū)域④的概率為1－6p，故，正確；對于B：小張同學(xué)第二次投完實心球后，恰好游戲過關(guān)包含“第一次未投中區(qū)域①或者②，第二次投中區(qū)域①或者②”和“第一次與第二次均投中區(qū)域③”兩個事件，則概率，錯誤；對于C：第四次投完實心球后，恰好游戲勝利，則游戲勝利需前三次投完后有一次投進(jìn)區(qū)域③且有兩次投進(jìn)區(qū)域④，因此，正確；對于D：，令2p(12p－1)(18p－5)＞0，得或，又，所以，錯誤．故選：AC．第II卷三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.在的展開式中，含項的系數(shù)為______.【正確答案】15【分析】利用組合數(shù)計算項的系數(shù)即可.【詳解】由題意，項的系數(shù)為.故15.13.已知隨機(jī)變量，若，則______．【正確答案】【分析】由二項分布的均值和方差公式列方程求得，再由概率公式計算．【詳解】因為，所以，解得或（舍去），所以．故．14.在一個密閉的箱子中，一共有20個大小?質(zhì)量?體積等完全相同的20個小球，其中有n個黃球，其余全為藍(lán)球，從這一個密閉的箱子中一次性任取5個小球，將“恰好含有兩個黃球”的概率記為，則當(dāng)___________時，取得最大值.【正確答案】8【分析】由題意：，當(dāng)最大時取得最大值時，設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)，，所以最大，因此，當(dāng)時，取得最大值.【詳解】根據(jù)題意：，取得最大值，也即是取最大，所以，設(shè)，則當(dāng)時，，當(dāng)，，所以最大，因此，當(dāng)時，取得最大值.故8四、解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)：（1）排成前后兩排，前排3人，后排4人；（2）全體排成一排，男生互不相鄰；（3）全體排成一排，甲?乙兩人中間恰好有3人.【正確答案】（1）種；（2）種；（3）種.【分析】（1）直接全排列求解即可；（2）利用插空法求解即可；（3）首先排甲，乙有種方法，中間放入三人有種方法，再與其他人全排列即可.【詳解】（1）種方法.（2）先排女生有種，再將男生插空有種，故共有種方法.（3）將甲，乙及中間三人看作一個整體，先排甲，乙有種方法，再排中間三人有種方法，最后將他們看作一個整體與剩下的2人全排列，有種方法，故共有種方法.16.已知（1）若的二項展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，求展開式中的系數(shù)；（2）若，且，求.【正確答案】（1）594（2）【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可求出，然后可求的系數(shù)；（2）根據(jù)展開式系數(shù)特點(diǎn)判定系數(shù)正負(fù)去掉絕對值，然后給賦值就可求出和.【小問1詳解】由于的二項展開式中第7項的二項式系數(shù)為且最大，可得，則，所以當(dāng)時，故展開式中的系數(shù)為594；【小問2詳解】若，由可知當(dāng)為奇數(shù)時，即的奇次項系數(shù)為正，當(dāng)為偶數(shù)時，即的偶次項系數(shù)為負(fù)，所以，又，故.17.在袋子中裝有10個大小相同的小球，其中黑球有3個，白球有（，且）個，其余的球為紅球，從袋里任意取出2個球，這兩個球的顏色相同的概率是.（1）求紅球個數(shù)；（2）若取出1個白球記1分，取出1個黑球記2分，取出1個紅球記3分.用表示取出的2個球所得分?jǐn)?shù)的和，寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望.【正確答案】（1）3個（2）分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)兩個球的顏色相同的概率是列方程，求解即可；（2）根據(jù)求分布列的基本步驟以及期望公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)“從袋里任意取出2個球，球的顏色相同”為事件，則整理得：，解得（舍）或.所以，紅球個數(shù)為3個.【小問2詳解】的取值為，，，，，，，，.所以的分布列為23456.18.為弘揚(yáng)體育精神，營造校園體育氛圍，某校組織“青春杯”3V3籃球比賽，甲、乙兩隊進(jìn)入決賽．規(guī)定：先累計勝兩場者為冠軍，一場比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場比賽結(jié)束后，將不能參加后面場次的比賽．在規(guī)則允許的情況下，甲隊中球員都會參賽，他上場與不上場甲隊一場比賽獲勝的概率分別為和，且每場比賽中犯規(guī)4次以上的概率為．（1）求甲隊第二場比賽獲勝的概率；（2）用表示比賽結(jié)束時比賽場數(shù)，求的期望；（3）已知球員在第一場比賽中犯規(guī)4次以上，求甲隊比賽獲勝的概率．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）設(shè)“第i場甲隊獲勝”，“球員第i場上場比賽”，，2，3．根據(jù)對立事件的概率公式即可求解；（2）由題意知的可能取值為2，3，結(jié)合對立事件和獨(dú)立事件的概率公式和數(shù)學(xué)期望的計算公式即可求解；（3）根據(jù)對立事件、獨(dú)立事件的概率公式和條件概率公式計算即可求解.【小問1詳解】設(shè)“第i場甲隊獲勝”，“球員第i場上場比賽”，，2，3．由全概率公式．【小問2詳解】的可能取值為2，3．由題意知，由（1）知，則，，，，．【小問3詳解】，此時，．19.2020年10月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時代學(xué)校體育工作的意見》，各地各校積極開展中小學(xué)健康促進(jìn)行動，發(fā)揮以體育智、以體育心功能.某中學(xué)初三年級對全體男生進(jìn)行了立定跳遠(yuǎn)測試，計分規(guī)則如下表：立定跳遠(yuǎn)（厘米）得分3.544.555.56該年級組為了了解學(xué)生的體質(zhì)，隨機(jī)抽取了100名男生立定跳遠(yuǎn)的成績，得到如下頻率分布直方圖.（1）現(xiàn)從這100名男生中，任意抽取2人，求兩人得分之和不大于7.5分的概率（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）；（2）若該校初三年級所有男生的立定跳遠(yuǎn)成績服從正態(tài)分布.現(xiàn)在全年級所有初三男生中任取3人，記立定跳遠(yuǎn)成績在215厘米以上（含215厘米）的人數(shù)為5，求隨機(jī)變量5的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若本市25000名初三男生在某次測試中的立定跳遠(yuǎn)成績服從正態(tài)分布.考生甲得知他的實際成績?yōu)?23厘米，而考生乙告訴考生甲：“這次測試平均成績?yōu)?10厘米，218厘米以上共有570人”，請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助考生甲辨別考生乙信息的真?zhèn)?附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【正確答案】（1）；（2）分布列見解析，；（3）答案見解析.【分析】（1）由表中的數(shù)據(jù)可知，兩人得分之和不大于7.5分有兩種情況：兩人得分均為3.5分，或兩人中1人3.5分，1人4分，然后根據(jù)頻率分布直方圖可求出兩人得分之和不大于7.5分，得3.5分和得4分的人數(shù)，從而可求出概率；（2）由于服從正態(tài)分布，所以，從而可得，然后利用二項分布的概率公式可求出分布列；（3）