/山西省汾陽市2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ部分選擇題一、選擇題（共8小題，每題5分）1.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在（）時(shí)取得最小值．A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求出的最小值及其對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】因?yàn)?，則，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值.故選：B.2.曲線在點(diǎn)處的切線方程為A.B.C.D.【正確答案】B【分析】先對(duì)曲線求導(dǎo)，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程即可【詳解】由，，所以過點(diǎn)切線方程為答案選B本題考查在曲線上某一點(diǎn)切線方程的求法，相對(duì)比較簡單，一般解題步驟為：先求曲線導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，求出，最終表示出切線方程3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求出，可得出的值，利用導(dǎo)數(shù)的概念可求得所求極限的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，，所以，.故選：C.4.已知可導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，由圖可知，，所以，故A成立；由圖可知，，，但不確定與的大小關(guān)系，故B不一定成立；由圖可知，，故C成立；由圖可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且增長速度越來越快，所以，故D成立.故選：B.5.某班級(jí)要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為A.14 B.24 C.28 D.48【正確答案】A【詳解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男兩種情況，故不同的選派方案種數(shù)為．故選A.法二：從4男2女中選4人共有種選法，4名都是男生的選法有種，故至少有1名女生的選派方案種數(shù)為-=15-1=14．故選A6.已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)（）A.在區(qū)間上是減函數(shù) B.在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù) D.在區(qū)間上是減函數(shù)【正確答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求解．【詳解】因?yàn)?，由圖象知，時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)A、C和D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，故選：B．7.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是A.和 B.C. D.和【正確答案】C【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，先求出的值，然后求出函數(shù)以及的表達(dá)式，令解不等式即可得函數(shù)的增區(qū)間．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，則，所以，所以的定義域?yàn)?，則.令，則，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選C．本題主要考查通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8.若函數(shù)有極值點(diǎn)，，且則關(guān)于x的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】A【分析】求導(dǎo)數(shù)，由題意知，是方程的兩根，從而關(guān)于的方程有兩個(gè)根，作出草圖，由圖象可得答案.【詳解】，，是方程的兩根，由，得或，即的根為或的解．∵根據(jù)題意畫圖：，由圖象可知有2個(gè)解，有1個(gè)解，因此的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3.故選：A．本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念、以及對(duì)嵌套型函數(shù)的理解，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.二、多選題（共3小題，每題6分，多選不得分）9.對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.是奇函數(shù) B.在處取得極大值C.區(qū)間上單調(diào)遞增 D.函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)【正確答案】BCD【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷BC選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，故函?shù)不是奇函數(shù)，A錯(cuò)；對(duì)于BC選項(xiàng)，因?yàn)?，令，可得，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)在處取得極大值，在區(qū)間上單調(diào)遞增，BC都對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的極大值為，極小值為，因?yàn)?，，所以，，，，所以，函?shù)有個(gè)零點(diǎn)，且這三個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間分別為、、，D對(duì).故選：BCD.10.某學(xué)校高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的是（）A.從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有64種不同的選法B.從中選2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各1人，共有15種不同的選法C.將這8名學(xué)生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種D.8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊(duì)伍中，則共有336種排法.【正確答案】BCD【分析】選項(xiàng)A可以看做從8個(gè)人中取2個(gè)人的排列；選項(xiàng)B先從男生中選1個(gè)有種情況，再從女生中選1人有種情況，進(jìn)而可得；選項(xiàng)C先排3位女生有種情況，再把3位女生看成1個(gè)人與5個(gè)男生一起排列有種情況，進(jìn)而可得；選項(xiàng)D依次把3個(gè)女生插入隊(duì)伍中，共有種.【詳解】選項(xiàng)A：從8個(gè)人中選2人，1人做正組長，1人做副組長選法共有種，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：從8個(gè)人中選2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各1人選法共有種，故B正確；選項(xiàng)C：選排3位女生有種情況，再把3位女生看成1個(gè)人與5個(gè)男生一起排列有種情況，共有種情況，故C正確；選項(xiàng)D：8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，先排第一個(gè)女生可以排5個(gè)男生中間的4個(gè)空或2頭，有6種情況，再排第二個(gè)女生可以排到排好的6個(gè)人中間的5個(gè)空或2頭，有7種情況，最后排第三個(gè)女生可以排到排好的7個(gè)人中間的6個(gè)空或2頭，有8種情況，共有種情況，故D正確，故選：BCD11.關(guān)于函數(shù)，，下列說法不正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增 B.當(dāng)時(shí)，恒成立C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增 D.當(dāng)恒成立，則【正確答案】AB【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性可判斷AC選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，解不等式可判斷B選項(xiàng)；由恒成立求出的取值范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，解得，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由可得，解得，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的恒成立，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，，此時(shí)不等式不恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，可得，解得綜上所述，當(dāng)恒成立，，D正確.故選：AB.方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)不等式恒成立方法：（1）分離參數(shù)法：若不等式在區(qū)間上恒成立，可將參數(shù)與變量分離，轉(zhuǎn)化為或在區(qū)間上恒成立問題；（2）最值法；（3）數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的位置關(guān)系問題；（4）變更主元法：當(dāng)函數(shù)中含有多個(gè)變量時(shí)，可根據(jù)具體情況選擇一個(gè)變量作為主元，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于主元的函數(shù)恒成立問題；（5）構(gòu)造函數(shù)法.通過構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)來解決原函數(shù)的恒成立問題.第Ⅱ部分選擇題三、填空題（共3小題，每題5分，13題對(duì)一個(gè)2分，全對(duì)得5分）12.函數(shù)導(dǎo)數(shù)為.則______．【正確答案】【分析】利用乘法求導(dǎo)法則求導(dǎo)【詳解】故13.計(jì)算：（1）______________.（2）若，則值為______________.【正確答案】①.165②.7【分析】（1）由組合數(shù)性質(zhì),得到原式等于即165；（2），按照公式展開得到，可求得n值.【詳解】（1）由組合數(shù)性質(zhì)，得.（2）∵，∴，∴故答案為(1).165(2).7.本題考查組合數(shù)公式化簡求值，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意組合數(shù)公式的性質(zhì)的合理運(yùn)用．較為基礎(chǔ).14.已知函數(shù)存在極大值和極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】求導(dǎo)，由題意可得出，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋瑒t，因?yàn)楹瘮?shù)存在極大值和極小值，則二次函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，所以，，即，解得或，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是：和，單調(diào)減區(qū)間是：；（2）最小值為，最大值為.【分析】（1）求導(dǎo)由，，可求單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）結(jié)合單調(diào)性即可求解；【小問1詳解】由，可得：，，由f′x=2x?3x+1由，可得：；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：和，單調(diào)減區(qū)間是：；【小問2詳解】由（1）知：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性為：單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以最小值為，又，所以最大值為.所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.16.用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字：（1）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？【正確答案】（1）156個(gè)；（2）216個(gè).【分析】（1）偶數(shù)末位數(shù)字為當(dāng)中的一個(gè)，因?yàn)椴荒芊攀孜?，可分為兩大類，即末位為和或兩種，分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的數(shù)字個(gè)數(shù)，根據(jù)加法原理可得結(jié)果；（2）為的倍數(shù)的數(shù)字末位為或，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)字個(gè)數(shù)，根據(jù)加法原理可得結(jié)果.【詳解】(1)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)可分為兩大類：個(gè)位數(shù)字為，共有：個(gè)個(gè)位數(shù)字為或，共有：個(gè)由分類加法計(jì)數(shù)原理知無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)共有：個(gè)（2）符合題意的五位數(shù)可分兩大類：個(gè)位數(shù)字為，共有：個(gè)個(gè)位數(shù)字為，共有：個(gè)由分類加法計(jì)數(shù)原理知滿足題意的五位數(shù)共有：個(gè)本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理、排列組合知識(shí)的綜合應(yīng)用問題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略零不能排在首位的問題.17.已知曲線.（1）求在處的切線方程.（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）將題設(shè)等價(jià)轉(zhuǎn)化為曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系確定函數(shù)的圖象，即可數(shù)形結(jié)合求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，，即切點(diǎn)為，又，所以切線方程為，即；【小問2詳解】因?yàn)椋瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得極小值，又時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，所以的圖象如下所示：由圖可得實(shí)數(shù)的取值范圍為．18.設(shè)函數(shù)f（x）＝tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）．（Ⅰ）求f（x）的最小值h（t）；（Ⅱ）若h（t）＜﹣2t+m對(duì)t∈（0，2）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【正確答案】（Ⅰ）h（t）＝﹣t3+t﹣1；（Ⅱ）m＞1．【分析】（Ⅰ）由f（x）＝t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0），根據(jù)配方法即可求出最小值；（Ⅱ）令g（t）＝h（t）﹣（﹣2t+m）＝﹣t3+3t﹣1﹣m，對(duì)其求導(dǎo)后討論即可得出答案．【詳解】解：（Ⅰ）∵f（x）＝t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0），∴當(dāng)x＝﹣t時(shí)，f（x）取最小值f（﹣t）＝﹣t3+t﹣1，即h（t）＝﹣t3+t﹣1；（Ⅱ）令g（t）＝h（t）﹣（﹣2t+m）＝﹣t3+3t﹣1﹣m，由g′（t）＝﹣3t2+3＝0得t＝1，t＝﹣1（不合題意，舍去）當(dāng)t變化時(shí)g′（t）、g（t）的變化情況如下表：t（0，1）1（1，2）g′（t）+0﹣g（t）遞增極大值1﹣m遞減∴g（t）在（0，2）內(nèi)有最大值g（1）＝1﹣mh（t）＜﹣2t+m在（0，2）內(nèi)恒成立等價(jià)于g（t）＜0在（0，2）內(nèi)恒成立，即等價(jià)于1﹣m＜0所以m的取值范圍為m＞1．本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，難度一般，掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍，并證明．【正確答案】（1）當(dāng)時(shí)，在處取得的極大值；函數(shù)無極小值.（2）證明見解析【詳解】試題分析：（1）求出，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，令求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，從而可得函數(shù)的極值；（2）對(duì)進(jìn)行討論：，，，，針對(duì)以上四種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性討論函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)情況，排除不是兩個(gè)零點(diǎn)的情況，可得有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是，由（1）知在單調(diào)遞減，故只需證明即可，又，只需利用導(dǎo)數(shù)證明即