高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市青浦區(qū)2025屆高三下學期學業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6每題4分，第7-12每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結(jié)果.1.已知集合，則________.【答案】【解析】解集合A中的不等式，得，就是求既屬于A又屬于的元素，所以.故答案為：2.函數(shù)的值域是________.【答案】【解析】，其中，則其值域為故答案為：.3.的二項展開式中項的系數(shù)是20，則實數(shù)的值是___________.【答案】【解析】根據(jù)二項式展開式的通項公式則展開式中項為又，則該項為，已知項的系數(shù)是20，則，即，解得.故答案為：4.如圖是6株果樹植株掛果個數(shù)（兩位數(shù)）莖葉圖，則6株果數(shù)植株掛果個數(shù)的中位數(shù)為______.【答案】21.5【解析】將這6個數(shù)從小到大排列為16，18，21，22，22，31，因數(shù)據(jù)有偶數(shù)個，則中位數(shù)是中間兩個數(shù)的平均數(shù)，故中位數(shù)為.故答案為：21.5.5.向量在向量方向上的數(shù)量投影是_________.【答案】118【解析】因為，向量在向量方向上的數(shù)量投影公式為.故答案為：6.已知的角對應邊長分別為，則__________.【答案】【解析】根據(jù)余弦定理得，把代入可得，因為，所以.故答案為：.7.數(shù)列中，，，則______．【答案】【解析】，，即，是等比數(shù)列，公比為，∴．故答案為：2.8.已知隨機變量，若，則_______.【答案】0.4【解析】因為隨機變量，正態(tài)曲線關于對稱.，則，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性.故答案為：0.4.9.已知復數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則的最大值是_________.【答案】【解析】已知，則.因為，所以，表示復數(shù)所對應的點到所對應的點的距離，說明對應的點在以原點為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為圓心到點的距離加上半徑，即.故答案為：.10.已知點是拋物線上一動點，點在圓上運動，則與兩點間最短距離為________.【答案】【解析】設拋物線上的點坐標為，圓的圓心為，半徑.點到圓心的距離.令，則，對其求最小值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，當時，最小為.則與兩點間最短距離為.故答案為：.11.道路通行能力指單位時間（1小時）內(nèi)通過道路上指定斷面的最大車輛數(shù)，是度量道路疏導交通能力的指標.同時為了行駛安全，車輛之間必須保持一定的安全距離.為了研究某城市道路通行能力，現(xiàn)給出如下假設：假設1：車身長度均為4.8米；假設2：所有車輛以相同的速度（單位：千米／小時）勻速行駛；假設3：安全距離（單位：米）與車輛速度近似滿足.該城市道路通行能力的最大值約為_________.（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】821【解析】1小時秒，車輛速度（千米／小時）換算為米／秒是米／秒.1小時內(nèi)通過的車輛數(shù).根據(jù)基本不等式（），，當且僅當時等號成立.所以，即該城市道路通行能力的最大值約為821.故答案為：821.12.如圖，正方體繞直線旋轉(zhuǎn)，直線AB旋轉(zhuǎn)至直線，則直線AB與直線所成角的大小為_________.【答案】【解析】根據(jù)，可由題意將所求角轉(zhuǎn)化為將繞旋轉(zhuǎn)所得到的直線與所成的角，即可將其轉(zhuǎn)移到圓錐中求解，圖中直線與重合，圓錐母線為,如下圖：由旋轉(zhuǎn)可轉(zhuǎn)化到，在正方體中，假設正方體的邊長為，則可知所以，即在圓錐中有，，由可得，由等邊三角形，可得，在中，由余弦定理，從而可得旋轉(zhuǎn)后直線方向向量與直線AB方向向量夾角的余弦值為，所以直線AB與直線所成角的大小為.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13－14每題4分，第15－16每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.“函數(shù)y=sin(x＋φ)為偶函數(shù)”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】時，為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則；選B.考點：1三角函數(shù)的性質(zhì)；2充分必要條件．14.若正數(shù)均不為1，則下列不等式中與“”等價的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，由可得，故A錯誤；對于B，當時，函數(shù)在單調(diào)遞減，由可得，故B錯誤；對于C，因，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，由，也可得，故C正確；對于D，若取，顯然滿足正數(shù)均不為1，且，但，即與不等價，故D錯誤.故選：C.15.一個質(zhì)地均勻的正四面體，四個面上分別標有數(shù)字，，，.任意擲一次該四面體，觀察它與地面接觸面上的數(shù)字，得到樣本空間，記事件，事件，事件，則（）A.事件兩兩獨立，事件相互獨立B.事件兩兩獨立，事件不相互獨立C.事件不兩兩獨立，事件相互獨立D.事件不兩兩獨立，事件不相互獨立【答案】B【解析】由題知：，，，，，，.因為，，所以事件兩兩獨立；但，所以事件不相互獨立.故選：B.16.數(shù)學上用符號表示個實數(shù)的積.設，為互不相同的實數(shù)，已知，則（）.A. B.2025 C. D.2026【答案】A【解析】定義多項式，當時，，即每個都是方程的根，多項式有200個根，因此可分解為，由于的最高次項系數(shù)為1，比較兩邊最高次項系數(shù)可得，故，當時，左邊，當時，，因此，代入得左邊值為，右邊此時為，聯(lián)立左右兩邊得故選：A三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙相應位置寫出必要的步驟.17.對于函數(shù)，其中.（1）若函數(shù)的圖像過點，求的解集；（2）求證：當時，存使得成等差數(shù)列.（1）解：已知函數(shù)的圖像過點，所以，即，因為，所以，則.函數(shù)的定義域為，且在定義域上單調(diào)遞增.由可得，解得，所以不等式的解集為.（2）證明：當時，，.若成等差數(shù)列，則，即.所以，即，即，則，移項可得.對于一元二次方程，，所以方程有實數(shù)解，即存在使得成等差數(shù)列.18.如圖，已知四棱錐的底面為菱形，.（1）求證：平面BDS；（2）若，求四棱錐的體積.（1）證明：設AC與BD相交于點，因為底面ABCD為菱形，所以，且為中點.又因為，所以平面BDS，所以平面BDS.（2）解：因為底面ABCD是菱形，，所以是等邊三角形，則.在中，，滿足，根據(jù)勾股定理逆定理可知，即.由（1）知平面BDS，所以，.在中，，則.19.如圖，橢圓與雙曲線在第一象限的公共點為.曲線由兩段曲線組成：當時，曲線與橢圓重合，當時，曲線與雙曲線重合.（1）當時，求的值；（2）已知，直線過點與曲線交于兩點，若，求直線的方程；（3）已知，斜率為的直線過點與曲線交于兩點，若，求實數(shù)的最大值.解：（1）如圖，已知當時，點為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點.將代入橢圓方程得，即，解得.把代入雙曲線方程，整理得，設，則，即，解得或（舍去），所以，即.（2）當時，橢圓，雙曲線.聯(lián)立，解方程組求交點的坐標.由得，由得，兩式相減消去得，代入雙曲線方程得，因為點在第一象限，所以.設.，由得，即.故，當直線l斜率不存在時，直線l方程為，此時，則，成立.當直線斜率存在時，由題知交點必定在直線兩側(cè)，即左側(cè)為與橢圓的交點，右側(cè)為直與雙曲線的交點，易知當交點在位于第一象限橢圓上曲線段之間時，，此時，故不可能，舍去；因為雙曲線的漸近線方程為,故直線與雙曲線沒有橫坐標大于2的交點，即當交點位于橢圓第二象限時，不可能，舍去；同理：當直線與橢圓交于軸下方時，也舍去，綜上：直線l方程為，（3）如圖,已知，由（1）知橢圓，雙曲線.直線過點且斜率為，則直線的方程為.設，由，根據(jù)三角形面積公式，則，即.，因為雙曲線的漸近線方程為，而，故直線與雙曲線右支無交點，故均為直線與橢圓的交點，聯(lián)立，則，則，，令，則，在時成立，故單調(diào)遞增且，所以遞減，所以當時取得最大值，又所以的最大值為.20.函數(shù)的導函數(shù)有很多有趣的性質(zhì)，例如：函數(shù)（實數(shù)c為常數(shù)）的導函數(shù)為；反之，若函數(shù)的導函數(shù)為，則（實數(shù)為常數(shù)）.已知函數(shù)與定義域都是，導函數(shù)分別為和.若，則稱是“自導函數(shù)”；落且，則稱與是“共軛互導函數(shù)”.（1）請判斷函數(shù)是否是“自導函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)是“自導函數(shù)”，且滿足，求證：；（3）若函數(shù)與是“共軛互導函數(shù)”，滿足，求證：.進而證明且.解：（1）對求導，根據(jù)復合函數(shù)求導公式，令，則.若是“自導函數(shù)”，則，即，因為，所以.故當時，是“自導函數(shù)”；當時，不是“自導函數(shù)”.（2）因為函數(shù)是“自導函數(shù)”，所以，同時，記，求導得，由題干條件可知（實數(shù)為常數(shù)），又，所以，故，于是.（3）設，由復合函數(shù)求導公式可得，因為函數(shù)與是“共軛互導函數(shù)”，