高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市仁壽縣四校2023-2024學年高二下學期6月期末聯(lián)考數學試題第Ⅰ卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知雙曲線，雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線，可得，，所以雙曲線的離心率為：.故選：D.2.已知向量a→=(1，1，k)，b→=(-1A. B. C. D.【答案】D【解析】根據題意，易得a→-2b→=(1，?1，?k)-2(-解得.故選：D3.下列求導數計算錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A．，正確，不符合題意；B．，錯誤，符合題意；C．，正確，不符合題意；D．，正確，不符合題意．故選：B．4.已知函數，則（）A. B.1 C.4 D.2【答案】C【解析】由，可得，則.故選：C.5.記為等差數列的前項和，若，則數列的通項公式（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設等差數列的公差為，則，解得：，.故選：B.6.古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據上題的已知條件，可求得該女子第2天所織布的尺數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，該女子每天所織布的長度構成等比數列，設公比為，由題意知，首項為，前項和為，由題意可得，解得，所以第二天織的布為.故選：C.7.直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點，則AM與平面所成角的正弦值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則，所以，平面的一個法向量為設AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為．故選：B．8.已知，分別為橢圓的左、右焦點，點M為線段的中點（O為坐標原點），點P在橢圓上且滿足軸，點M到直線的距離為，則橢圓的離心率為（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】∵軸，∴將代入橢圓可得，∴不妨設，∴直線的斜率為，則直線的方程為，即，則到直線的距離為，整理得，所以，解得或，即或，則橢圓的離心率為或故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若A，B，C，D為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋；B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝；C中，＋＋＝＋；D中，－＋－＝＋＋＋.故選：BD.10.在曲線上的切線的傾斜角為點的橫坐標可能為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】切線的斜率，設切點為，則，又，所以，所以，，當時，，故AD正確故選：AD11.已知直線，圓，點，則下列說法正確的是（）A.點在直線上 B.點在圓上C.直線與圓相離 D.直線與圓相切【答案】ABD【解析】將點代入直線l的方程，滿足，所以點M在圓C上，A選項正確；將點代入圓C的方程，滿足，所以點M在圓C上，B選項正確；圓心到直線的距離直線與圓相切，C選項錯誤，D選項正確；故選：ABD.12.已知為雙曲線上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，，記線段，的長分別為，，則（）A.若，的斜率分別為，，則B.C.的最小值為D.的最小值為【答案】AD【解析】如圖所示，設，，則．由題設條件知：雙曲線的兩漸近線：，．設直線，的斜率分別為，，則，，所以，故選項正確；由點線距離公式知：，，，故B錯誤；，所以C錯誤；由四邊形中，所以，，當且僅當時等號成立，所以D正確，故選：AD．第Ⅱ卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知盒中有3張分別標有1，2，3的卡片，從中隨機地抽取一張，記下數字后再放回，再隨機地抽取一張，記下數字，則兩次抽得的數字之和為3的倍數的概率為___________．【答案】【解析】抽取的所有能有共九種,其中的數字之和都是的倍數,所以兩次抽得的數字之和為的倍數的概率為,故應填答案.14.設函數f(x)的導函數為，若則=___________.【答案】【解析】∵，∴∴，解得．故答案為：.15.若直線：與：平行，則的值為_____．【答案】-7【解析】因為,所以有，解之得,m=-1或m=-7.當m=-1時，直線重合,舍去.16.已知直線是拋物線的準線，拋物線的頂點為，焦點為，若為上一點，與的對稱軸交于點，在中，，則的值為__________．【答案】【解析】因為拋物線的準線，焦點為，準線與的對稱軸交于點，所以，，因為在中，，所以由正弦定理可得，,因為為拋物線上一點，所以可設為由此可得，平方化簡可得：，即，可得,.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）直線為曲線的切線，且經過原點，求直線的方程及切點坐標．解：（1）由，得，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）設切點為，由（1）得，所以切線方程為，因為切線經過原點，所以，所以，．則，所以所求的切線方程為，切點為．18.在中，已知點，的內角平分線BD所在的直線方程是，邊上的中線所在的直線方程是，求：（1）點的坐標；（2）邊所在直線的方程．解：（1）設點，依題意可知：點在直線方程上，且線段的中點在中線所在的直線方程上，又點，則有：，解得：，所點的坐標為：.（2）設點關于直線的對稱點為，則的中點坐標為，，于是，解得：，則，由（1）知，所以，所以邊所在直線的方程為：，即.19.已知圓的圓心在直線上，且過和兩點.（1）求圓的標準方程；（2）過點的直線與圓交于兩點，求弦中點的軌跡方程.解：（1）設圓心，則，即，解得：，，又圓心，圓的標準方程為；（2）為弦中點，，即，設，則，，，即點的軌跡方程為：.20.如圖，在正四棱柱中，，，點在棱上，且平面．（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值．解：（1）如圖，以點為原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，設，則點，，，．則，．因為平面，所以，所以，解得或．當時，，，；當時，，，．（2）因為，由（1）知，．平面的一個法向量為．設平面的法向量為，因，，所以令，則．所以，由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．21.設為數列的前n項和，已知．（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和．解：（1）因為，當時，，即；當時，，即，當時，，所以，化簡得：，當時，，即，當時都滿足上式，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，，即，．22.已知為橢圓上一點，點與橢圓的兩個焦點構成的三角形面積為．（1）求橢圓的標準方程；（2）不經過點的直線與橢圓相交于兩點，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點，并求出這個