2020-2021學年上海市嘉定一中高一（下）期中數(shù)學試卷一、填空題1．已知角的終邊與角β的終邊相同，則，β的關系是＝2．如果cos＝，且是第四象限的角，那么．＝．3．已知||＝3，||＝4，若在方向上的數(shù)量投影是2，則與的夾角的余弦值是．4x（πx+2k的取值是．5．已知角α的終邊與單位圓交點的坐標是．將α的終邊繞坐標原點逆時針轉動°得到角，則角β的終邊與單位圓交點的坐標是．6．若方程sin（x+2021π7．如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在t秒時相對于平衡位置（即靜止時的位置）的h厘米滿足下列關系：h2sin+∈[0有解，則實數(shù)a的取值范圍是．8（0xxcosx0的解集是．9．若向量，，在單位正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則＝．第1頁（共16頁）10．在銳角三角形中，角，BC分別對應邊a，b，c，若A＝2B，則的取值范圍是．（a（cab，cabc的取值范圍是．（sinωω＞0將（x（xxmx（m）hx）≤hm+1）成立，則ω的最小值為二、選擇題a1Pa1，a+1）是角的終邊上一點，則下列各式恒為負值的是（個單位得到函數(shù)x）．2α）AsinααBtan+sinαCcostanαDsinαtanα．設函數(shù)ycos（sinA．它的定義域是[﹣11]．它的值域是[﹣cos1cos1]．給出下列命題：）B．它是偶函數(shù)D．它不是周期函數(shù)ycos（+存在實數(shù)，使得sin+cos＝若β是第一象限角且＜βtan＜tanβ；x＝是函數(shù)ysin（2x+）的一條對稱軸方程；函數(shù)y＝sin2x+于點（，0）成中心對稱圖形．）是奇函數(shù)；；）的圖象關其中正確的個數(shù)是（）A1B2C3D4．已知B是任意一個銳角三角形的兩個內角，下面式子一定成立的是（）AlogB1Blogcos＞1第2頁（共16頁）．B1三、解答題D．110cm的輪子上有一長為6cmP4弧度秒的速度旋轉，求點Ps所轉過的弧長．2）在△中，已知tanA＝，tan＝且最長邊為1，求△的面積．18．已知單位向量夾角為β．與的夾角為α，且，向量與的1，；2β的值．．埃及塞得港是蘇伊士運河北段的港口，其水深度（米）時間（0≤，單位：時）的函數(shù)，記作y＝（（時）（米）369121518212412.015.018.114.912.015.018.015.0經長期觀察，y＝ty＝sin（x+（其中＞0＞0，[ππ）的圖象．1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)yft）的近似表達式；23米或33月29日21其最大吃水深度（船舶吃水一般指船舶浸在水里的深度，是船舶的底部至船體與水面相1220．已知函數(shù)f（x）＝x，g（x）＝cosx）的圖象分別交于MN兩點．，直線x＝t（∈Rf（xg第3頁（共16頁）1時，求|MN的值；時的最大值．2）求MN在．已知函數(shù)x）＝5cosθsinx5sinx﹣θ（4tanθ3sinx﹣θ是偶函數(shù)．1tan的值：2x）的最小值是﹣6，3gx）的單調減區(qū)間；a＞＞0＝（x取得最小值，且是其圖象的一個對稱中心，求+ω的最小值．第4頁（共16頁）2020-2021學年上海市嘉定一中高一（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題1．已知角的終邊與角β的終邊相同，則，β的關系是＝k+，∈Z【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義，直接寫出β的關系即可．．【解答】解：根據(jù)終邊相同的角的定義知，與的關系是＝2π+，k；故答案為：＝kπβ，∈．【點評】本題考查了終邊相同的角的定義與應用問題，是基礎題．2．如果cos＝，且是第四象限的角，那么＝．【分析】利用誘導公式化簡sin的值即可．【解答】解：已知cos＝，且是第四象限的角，；故答案為：．【點評】本題考查象限角、軸線角，同角三角函數(shù)基本關系的運用，運用誘導公式化簡求值，考查計算能力，是基礎題．3|＝||＝在方向上的數(shù)量投影是2與的夾角的余弦值是．【分析】設向量、夾角為θ，利用夾角為θ．方向上的數(shù)量投影是2，∴3cos＝2，∴θ＝．在方向上的數(shù)量投影是2可解決此題．【解答】解：設向量、||3||4，在故答案為：．【點評】本題考查向量數(shù)量投影的概念，考查數(shù)學運算能力，屬于基礎題．4．已知函數(shù)（x）＝2coskπx+）的最小正周期不小于2，則正整數(shù)k的取值是【分析】由題意利用余弦函數(shù)的周期性，求得正整數(shù)k的取值．1．【解答】解：∵函數(shù)的最小正周期不小于2，∴≥2，∴k第5頁（共16頁）1，則正整數(shù)k的取值為1，故答案為：1．【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的周期性，屬于基礎題．5．已知角α的終邊與單位圓交點的坐標是．將α的終邊繞坐標原點逆時針轉動°得到角，則角β的終邊與單位圓交點的坐標是，）．【分析】直接利用單位圓和三角函數(shù)關系式的變換的應用求出結果．【解答】解：角的終邊與單位園的交點坐標為cossin＝，，所以β＝cos（+30°）＝coscos30°﹣sinsin30°＝﹣﹣＝×＝﹣，sin＝sinα°）＝sincos30°+cossin30則角×．，，【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的變換，角的恒等變換，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型．6．若方程sin（x+2021π有解，則實數(shù)a的取值范圍是[12]．【分析】由三角函數(shù)的性質結合題意可得，由此可得a的取值范圍．解：由于﹣1（x+2021π1（x+2021π，又，于是，1a≤．故答案為：[12]．【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的關系，考查三角函數(shù)的圖象及性質，考查運算求解能力，屬于基礎題．7．如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在t秒時相對于平衡位置（即靜止時的位置）的第6頁（共16頁）h厘米滿足下列關系：h2sin+∈[0【分析】由頻率的意義即可求解．【解答】解：由題意可得震動的周期T＝2π，所以可得頻率為故答案為：＝，即每秒鐘小球能往復振動．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象，及其各參數(shù)的物理意義，屬于基礎題．8（0xxcosx0的解集是（，1）∪（，3）．x0x大于0小于1x0x大于1小于3cosx大于0時，x大于0小于cosx小于0時，x大于小于3，則把所求的式子化為f（x）與x異號，即可求出不等式的解【解答】解：由函數(shù)圖象可知：當（x）＜0時，0x＜fx）＞0時，＜x3；而cosxx（03x＞0時，x（0，cosx0時，x（，則xcosx0或即或，解得：＜x3或0x＜，第7頁（共16頁）0，）∪（01）∪（3，【點評】此題屬于以余弦函數(shù)與已知函數(shù)的圖象及單調性為平臺，考查了其他不等式的解法，是一道綜合題．9．若向量，，在單位正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則＝2．【分析】根據(jù)圖形寫出向量，，的坐標可解決此題．131123∴＝4+62．故答案為：2．【點評】本題考查平面向量加減及內積坐標運算，考查數(shù)學運算能力，屬于基礎題．10．在銳角三角形中，角，BC分別對應邊a，b，c，若A＝2B，則的取值范圍是．【分析】由已知先求出B【解答】解：銳角三角形中，＝2，＝﹣B，，解得，由正弦定理得2cosB∈（，，【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦函數(shù)性質的簡單應用，屬于基礎題．（a（c第8頁（共16頁）ab，cabc的取值范圍是[3，2023）．【分析】a）（b）＝c）＝0與fa）＝（）＝（c）＝∈0，）兩類討論，可得答案．【解答】解：∵，f（a）＝f（b）＝f（cab，c互不相等，不妨令ab＜若fa）＝（b）＝c）＝0a0b＝，c2+bc3；若fa）＝（b）＝c）＝t0，由圖可知，ab1，＞2＜logc﹣）＜1?1c1＜20212＜＜2022；3abc＜2023；綜上所述，abc的取值范圍是[32023故答案為：[32023【點評】本題考查分段函數(shù)的應用，考查數(shù)形結合思想與分類討論思想的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．（sinωω＞0將（x（xxmx（m）hx）≤hm+1）成立，則ω的最小值為個單位得到函數(shù)x）π．【分析】利用y＝sin（xφ）的圖象變換規(guī)律求得f（x）的解析式，再利用三角函數(shù)的周期性，求得ω的最小值．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0fx）的圖象向左平移個單位得到函第9頁（共16頁）數(shù)gx）＝sinωx+ωx的圖象，）令hx）＝（xg（）＝sinωx+cosωx＝sin（x+如果存在實數(shù)m，使得對任意的實數(shù)x，都有hm）≤hx）≤hm+1）成立，∴?≤1，∴≥π，則的最小值為π，故答案為：π．【點評】本題主要考查y＝sin（ωxφ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的周期性，屬于基礎題．二、選擇題a1Pa1，a+1）是角的終邊上一點，則下列各式恒為負值的是（AsinααBtan+sinαCcostanαDsinαtanα2α）【分析】由已知可得a10，+10，進而利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：因為a＜，則a10，+10，sinα＝＞0cosα＝＜α＝0，tan+sin＜．故選：B．【點評】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義的應用，屬于基礎題．．設函數(shù)ycos（sinA．它的定義域是[﹣11]）B．它是偶函數(shù)．它的值域是[﹣cos1cos1]D．它不是周期函數(shù)【分析】由題意利用余弦函數(shù)的性質，得出結論．【解答】解：對于函數(shù)y＝（）＝cos（sinx∈R，∴定義域為RA錯誤；由于（﹣x）＝cos[sin（﹣x]cos（﹣sinx）＝（sinx）＝fx故B正確．由于﹣1sin≤1，故函數(shù)的值域為[cos1，1]C錯誤；由于f（xπ）＝cos[sin（x+π）]＝cos（﹣sinx）＝cos（sinx）＝f（xf（x）是周期第10頁（共16頁）函數(shù)，故D錯誤，故選：B．【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的性質，屬于中檔題．．給出下列命題：ycos（+存在實數(shù)，使得sin+cos＝若β是第一象限角且＜βtan＜tanβ；x＝是函數(shù)ysin（2x+）的一條對稱軸方程；函數(shù)y＝sin2x+于點（，0）成中心對稱圖形．）是奇函數(shù)；；）的圖象關其中正確的個數(shù)是（）A1B2C3D4【分析】通過誘導公式化簡可判斷①sin+cos可判斷②③；通過正弦函數(shù)圖象對稱性可判斷．【解答】解：＝cos（x+）＝﹣sin（x）為奇函數(shù)，∴正確；sin+cos＝sinα+，＞，∴②＝°，β390°，αtanβ，∴當x＝y(tǒng)＝（2×）＝﹣1＝+時，＝sin2×+1≠，∴④故選：A．【點評】本題考查三角運算、誘導公式、三角函數(shù)圖象性質，考查數(shù)學運算能力，屬于中檔題．．已知B是任意一個銳角三角形的兩個內角，下面式子一定成立的是（）AlogB1．B1Blogcos＞1D．【分析】由已知結合銳角三角函數(shù)及指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性分析各選項即可判斷．【解答】解：由題意得AB，第11頁（共16頁）A＞＞，1＞sin＞B0，logcos＞sinA1A錯誤；logcos1，B錯誤；1，D正確，coscos1C錯誤；故選：D．【點評】本題主要考查了銳角三角函數(shù)定義及指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，屬于基礎題．三、解答題110cm的輪子上有一長為6cmP4弧度秒的速度旋轉，求點Ps所轉過的弧長．2）在△中，已知tanA＝，tan＝且最長邊為1，求△的面積．【分析】1）由已知結合弧長公式可求P5s所轉過的弧長．（2）由已知結合誘導公式先求tanC，進而可求，c，然后結合同角平方關系及正弦定理及三角形面積公式可求．1POP⊥AO＝cmAB＝cm4cm，因為輪子以4弧度秒的速度旋轉，選擇5s，所以所轉過的弧長45×cm80cm；2）因為，，所以tan＝﹣tanA＝﹣，，所以∠C為最大角，所以c1，由，，，由正弦定理可得，所以，，＝所以△的面積S＝＝＝第12頁（共16頁）＝．【點評】本題主要考查了弧長公式，兩角和的正切公式，誘導公式，正弦定理及三角形面積公式在求解三角形中的應用，屬于中檔題．18．已知單位向量夾角為β．與的夾角為α，且，向量與的1，；2β的值．【分析】利用二問．＝，＝可解決第一問；利用cosβ＝可解決第【解答】1）∵單位向量與的夾角為α且＝3，，∴＝＝＝＝＝＝＝2；2?＝（3﹣2）?（3﹣）＝﹣9×＝8，∴，所以cosβ的值為．．埃及塞得港是蘇伊士運河北段的港口，其水深度（米）時間（0≤，單位：時）的函數(shù)，記作y＝（（時）（米）369121518212412.015.018.114.912.015.018.015.0經長期觀察，y＝ty＝sin（x+（其中＞0＞0，[ππ）的圖象．1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)yft）的近似表達式；23米或33月29日21第13頁（共16頁）其最大吃水深度（船舶吃水一般指船舶浸在水里的深度，是船舶的底部至船體與水面相12【分析】1A3B15T12ω2即可．【解答】1）根據(jù)表格可得出：＝，＝，＝．由；當＝9時函數(shù)取最大值，即，kZ，可得＝k﹣，又因為φ∈[﹣，＝﹣π，y＝（）的近似表達式為0t24．2）由題意得．0≤24，所以通過正弦函數(shù)圖象可知，當．，即∈[612]∪24]時，為12小時．【點評】本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的實際應用，考查學生分析問題解決問題的能力，是中檔題．20．已知函數(shù)f（x）＝x，g（x）＝cosx）的圖象分別交于MN兩點．，直線x＝t（∈Rf（xg1時，求|MN的值；2）求MN在時的最大值．【分析】（1）先根據(jù)題意表示出|MN|進而利用誘導公式化簡，利用余弦函數(shù)的性質求得答案．2MN第14頁（共16頁）得其最大值．【解答】1代入函數(shù)x（x）中得到∵＝＝．2＝＝∵，|MN的最大值為．【點評】本題主要考查了兩角和公式和誘導公式化簡求值，三角函數(shù)的最值問題等．注重了對數(shù)學基礎知識的考查和基本的推理能力，計算能力的運用．．已知函數(shù)x）＝5cosθsinx5sin