婺源縣2023－2024學(xué)年上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測九年級數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）一、選擇題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）．1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.答案：B2.二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（）A. B. C. D.答案：A3.將如圖所示的三角形繞其直角頂點順時針旋轉(zhuǎn)得到的是（）A. B. C. D.答案：B4.在如圖所示的電路圖中，若閉合、、、中任意一個開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率為（）．A. B. C. D.答案：C5.把半徑為的球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若，則的長為（）A. B. C. D.答案：D6.已知，二次函數(shù)滿足以下三個條件：①，②，③，則它的圖象可能是（）．A. B.C. D.答案：D二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7.拋物線的開口______．（填“向上”或“向下”）答案：向下8.點關(guān)于原點對稱的點的坐標是________．答案：9.某校九（2）班在體育考試中全班所有學(xué)生的得分情況如下表所示：分數(shù)段（分）30~3940~4950~5960人數(shù)15925從九（2）班的學(xué)生中隨機抽取一人，恰好是獲得60分的學(xué)生的概率是_______．答案：10.已知，是一元二次方程的兩個根，則的值等于___________．答案：111.《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點出發(fā)，甲的速度為，乙的速度為，乙一直向東走，甲先向南走步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若設(shè)甲乙兩人相遇的時間為，則可列方程是________________．答案：12.在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊AD在y軸正半軸上，邊BC在第一象限，且A(0，3)、B(5，3)，將正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），若點B的對應(yīng)點恰好落在坐標軸上，則點C的對應(yīng)點的坐標為_______．答案：（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．三、（本大題共5個小題，每小題6分，共30分）13.解方程：（1）；（2）．答案：（1），（2），【小問1詳解】解：兩邊直接開平方得，所以，，【小問2詳解】解：∴，∴，14.如圖，是正方形的邊上一點，是邊上一點，逆時針旋轉(zhuǎn)后能夠與重合．（1）寫出它的旋轉(zhuǎn)中心；（2）旋轉(zhuǎn)角至少是多少度？（3）______（填“＞”或“＝”或“＜”）．答案：（1）（2）（3）【小問1詳解】解：逆時針旋轉(zhuǎn)后能夠與重合：旋轉(zhuǎn)中心是點．【小問2詳解】逆時針旋轉(zhuǎn)后能夠與重合：旋轉(zhuǎn)角至少是；【小問3詳解】∵正方形，∴，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴．15.二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）寫出方程的根；（2）寫出不等式的解集；（3）若方程無實數(shù)根，寫出的取值范圍．答案：（1），；（2）或；（3）解：（1）觀察圖象可知，方程的根，即為拋物線與軸交點的橫坐標，∴，．（2）觀察圖象可知：不等式的解集為或．（3）由圖象可知，時，方程無實數(shù)根．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與方程和不等式的關(guān)系，求方程ax2+bx+c=0的兩個根，即為拋物線與x軸的交點的橫坐標；判斷y＞0，y=0，y＜0時，x的取值范圍，要結(jié)合開口方向，圖象與x軸的交點而定；方程ax2+bx+c=k有無實數(shù)根，看頂點坐標的縱坐標即可．16.如圖，羊年春節(jié)到了，小明親手制作了3張一樣的卡片，在每張卡片上分別寫上“新”“年”“好”三個字，并隨機放入一個不透明的信封中，然后讓小芳分三次從信封中摸3張卡片每次摸1張，摸出不放回．小芳第一次抽取的卡片是“新”字的概率是多少？請通過畫樹狀圖或列表，求小芳先后抽取的3張卡片分別是“新年好”的概率．答案：（1）；（2）.解：∵共有張大小相同的卡片，在每張卡片上分別寫上“新”、“年”、“好”三個字，∴小芳第一次抽取的卡片是“新”字的概率是：；畫樹狀圖得：∵共有種等可能的結(jié)果，小芳先后抽取的張卡片恰好是“新年好”的有種情況，∴小芳先后抽取的張卡片恰好是“新年好”的概率為：．17.如圖，是的直徑，平行四邊形的一邊在直徑上，點在上．（1）如圖1，當(dāng)點在上時，請你僅用無刻度的直尺作于；（2）如圖2，當(dāng)點在內(nèi)時，請你僅用無刻度的直尺作于．答案：（1）見解析（2）見解析【小問1詳解】解：如圖，連接并延長交于點，連接交于點，點即為所求；∵為直徑，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖，延長交于，連接并延長交于點，連接交于點，點即為所求．∵為直徑，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴．四、（本大題共3個小題，每小題8分，共24分）18.如圖，是的直徑，為的一條弦，是的中點，已知，．（1）求證：于；（2）求的半徑．答案：（1）證明見解析（2）5【小問1詳解】證明：連接，，則：，∵是的中點，∴，∴于．【小問2詳解】∵是的中點，∴，由（1）知，，設(shè)圓的半徑為，則，∴，由勾股定理得：，即，解得：．的半徑為5．19.如圖，在中，，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，交于點．若，求：（1）的長；（2）的面積．答案：（1）（2）【小問1詳解】解：∵將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，∴．20.某批乒乓球的質(zhì)量檢驗結(jié)果如下：抽取的乒乓球數(shù)200500100015002000優(yōu)等品頻數(shù)18847194614261898優(yōu)等品頻率（1）這批乒乓球“優(yōu)等品”的概率的估計值是多少？（2）從這批乒乓球中選擇5個黃球、13個黑球、22個紅球，它們除顏色外都相同，將它們放入一個不透明的袋中．①求從袋中摸出一個球是黃球的概率；②現(xiàn)從袋中取出若干個黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個是黃球的概率不小于，問至少取出了多少個黑球？答案：2021.①；②9個【小問1詳解】解：這批乒乓球“優(yōu)等品”概率的估計值是0.946；【小問2詳解】解：①∵袋中一共有球個，其中有5個黃球，∴從袋中摸出一個球是黃球的概率為：；②設(shè)從袋中取出了個黑球，由題意得，解得，故至少取出了9個黑球．五、（本大題共2個小題，每小題9分，共18分）21.春節(jié)臨近，由于我市城區(qū)執(zhí)行嚴禁燃放煙花炮竹令，某商店發(fā)現(xiàn)了商機經(jīng)銷一種安全、無污染的電子鞭炮已知這種電子鞭炮的成本價每盒元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)春節(jié)期間，該種電子鞭炮每天的銷售量y（盒）與銷售單價x（元）有如下關(guān)系：．設(shè)這種電子鞭炮每天的銷售利潤為w元．（1）求w與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）該種電子鞭炮的銷售單價定為多少元時，每天銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（3）若該商店銷售這種電子鞭炮要想每天獲得銷售利潤元，應(yīng)如何定價？答案：（1）（2）當(dāng)時，w有最大值，w的最大值為元（3）元或元【小問1詳解】由題意得：∴w與x的函數(shù)關(guān)系式為：；【小問2詳解】∵∴當(dāng)時，w有最大值，w的最大值為元．【小問3詳解】當(dāng)時，解得：∴要想每天獲得銷售利潤元，應(yīng)定價為元或元每盒．22.課本再現(xiàn)（1）在圓周角和圓心角的學(xué)習(xí)中，我們知道了：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．課本中先從四邊形一條對角線為直徑的特殊情況來論證其正確性，再從對角線是非直徑的一般情形進一步論證其正確性，這種數(shù)學(xué)思維方法稱為“由特殊到一般”如圖1，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，則__________度，__________度．（2）如果的內(nèi)接四邊形的對角線不是的直徑，如圖2、圖3，請選擇一個圖形證明：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．知識運用（3）如圖4，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點．點是線段的中點，連接，求證：是的切線．答案：（1），；（2）見詳解；（3）見詳解解：（1）∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，∴，那么，故答案為：90，180；（2）證明：以圖2為例證明，連接，，如圖所示：∵弧弧，∴，，∵∴，∴，在四邊形，，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補；或者以圖3為例證明，連接，，如圖所示：∵弧弧，∴，，∵,∴，∴，四邊形，，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補；（3）證明：連接，，如圖所示：∵，∴，∵，∴，則，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，則，∴，∵是線段的中點，∴，則，∵是圓的半徑，∴是圓的切線．六、（本大題12分）23.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，（點在點的左側(cè)），與軸交于點．（1）寫出點、、的坐標；（2）過動點作平行于軸的直線，直線與二次函數(shù)的圖象相交于點，．①若，以為直徑作，當(dāng)與軸相切時，求的值；②直線上是否存在一點，使得是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出的值：若不存在，請說明理由．答案：（1）點、、坐標分別為，，，（2）①；②存在，的值為，，或3【小問1詳解】當(dāng)時，有，解得：，，∴、兩點的坐標分別為和．當(dāng)時，，∴點的坐標為．【小問2詳解】①∵與軸相切．且與交于、兩點，∴圓心位于直線與拋物線對稱軸的交點處，∵拋物線的對稱軸為，的半徑為點的縱坐標，∴、兩點的坐標分別為：，∵點在二次函數(shù)的圖象上，∴，解得或（不合題意，舍去）．②解：存在．①當(dāng)，時，如圖1，過點F作軸于G，∴．∵，，∴．∴，∴．∵，∴或．②當(dāng)，時，如圖2，過點F作軸于P，