第02講空間向量的數(shù)量積運(yùn)算模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解空間向量的夾角；2．掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及計(jì)算方法；3．了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義；4．掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積在判斷垂直中的應(yīng)用，掌握利用向量數(shù)量積求空間兩點(diǎn)間的距離.知識點(diǎn)1空間向量的夾角1、定義：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)D，作，，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。2、夾角的范圍：通常我們規(guī)定：，且（1）當(dāng)、共線且同向時(shí)，；（2）當(dāng)、共線且反向時(shí)，；（3）當(dāng)當(dāng)、垂直時(shí)，即時(shí)，．3、求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：方法一：（1）結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍角的大?。唬?）先求，再利用公式求，最后確定．方法二：①根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量(即直線的方向向量)；②異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題；③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大?。R點(diǎn)2空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個(gè)非零向量、，則叫做向量與的數(shù)量積，記作，即．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積是0．2、數(shù)量積的幾何意義（1）類比平面向量，等于的長度與在方向上的投影的乘積，或的長度與在方向上的投影的乘積．（2）向量在向量上的投影向量如圖=1\*GB3①，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到一個(gè)平面內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，，向量稱為向量在向量上的投影向量。類似的，可以將向量向直線投影（如圖=2\*GB3②）．（3）向量在平面上的投影如圖=3\*GB3③，向量向平面投影，就是分別由向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)作平面的垂線，垂足分別為，，得到向量，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時(shí)，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．3、向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：（1）；（2）（交換律）（3）（分配律）4、空間向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，是單位向量，則①；②；③或；④；⑤5、求空間向量數(shù)量積的步驟：第一步：將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式，第二步：利用向量的運(yùn)算規(guī)律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積，第三步：代入求解．知識點(diǎn)3空間向量的模長在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：．將其推廣：考點(diǎn)一：空間向量數(shù)量積的計(jì)算例1．（23-24高二上·四川成都·月考）已知空間向量的夾角為，則．【變式1-1】（23-24高二上·廣東茂名·期末）如圖，正方體的棱長為1，設(shè)，，，則（

）A．1 B． C．0 D．2【變式1-2】（23-24高二上·江西吉安·期末）在正四面體中，棱長為2，且E是棱中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（23-24高二上·四川成都·期末）如圖，已知四面體的棱長都是2，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B． C． D．2考點(diǎn)二：利用數(shù)量積求向量的夾角例2.（23-24高二上·山東煙臺·期中）已知空間向量，，滿足，，且，則與的夾角大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【變式2-1】（23-24高二上·陜西寶雞·期中）在空間四邊形中，，，則的值為（

）A． B． C． D．0【變式2-2】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知平行六面體中，，，，則（

）A． B． C． D．【變式2-3】（23-24高二下·云南保山·開學(xué)考試）已知是兩個(gè)空間向量，若，，則＝.考點(diǎn)三：利用數(shù)量積求向量的模長例3.（23-24高二上·湖南益陽·期末）已知空間向量，則（

）A．3 B． C． D．21【變式3-1】（23-24高二下·江蘇·月考）已知空間向量兩兩夾角為，且，則．【變式3-2】（23-24高二下·福建漳州·月考）在平行六面體中，，，，，，則=【變式3-3】（23-24高二上·湖北荊門·期末）已知平面和平面的夾角為，，已知A，B兩點(diǎn)在棱上，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于．已知，，則的長度為（

）A． B． C． D．或考點(diǎn)四：利用數(shù)量積求投影向量例4.（22-23高二下·安徽合肥·開學(xué)考試）已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式4-1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空間四邊形中，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（23-24高二上·河北保定·開學(xué)考試）如圖，，分別是圓臺上、下底面的兩條直徑，且，，是弧靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則在上的投影向量是（

）.

A． B． C． D．【變式4-3】（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為（用向量來表示）.

考點(diǎn)五：利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系例5.（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都為a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．證明：．【變式5-1】（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長是，和相交于點(diǎn)．(1)求；(2)判斷與是否垂直．【變式5-2】（22-23高二上·河南洛陽·月考）已知正四面體的棱長為2，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)用表示，并求出；(2)求證：.【變式5-3】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）如圖，四棱錐的各棱長都為．(1)用向量法證明；(2)求的值．一、單選題1．（23-24高二上·寧夏銀川·月考）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量的模長為（

）A．2 B． C． D．2．（23-24高二上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知，，是空間中兩兩垂直的單位向量，則（

）A． B．14 C． D．23．（23-24高二上·福建莆田·月考）已知空間向量，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·四川綿陽·期末）已知，（，，為兩兩互相垂直的單位向量），若，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高二上·河北石家莊·期中）三棱錐中，，若，則（

）A．1 B．2 C． D．6．（23-24高二上·遼寧沈陽·月考）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是邊長為1的菱形，且，則（

）A． B．C． D．二、多選題7．（23-24高二上·河北滄州·期末）在棱長為2的正四面體A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，G是△BCD的重心，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．在上的投影向量為 D．8．（23-24高二下·江蘇常州·月考）在正方體中，下列命題是真命題的是（

）A．B．C．D．正方體的體積為三、填空題9．（23-24高二上·廣東廣州·期末）正四面體的棱長為2，設(shè)，，，則.10．（23-24高二下·江蘇南通·月考）空間四邊形中，，，，且異面直線與成，則異面直線與所成角的大小為.11．（23-24高二上·山東濟(jì)寧·期末）如圖，二面角的大小為，其棱l上有兩個(gè)點(diǎn)，線段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱l．若