第10講直線的兩點式方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握直線方程兩點式的形式、特點及適用范圍；2．了解直線方程截距式的形式、特點及適用范圍；3．會用中點坐標公式求線段的中點坐標.知識點1直線的兩點式方程1、兩點式方程的推導(dǎo)如果直線經(jīng)過兩點，，則直線的斜率．由直線的點斜式方程得．當時，方程可以寫成．2、直線的兩點式方程定義設(shè)直線經(jīng)過兩點，，則方程叫作直線的兩點式方程，簡稱兩點式．3、對兩點式方程的理解（1）與，顯然后者表示直線的范圍比前者縮小了，但后者便于記憶和應(yīng)用，所以采用后者作為公式．（2）對兩點式中的兩點，只要是直線上的兩個不同的點即可，兩點式方程與這兩個點的順序無關(guān)．（3）把直線的兩點式方程化為，則該方程表示過平面內(nèi)任意不同兩點，的直線．4、兩點式方程的使用方法（1）已知直線上兩點，且，時，可以直接使用該公式求直線方程．（2）當，時，直線方程為或．（3）當，時，直線方程為或．知識點2直線的截距式方程1、截距式方程的推導(dǎo)如圖，已知直線經(jīng)過兩點，，其中，有直線的兩點式方程得，，即．2、直線的截距式方程的定義設(shè)直線在軸的截距為，在軸的截距為，且，則方程叫作直線的截距式方程，簡稱截距式．3、截距的概念（1）橫截距：直線與軸交點的橫坐標．在直線方程中，令，解出的值即可．（2）縱截距：直線與軸交點的縱坐標．在直線方程中，令，解出的值即可．4、截距式方程應(yīng)用的注意事項（1）問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮截距式方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可；（2）選用截距式方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直；（3）要注意截距式方程的逆向應(yīng)用．知識點3中點坐標公式若點，的坐標分別為，，且線段的中點M的坐標為，則．考點一：兩點式與截距式辨析例1．（23-24高二上·河北邢臺·月考）下列直線方程是兩點式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于選項A：是斜截式方程，故A錯誤；對于選項B：是點斜式方程，故B錯誤；對于選項C：是截距式方程，故C錯誤；對于選項D：是兩點式方程，故D正確；故選：D.【變式1-1】（2024高二·全國·專題練習）經(jīng)過兩點的直線方程都可以表示為（

）A．＝ B．＝C． D．＝【答案】C【解析】當時，由兩點式可得直線方程為：＝，化為：，對于或時上述方程也成立，因此直線方程為：.故選：C.【變式1-2】（23-24高二上·四川宜賓·月考）（多選）下列說法中錯誤的是（

）A．直線方程的截距式可表示除過原點外的所有直線B．與是直線的截距式方程C．直線方程的斜截式都可以化為截距式D．在軸、軸上的截距分別是2、的直線方程為【答案】ABC【解析】對于選項A，直線方程的截距式為，其中，不能表示過原點的直線，也不能表示與坐標軸平行的直線，故A錯誤；對于選項B，直線方程的截距式為，其中，而與不是直線的截距式方程，故B錯誤；對于選項C，直線方程的斜截式包含在軸上的截距為0的情況，而此類不能化為截距式，比如，故C錯誤；對于選項D，直線方程的截距式為，其中，、是直線在軸、軸上的截距，所以在軸、軸上的截距分別是2、的直線方程為，故D正確.故選：ABC.【變式1-3】（23-24高二上·江蘇宿遷·月考）（多選）下列說法中錯誤的是（

）A．不過原點的直線都可以用方程表示B．若直線，則兩直線的斜率相等C．過兩點的直線都可用方程表示D．若兩條直線中，一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則兩條直線垂直【答案】ABD【解析】A：直線的截距式方程不能表示過原點和垂直于坐標軸的直線，故A錯誤；B：和的斜率有可能不存在，故B錯誤；C：選項中的方程是直線的兩點式方程化為整式后的結(jié)果，直線的兩點式方程不能表示垂直于坐標軸的直線，但化為整式后就可以表示任意直線，故C正確；D：直線斜率不存在，則直線垂直于x軸；直線斜率存在，但不一定為0，所以兩直線不一定垂直，故D錯誤.故選：ABD.考點二：直線的兩點式方程例2.（23-24高二上·寧夏銀川·月考）經(jīng)過點的直線的兩點式方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為直線經(jīng)過點，所以由方程的兩點式可得直線方程為，即．故選：A【變式2-1】（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·月考）過點和點的直線的兩點式方程是．【答案】【解析】由題意，不和坐標軸垂直，符合兩點式方程的使用條件，當直線經(jīng)過時，兩點式方程為：，于是直線的兩點式方程為：.【變式2-2】（23-24高二上·全國·專題練習）已知三角形的頂點是，求這個三角形三邊所在直線的方程.【答案】答案見解析【解析】由題意可知，作出圖形如圖所示直線過，其兩點式方程為，整理，得，這就是邊所在直線的方程.直線AC垂直于x軸，故AC邊所在直線的方程為.直線BC平行于x軸，故BC邊所在直線的方程為.【變式2-3】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知三個頂點的坐標為，，，求它的對角線AC，BD所在直線的方程.【答案】，【解析】因為三個頂點的坐標為，，，設(shè)，因為AC和BD的中點重合，所以，解得，所以，所以對角線AC所在直線的斜率為，對角線BD所在直線的斜率為，所以對角線AC所在直線的方程為，即，對角線BD所在直線的方程為，即.考點三：直線的截距式方程例3.（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐標系中，直線在軸上的截距為（

）A． B．8 C． D．【答案】A【解析】對方程，令，解得；故直線在軸上的截距為.故選：A.【變式3-1】（23-24高二上·江蘇南京·期末）（多選）過點且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】當直線的截距不為0時，設(shè)直線的截距式方程為，由題可得所以或解得或所以直線方程為或，故A，C正確；當直線的截距為0時，設(shè)直線方程為，由題可知，故直線方程為，D正確．故選：ACD【變式3-2】（23-24高二上·云南昆明·月考）經(jīng)過點，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線有（

）條.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】若直線經(jīng)過原點，則，在坐標軸上的截距均為0，符合題意，若截距均不為0，則設(shè)直線方程為，將代入得，此時直線方程為，符合題意；即經(jīng)過點，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線有2條故選：C.【變式3-3】（23-24高二上·廣東東莞·月考）已知直線經(jīng)過點，斜率為2.(1)求直線的截距式方程.(2)若直線與垂直，且，在y軸上的截距相等，求的截距式方程.【答案】(1)；(2).【解析】（1）依題意，直線的方程為：，即，所以直線的截距式方程為.（2）由直線與垂直，得直線的斜率為，由（1）知，直線在y軸上的截距為，于是直線的方程為，即，所以直線的截距式方程為.考點四：直線與坐標軸圍成圖形的面積例4.（23-24高二上·四川成都·期中）直線過點，則直線與軸、軸的正半軸圍成的三角形的面積最小值為（

）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】設(shè)直線：，，因為直線過點，所以，即，所以，解得，當且僅當，即，時等號成立，則直線與軸、軸的正半軸圍城的三角形面積.故選：B.【變式4-1】（23-24高二上·廣東揭陽·期中）（多選）直線中，已知．若與坐標軸圍成的三角形的面積不小于10，則實數(shù)對可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因為，所以直線與坐標軸圍成的三角形的面積為，則，得，結(jié)合選項可知，滿足題意.故選：AC.【變式4-2】（23-24高二上·江蘇徐州·月考）若過點的直線與坐標軸交于兩點，圍成三角形的面積為16，則符合條件的直線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由題意直線顯然不過原點，所以不妨設(shè)直線：，，又點在直線上，所以，，又三角形的面積為16，所以，，所以，整理得；當時，方程變?yōu)椋獾没驖M足題意，將和分別代入，解得對應(yīng)的分別為；當時，方程變?yōu)?，解得或滿足題意，將和分別代入，解得對應(yīng)的分別為；綜上所述：滿足題意的直線為：，共有4條.故選：D.【變式4-3】（23-24高二上·江蘇南通·月考）已知直線過點，根據(jù)下列條件分別求出直線的方程．(1)在軸、軸上的截距互為相反數(shù)；(2)與兩條坐標軸在第一象限所圍成的三角形面積最?。敬鸢浮?1)或；；(2)【解析】（1）①當直線經(jīng)過原點時，在軸、軸上的截距互為相反數(shù)都等于0，此時直線的方程為，②當直線不經(jīng)過原點時，設(shè)直線的方程為在直線上，，，即．綜上所述直線的方程為或（2）由題意可知直線與兩坐標軸均交于正半軸，故設(shè)直線方程為，將代入可得，故，故，當且僅當，即時等號成立，故此時面積最小為,故直線方程為，即一、單選題1．（23-24高二上·江蘇南通·期中）直線在軸上的截距為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】由可得，所以在軸上的截距為，故選：B2．（22-23高二上·海南·期中）在軸、軸上的截距分別是、3的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為直線在軸、軸上的截距分別是、3，所以直線方程是，即．故選：C．3．（23-24高二上·湖北黃石·月考）過點和點的直線的兩點式方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為所求直線過點和點，根據(jù)直線的兩點式方程可得：所求直線方程為.故選B.4．（23-24高二上·天津南開·月考）過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】當直線過原點時在兩坐標軸上的截距都為，滿足題意，又因為直線過點，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，當直線不過原點時，設(shè)直線方程為，因為點在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故C項正確.故選：C.5．（22-23高二上·四川成都·期中）過點?且橫、縱截距相等的直線其條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因直線過點?，且橫、縱截距相等，當此直線過原點時，直線方程為，當此直線不過原點時，設(shè)其方程為，則有，解得，即直線方程為，所以過點?且橫、縱截距相等的直線方程為或，共2條.故選：B6．（23-24高二上·黑龍江大慶·月考）已知直線經(jīng)過第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知直線經(jīng)過第一、二、三象限，則直線在軸上的截距，在軸上的截距，由直線的斜率小于1，可知，結(jié)合可得，對于A，由絕對值的性質(zhì)可知，故選項A錯誤，對于B，由冪函數(shù)的單調(diào)性可知，故選項B錯誤，對于C，由不等式的性質(zhì)，可得，，則，故選項C錯誤，對于D，，，則，故選項D正確.故選：D二、多選題7．（23-24高二上·江蘇無錫·期中）直線過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線在軸上的截距可能是（

）A． B．1 C．3 D．0【答案】ACD【解析】當直線過原點時，設(shè)直線方程為，則，解得，此時在軸上的截距為；當直線不過原點且截距相同，設(shè)直線方程為，則，解得，此時在軸上的截距為；當直線不過原點且截距相反，設(shè)直線方程為，則，解得，此時在軸上的截距為；綜上所述：截距可能為.故選：ACD8．（2024高二上·全國·專題練習）下列說法中錯誤的是（

）A．直線方程的截距式可表示除過原點外的所有直線B．與是直線的截距式方程C．直線方程的斜截式都可以化為截距式D．在x軸、y軸上的截距分別是2，3的直線方程為【答案】ABC【解析】對于A，直線方程的截距式為，其中，故不能表示過原點的直線，也不能表示與坐標軸平行的直線，A錯誤；對于B，，，都不是直線的截距式方程，B錯誤；對于C，直線方程的斜截式，不能化為截距式方程，C錯誤；對于D，在x軸、y軸上的截距分別是2，3的直線方程為，D正確．故選：ABC.三、填空題9．（23-24高二上·廣東廣州·期中）若直線l與兩坐標軸的交點分別為A，B，且線段AB的中點為，則直線l的方程為：．【答案】【解析】依題知，直線與x軸y軸的截距都存在且都不為0，設(shè)直線方程為，又線段AB的中點為，則，即則直線方程為，即.10．（23-24高二上·山東泰安·月考）已知直線l過點，若直線l在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，則直線l的方程是．【答案】或【解析】若直線在坐標軸上的截距都是0，則由點在l上，得其方程為；若直線在坐標軸上的截距不為0，可設(shè)其方程為，將點代入可得，所以l的方程是.11．（23-24高二上·山西文水·月考）經(jīng)過點，的直線在軸上的截距為．【答案】27【解析】經(jīng)過兩點和的直線方程為，即，令，得.四、解答題12．（23-24高二上·安徽·期末）已知直線過點．(1)若直線在軸上的截距、在軸上的截距的滿足，求直線的方程；(2)若直線與兩坐標軸的正半軸分別交于，兩點，為坐標原點，當?shù)拿娣e最小時，求直線的方程．【答案】(1)或；(2)【解析】（1）根據(jù)題意：直線在軸上的截距是在軸上的截距的3倍，當直線不過原點時，設(shè)直線為，將代入可得，所以直線的方程為；當直線過原點時，直線的斜率為，所以直線的方程為即．綜上，直線的方程為或；（2）設(shè)直線的方程為，所以，，所以，當且僅當時，，（舍），所以直線的方程為