第十三章推理與證明高考文數(shù)

(課標(biāo)Ⅱ?qū)Ｓ?1.(2017課標(biāo)全國Ⅱ,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:

你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.

看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則

()A.乙可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績五年高考A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組答案

D本題主要考查邏輯推理能力.由題意可知,“甲看乙、丙的成績,不知道自己的成績”說明乙、丙兩人是一個優(yōu)秀一個良好,

則乙看了丙的成績,可以知道自己的成績,丁看了甲的成績,也可以知道自己的成績.故選D.2.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,16,5分)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,

甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的

卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是

.答案1和3解析丙的卡片上的數(shù)字之和不是5,則丙有兩種情況:①丙的卡片上的數(shù)字為1和2,此時乙的卡

片上的數(shù)字為2和3,甲的卡片上的數(shù)字為1和3,滿足題意;②丙的卡片上的數(shù)字為1和3,此時乙的

卡片上的數(shù)字為2和3,甲的卡片上的數(shù)字為1和2,這時甲與乙的卡片上有相同的數(shù)字2,與已知矛

盾,故情況②不符合,所以甲的卡片上的數(shù)字為1和3.疑難突破

先對丙分類討論,確定出丙卡片上的數(shù)字情況再確定乙、甲是解決問題的關(guān)鍵.評析本題主要考查推理,考查學(xué)生分析、解決問題的能力,先確定丙卡片上的數(shù)字情況再確定

乙、甲是問題的突破口,注意對丙的分類討論.3.(2014課標(biāo)Ⅰ,14,5分,0.924)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個城市時,甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市;乙說:我沒去過C城市;丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為

.答案

A解析由三人去過同一城市,且甲沒去過B城市、乙沒去過C城市知,三人去過的同一城市為A,

因此可判斷乙去過的城市為A.B組自主命題·省（區(qū)、市）卷題組1.(2016北京,8,5分)某學(xué)校運(yùn)動會的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階

段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績,其中有三個數(shù)據(jù)模糊.在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,

則

()A.2號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B.5號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C.8號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D.9號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽答案

B因?yàn)檫@10名學(xué)生中進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,故立定跳遠(yuǎn)成績排名最后的9號和10

號學(xué)生就被淘汰了.又因?yàn)橥瑫r進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則1~8號學(xué)生中必有

2人被淘汰,因?yàn)閍-1<a,其余數(shù)字最小的為60,故有以下幾種情況:①若a-1≥63,此時淘汰的不止2人,故此種情況不可能;②若a-1<a<60,此時被淘汰的為2號和8號;③若60≤a-1<a≤63,此時被淘汰的為4號和8號.綜上,8,9,10號學(xué)生一定會被淘汰,2號有可能會被淘汰,故選B.疑點(diǎn)突破

本題較易得出9號和10號學(xué)生首先會被淘汰,難點(diǎn)在于在1~8號學(xué)生中淘汰2名學(xué)生.

可將1~8號學(xué)生中已知的30秒跳繩成績由大到小排列:75,72,70,63,63,60.接下來將兩個連續(xù)數(shù)字a,a-1捆綁起來整體插空即可.若要只有6人同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30

秒跳繩決賽,則插空的情況只有2種:75,72,70,63,63,a,a-1,60或75,72,70,63,63,60,a,a-1.評析本題考查推理能力及分類討論思想的應(yīng)用,屬難題.2.(2014山東,4,5分)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個實(shí)根”時,要

做的假設(shè)是

()A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實(shí)根答案

A因?yàn)椤胺匠蘹3+ax+b=0至少有一個實(shí)根”等價于“方程x3+ax+b=0的實(shí)根的個數(shù)大于

或等于1”,所以要做的假設(shè)是“方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根”.3.(2013四川,10,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=

(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是

()A.[1,e]

B.[1,1+e]C.[e,1+e]

D.[0,1]答案

A易知f(x)=

在定義域內(nèi)是增函數(shù),由f(f(b))=b,猜想f(b)=b.反證法:若f(b)>b,則f(f(b))>f(b)>b,與題意不符,若f(b)<b,則f(f(b))<f(b)<b,與題意也不符,故f(b)=b,即f(x)=x在[0,1]上有解.∴

=x,a=ex-x2+x,令g(x)=ex-x2+x,g'(x)=ex-2x+1=(ex+1)-2x,當(dāng)x∈[0,1]時,ex+1≥2,2x≤2,∴g'(x)≥0,∴g(x)在[0,1]上是增函數(shù),∴g(0)≤g(x)≤g(1)?1≤g(x)≤e,即1≤a≤e,故選A.評析綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、反證法、函數(shù)的最值等知識,考查轉(zhuǎn)化思想及

綜合運(yùn)用知識解題的能力.其中猜想“f(b)=b”是解題關(guān)鍵.4.(2017北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件:(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù);(ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù);(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為

;②該小組人數(shù)的最小值為

.答案①6②12解析設(shè)男學(xué)生人數(shù)為x,女學(xué)生人數(shù)為y,教師人數(shù)為z,由已知得

且x,y,z均為正整數(shù).①當(dāng)z=4時,8>x>y>4,∴x的最大值為7,y的最大值為6,故女學(xué)生人數(shù)的最大值為6.②x>y>z>

,當(dāng)x=3時,條件不成立,當(dāng)x=4時,條件不成立,當(dāng)x=5時,5>y>z>

,此時z=3,y=4.∴該小組人數(shù)的最小值為12.5.(2016山東,12,5分)觀察下列等式:

+

=

×1×2;

+

+

+

=

×2×3;

+

+

+…+

=

×3×4;

+

+

+…+

=

×4×5;……照此規(guī)律,

+

+

+…+

=

.答案

解析觀察前4個等式,由歸納推理可知

+

+…+

=

×n×(n+1)=

.評析本題主要考查了歸納推理,認(rèn)真觀察題中給出的4個等式即可得出結(jié)論.6.(2015陜西,16,5分)觀察下列等式1-

=

1-

+

-

=

+

1-

+

-

+

-

=

+

+

……據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為

.答案1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

解析規(guī)律為等式左邊共有2n項(xiàng)且等式左邊分母分別為1,2,…,2n,分子為1,奇數(shù)項(xiàng)為正、偶數(shù)

項(xiàng)為負(fù),即為1-

+

-

+…+

-

;等式右邊共有n項(xiàng)且分母分別為n+1,n+2,…,2n,分子為1,即為

+

+…+

.所以第n個等式可為1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

.7.(2014福建,16,4分)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三個關(guān)系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一

個正確,則100a+10b+c等于

.答案201解析當(dāng)a≠2正確時,c=0,b≠2,{a,b,c}中沒有元素2,與集合相等矛盾,①不正確;當(dāng)b=2正確時,c=0,a=2,這與集合元素的互異性矛盾,②不正確;當(dāng)c≠0正確時,a=2,b≠2,此時b=0,c=1,符合題意,這時100a+10b+c=201.評析本題主要考查集合的特征,考查學(xué)生分析、解決問題的能力,正確理解集合的三大特性:

確定性、互異性、無序性是解題關(guān)鍵.8.(2013湖南,15,5分)對于E={a1,a2,…,a100}的子集X={

,

,…,

},定義X的“特征數(shù)列”為x1,x2,…,x100,其中

=

=…=

=1,其余項(xiàng)均為0.例如:子集{a2,a3}的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0,…,0.(1)子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于

;(2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1,p2,…,p100滿足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征數(shù)

列”q1,q2,…,q100滿足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,則P∩Q的元素個數(shù)為

.答案(1)2(2)17解析

(1)根據(jù)題意可知子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0,0,…,0,此數(shù)列前3項(xiàng)和為2.(2)根據(jù)題意可寫出子集P的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0,…,1,0,則P={a1,a3,…,a2n-1,…,a99}(1≤n≤5

0),子集Q的“特征數(shù)列”為1,0,0,1,0,0,…,1,0,0,1,則Q={a1,a4,…,a3k-2,…,a100}(1≤k≤34),則P∩Q={a1,

a7,a13,…,a97},共有17項(xiàng).評析本題為創(chuàng)新題,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,正確理解題意是解題的關(guān)鍵.9.(2014天津,20,14分)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=

x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)當(dāng)q=2,n=3時,用列舉法表示集合A;(2)設(shè)s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.證明:若an<bn,則s<t.解析(1)當(dāng)q=2,n=3時,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)證明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1=

-qn-1=-1<0.所以,s<t.評析本題主要考查集合的含義與表示,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,不等式的證明等基礎(chǔ)知識.考

查運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的能力.1.(2013陜西,13,5分)觀察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此規(guī)律,第n個等式可為

.C組教師專用題組答案(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)解析由前三個式子觀察歸納可得結(jié)論.2.(2013湖北,14,5分)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,

…,第n個三角形數(shù)為

=

n2+

n.記第n個k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式:三角形數(shù)

N(n,3)=

n2+

n,正方形數(shù)

N(n,4)=n2,五邊形數(shù)

N(n,5)=

n2-

n,六邊形數(shù)

N(n,6)=2n2-n,……可以推測N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(10,24)=

.答案1000解析由N(n,3)=

n2+

n,N(n,4)=

n2+

n,N(n,5)=

+

n,N(n,6)=

n2+

n,推測N(n,k)=

n2-

n,k≥3.從而N(n,24)=11n2-10n,N(10,24)=1000.3.(2016江蘇,20,16分)記U={1,2,…,100}.對數(shù)列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=?,定義ST=0;若T=

{t1,t2,…,tk},定義ST=

+

+…+

.例如:T={1,3,66}時,ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè){an}(n∈N*)是公比為3的等比數(shù)列,且當(dāng)T={2,4}時,ST=30.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)對任意正整數(shù)k(1≤k≤100),若T?{1,2,…,k},求證:ST<ak+1;(3)設(shè)C?U,D?U,SC≥SD,求證:SC+SC∩D≥2SD.解析(1)由已知得an=a1·3n-1,n∈N*.于是當(dāng)T={2,4}時,ST=a2+a4=3a1+27a1=30a1.又ST=30,故30a1=30,即a1=1.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1,n∈N*.(2)因?yàn)門?{1,2,…,k},an=3n-1>0,n∈N*,所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=

(3k-1)<3k.因此,ST<ak+1.(3)下面分三種情況證明.①若D是C的子集,則SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD.②若C是D的子集,則SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD.③若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=C∩?UD,F=D∩?UC,則E≠?,F≠?,E∩F=?.于是SC=SE+SC∩D,SD=SF+SC∩D,進(jìn)而由SC≥SD得SE≥SF.設(shè)k為E中的最大數(shù),l為F中的最大數(shù),則k≥1,l≥1,k≠l.由(2)知,SE<ak+1.于是3l-1=al≤SF≤SE<ak+1=3k,所以l-1<k,即l≤k.又k≠l,故l≤k-1.從而SF≤a1+a2+…+al=1+3+…+3l-1=

≤

=

≤

,故SE≥2SF+1,所以SC-SC∩D≥2(SD-SC∩D)+1,即SC+SC∩D≥2SD+1.綜合①②③得,SC+SC∩D≥2SD.4.(2014江西,21,14分)將連續(xù)正整數(shù)1,2,…,n(n∈N*)從小到大排列構(gòu)成一個數(shù)

,F(n)為這個數(shù)的位數(shù)(如n=12時,此數(shù)為123456789101112,共有15個數(shù)字,F(12)=15),現(xiàn)從這個數(shù)中隨機(jī)取

一個數(shù)字,p(n)為恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)當(dāng)n≤2014時,求F(n)的表達(dá)式;(3)令g(n)為這個數(shù)中數(shù)字0的個數(shù),f(n)為這個數(shù)中數(shù)字9的個數(shù),h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤1

00,n∈N*},求當(dāng)n∈S時p(n)的最大值.解析(1)當(dāng)n=100時,這個數(shù)中總共有192個數(shù)字,其中數(shù)字0的個數(shù)為11,所以恰好取到0的概率

為p(100)=

.(2)F(n)=

(3)當(dāng)n=b(1≤b≤9,b∈N*)時,g(n)=0;當(dāng)n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)時,g(n)=k;當(dāng)n=100時,g(n)=11,即g(n)=

同理有f(n)=

1≤k≤8,0≤b≤9,k∈N*,b∈N,由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以當(dāng)n≤100時,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.當(dāng)n=9時,p(9)=0;當(dāng)n=90時,p(90)=

=

=

;當(dāng)n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)時,p(n)=

=

=

,由于y=

關(guān)于k單調(diào)遞增,故當(dāng)n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)時,p(n)的最大值為p(89)=

.又

<

,所以當(dāng)n∈S時,p(n)的最大值為

.評析本題為概率、函數(shù)及數(shù)列的綜合問題,難度較大,是道壓軸題,同時考查學(xué)生的抽象概括

能力及推理能力和創(chuàng)新意識.1.(2016廣東廣州一模,10)以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算

術(shù)》一書中的“楊輝三角形”.

該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一

行僅有一個數(shù),則這個數(shù)為

()A.2017×22015

B.2017×22014C.2016×22015

D.2016×22014

三年模擬一、選擇題（共5分）A組2015—2017年高考模擬·基礎(chǔ)題組(時間：15分鐘分值：30分)答案

B由題意知數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列,且第一行數(shù)的公差為1,第二行數(shù)的公差為2,第三行數(shù)的公差為4,……,第2015行數(shù)的公差為22014,第1行的第一個數(shù)為2×2-1,第2行的第一個數(shù)為3×20,第3行的第一個數(shù)為4×21,……第n行的第一個數(shù)為(n+1)×

,第2016行只有一個數(shù)M,則M=(1+2016)×22014=2017×22014.故選B.二、填空題（每題5分，共25分）2.(2017江西撫州臨川一中4月模擬)我國古代“伏羲八封圖”與二進(jìn)制和十進(jìn)制的互化關(guān)系如

下表,依據(jù)表中規(guī)律,A,B處應(yīng)分別填寫

.答案110,6解析根據(jù)表中所示的規(guī)律,經(jīng)過觀察、猜想、歸納可知A處應(yīng)填110,對應(yīng)B處應(yīng)填22+21=6.3.(2017陜西咸陽三模)學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的A,B,C,D四項(xiàng)參賽作品,只評一項(xiàng)一等獎,在結(jié)果揭

曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項(xiàng)參賽作品的獲獎情況預(yù)測如下:甲說:“C或D作品獲得一等獎;”乙說:“B作品獲得一等獎;”丙說:“A,D兩項(xiàng)作品均未獲得一等獎;”丁說:“C作品獲得一等獎.”若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是

.答案

B解析若A為一等獎,則甲,乙,丙,丁的說法均錯誤,故不滿足題意;若B為一等獎,則乙,丙的說法正確,甲,丁的說法錯誤,故滿足題意;若C為一等獎,則甲,丙,丁的說法均正確,故不滿足題意;若D為一等獎,則只有甲的說法正確,故不滿足題意.故若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是B.4.(2017陜西黃陵中學(xué)全真模擬二)有限與無限的轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法,如在《九

章算術(shù)》方田章源田術(shù)(劉徽注)中“割之又割以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”說明

“割圓術(shù)”是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程,再如

中的“…”即代表無限次重復(fù),但原式卻是個定值x,這可以通過方程

=x解出x=2.類似地,可以把循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù),把0.??化為分?jǐn)?shù)的結(jié)果為

.答案

解析設(shè)0.

=x,則x=0.36+

,解得x=

.5.(2017淮北二模)梯形ABCD中,AB∥CD,對角線AC,BD交于P1,過P1作AB的平行線交BC于點(diǎn)Q1,

AQ1交BD于P2,過P2作AB的平行線交BC于點(diǎn)Q2,……,若AB=a,CD=b,則PnQn=

.(用a,b,n表

示)

答案

(n∈N*)解析由題意得

=

,

=

?

+

=1?

+

=1?P1Q1=

.

=

,

=

?

+

=1?

+

=1?P2Q2=

.類推可得PnQn=

(n∈N*).6.(2016湖北七市教科研協(xié)作體聯(lián)考,13)觀察下列等式:1+2+3+…+n=

n(n+1);1+3+6+…+

n(n+1)=

n(n+1)(n+2);1+4+10+…+

n(n+1)(n+2)=

n(n+1)(n+2)(n+3);……可以推測,1+5+15+…+

n(n+1)(n+2)(n+3)=

.答案

n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)解析根據(jù)式子中的規(guī)律可知,等式右側(cè)為

n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=

n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4).1.(2017江西鷹潭二模)我們知道:“平面中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓”,拓展至空

間:“空間中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是球”,類似可得,已知A(-1,0,0),B(1,0,0),則點(diǎn)集

{P(x,y,z)||PA|-|PB|=1}在空間中的軌跡描述正確的是

()A.以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面B.以A,B為焦點(diǎn)的橢球體C.以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線單支繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面D.以上都不對一、選擇題（每題5分，共15分）B組2015—2017年高考模擬·綜合題組(時間：10分鐘分值：25分)答案

C平面上滿足|PA|-|PB|=1(|AB|>1)的動點(diǎn)P的軌跡為以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支,故由

特殊到特殊進(jìn)行類比推理可得,點(diǎn)集{