競賽講座12

一覆蓋

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一個半徑為1的單位圓顯然是可以蓋住一個半徑為5的圓的.反過來那么不然，一個半徑為5

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的圓無法蓋住單位圓.那么兩個半徑為5的圓能否蓋住呢？不妨動手實驗一下，不行.為什么

不行？需幾個這樣的小圓方能蓋住大圓？……，這里我們討論的就是覆蓋問題，它是我們經(jīng)常

遇到的一類有趣而又困難的問題.

定義設(shè)G和F是兩個平面圖形.如果圖形F或由圖形F經(jīng)過有限次的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等

變換扣得到的大小形狀不變的圖形F'上的每一點都在圖形G上.我們就說圖形G覆蓋圖形

F；反之，如果圖形F或F'上至少存在一點不在G上，我們就說圖形G不能覆蓋圖形F.

關(guān)于圖形覆蓋，下述性質(zhì)是十清楚顯的：

(1)圖形G覆蓋自身；

(2)圖形G覆蓋圖形E,圖形E覆蓋圖形F,那么圖形G覆蓋圖形F.

1.最簡單情形一一用一個圓覆蓋一個圖形.

首先根據(jù)覆蓋和網(wǎng)的定義及性質(zhì)即可得到：

定理1如果能在圖形F所在平面上找到一點0,使得國形F中的每一點與0的距彎都不大

于定長r,那么F可被一半徑為r的圓所覆蓋.

定理2對于二定點A、B及定角a假設(shè)圖形F中的每點都在AB同側(cè)，且對A、B視角不

小于a,那么圖形F被以AB為弦，對AB視角等于a的弓形G所覆蓋.

在用圓去覆蓋圖形的有關(guān)問題的研究中，上述二定理應(yīng)用十分廣泛.

例1求證：(1)周長為21的平行四邊形能夠被半徑為5的圓面所覆蓋.

(2)桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是21,不管線圈形狀如何，都可以被個半徑

Z

為5的圓紙片所覆蓋.

分析[1)關(guān)鍵在于圓心位置，考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平

行四邊形對角線交點疊合.

12)“曲”化“直”.比照(1),應(yīng)取均分線圈的二點連線段中點作為覆蓋圓圓心.

證明(1)如圖45—1,設(shè)ABCD的周長為21.BDWAC,AC、BD交于0,

P為周界上任意一點，不妨設(shè)在AB上，那么

/1WN2WN3,

有0PW0A.

又ACVAB+BC=1,

￡

故0A<5.

因此周長為21的平行四邊形ABCD可被以0為圓心；半徑為5的圓所覆蓋，命題得證.

(2)如圖45-2,在線圈上分別取點R,Q,使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長1.又設(shè)RQ

中點為G,M為線圈恥任意一點，連MR、MQ,那么

因此，以G為圓心，2長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈.

例2AABC的最大邊長是a,那么這個三角形可被一半徑為旦7°的圓所覆蓋.

分析a為最大邊，所對角A滿足60°WAV180°.

證明不妨設(shè)BC=a,以BC為弦，在A點所在一側(cè)作含60°角的弓形弧(圖45—3).因

60°WAW180。，故根據(jù)定理2,△ABC可被該弓形所覆蓋.

由正弦定理，弓形相應(yīng)半徑r=2的60°.所以△ABC可被半徑為的圓所覆

蓋.

與

顯然覆蓋AABC的圓有無窮多個,那么半杼為的圓是否是最小的覆蓋圓呢？事實并不

盡然.

例3AABC的最大邊BC等于a,試求出覆蓋aABC的最小圓.

解分三種情形進(jìn)行討論：

(1)NA為鈍角，以BC為直徑作圓即可覆蓋AABC.

(2)NA是直角，同樣以BC為直徑作圓即可覆蓋AABC；

(3)NA是銳角.假假設(shè)。0覆蓋AABC,我們可在。0內(nèi)平移aABC,使一個頂點B落到圓

周上，再經(jīng)過適當(dāng)旋轉(zhuǎn)，使另一個頂點落在圓周上，此時第三個頂點A在。。內(nèi)或其圓周上，

設(shè)BC所對圓周角為a,那么NBACea,設(shè)。0直徑d,4ABC外接圓直徑d。，那么

所以對于銳角三角形ABC,最小覆蓋圓是它的外接圓.

今后我們稱覆蓋圖形F的圓中最小的一個為F的最小覆蓋圓.最小覆蓋圓的半徑叫做圖形F的

覆蓋半徑.

綜合例2、例3,即知AABC中，假設(shè)a為最大邊，那么△ABC的覆蓋半徑r滿足

2.一個圖形F能否被覆蓋，與圖形中任意兩點間的距離最大值d密切相關(guān).

以下我們稱圖形F中任意兩點間的距離最大值d為圖形F的直徑.

我們繼續(xù)研究多個圓覆蓋一個圖形問題.

定義對于圖形G-G2,…，G?,假設(shè)圖形F中的每一點都被這組圖形中的某個所覆蓋，

那么稱這幾個圖形覆蓋圖形r.

圖形G-G2,…，Gn為n個圓是一特殊情形.

例4以ABCD的邊為直徑向平行四邊形內(nèi)作四個半圓，證明這四個半圓一定覆蓋整個平

行四邊形.

分析1ABCD的每一點至少被某個半網(wǎng)所蓋住.

正明1用反證法.如圖45—4設(shè)存在一點P在以AR、BC、CD、DA為直徑的圓外，

根據(jù)定理二，ZAPB,ZBPC,NCPDNDPA均小于90°,從而

ZAPB+ZBPC+ZCPD+ZDPA<360°.

與四角和應(yīng)為周角相矛盾.故P應(yīng)被其中一半圓蓋住，即所作四個半圓覆蓋ABCD.

分析2劃片包干，如圖45—5,將ABCD分為假設(shè)干局部，使每一局部分別都被上述四

個半圓所覆蓋.

2

這說明：至少七個以5為半徑的小圓方能覆覆蓋半徑為1的一個大圓.事實上這樣的六個小圓

假設(shè)蓋住大圓周，那么大圓心不能被覆蓋.假設(shè)其中一小圓蓋住大圓圓心，那么該圓又至多蓋

住大圓周上一點也就是六個小圓無法覆蓋大圓，而我們作大圓的內(nèi)接正六邊形，分別將小圓圓

心與各邊中點重合，再將第七個小圓圓心與大圓圓心重合即可蓋住大圓，如圖45—7,以下

給出證明：

對于正AOAB,設(shè)OA、0B中點A］、B,,那么NAA?B=NAB1B=90°,故四邊

形AAIBIB被以AB為直徑的圓覆蓋.另夕卜，△OAIBI被小圓所覆蓋.類似地可推得

七個小圓覆蓋整個大圓.

3.宜線形圖形覆蓋別的圖形的問題

解決直線形圖形覆蓋別的圖形的問題，常須較高的智巧，一般的處理方法是通過構(gòu)造過渡圖形,

逐步調(diào)整，最終獲得問題的解決.

例7證明直徑為1的圖形F可被單位正方形覆蓋.

分析先后用互相垂直的兩對平行線將圖形夾在中間，再向內(nèi)收縮.

記明取位于水平方向和鉛直方向的兩對平行直線將圖形F夾在中間，再將位于下方的直線

12向上平移，直至遇到圖形F上點為止，中圖45—8中12’處.接著又將L向下平移至

與12,相距為1的1J處止.因圖形F直徑為1.故圖形F仍被二直線1J,12,所夾.同

樣采用先左后右的順序，將沿直線m1、平移至mJ、m2'處，mJ、m2'相距為1,

而圖形F依然夾在直線mJ,m2'中間，從而直線1J、12,、mJ、m/所圍成單位

正方形即可覆蓋圖形F.

運用上述方法，我們可進(jìn)一步解決以下問題：

例8直徑為1的圖形F可被一個邊長為總的正三角形覆蓋，試證明之.

記明作三對相距為1的平行直線m］、m2、n..n2,L、1z,相交直線所成角為60°,

圍成可覆蓋圖形F的六邊形及正△AIBICI,正AAzB2c2（具體作法可參照例7）.如圖

45—9.設(shè)P為F中任意一點，它到六邊形各邊距離依次為x、a、y、b、z、c.又設(shè)

正△AIBICI的高為h1，正ZXAzB2c2的高為h2.因正三角形內(nèi)一點到三邊距離和等于正

三角形的高，得

a+b4-c=h］,

x+y+z=h2.

相加,得

(x+b)+(y+c)+:z+a)=hi+h2,

又x+b=l,y4-c=1,z+a=l,

hi+h2=3.

333

-A.<--

根據(jù)抽屜原則，hi、h2中有一不大于2,不妨設(shè)2,即正△AIBKI的高不大于2,那么它

的邊長

因此圖形F可被邊長不大于3的正三角形即正4AIBIC1所覆蓋.

4.圖形的嵌入是覆蓋問題的一種重要變化形式

所謂圖形F能嵌入圖形G,其本質(zhì)就是圖形G能覆蓋圖形F.

S

例9試證面積為S、周長為P的四邊形一定可嵌入一個半徑為F的圓.

S

分析四邊形內(nèi)存在到各邊距離不小于F的點.

正明如圖45T0,設(shè)四邊形ABCI）面積為S,周長為P.各邊長分別為a-a2、a3、a4.現(xiàn)

￡

以a2.a3.a“為長，A為寬，向四邊形內(nèi)側(cè)作矩形，那么這些矩形總面積是

即四個矩形面積總和等于四邊形面積.由于這四個矩形有重迭局部，所以四邊形內(nèi)部存在點。沒

￡

有被矩形覆蓋,那么以點0