小學(xué)奧數(shù)根底教程（四年例1四年級一班第一小組有10名同累計差=12+30—7—30+23—

級）學(xué)，某次數(shù)學(xué)測驗的成績（分數(shù)）如21+18-11+25+11

第1講速算與巧算（一）下：=50,

第2講速算與巧算（二）86,78,77,83,91,74,92,69,平均每塊產(chǎn)量=45C+50+10=

第3講高斯求和84,75。4551千克）。

第4講4,8,9整除的數(shù)的特征求這10名同學(xué)的總分。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455

第5講棄九法分析與解：通常的做法是將這10個千克。

第6講數(shù)的整除性（二）數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的

第7講找規(guī)律（一）接相加既繁且易錯。觀察這些數(shù)不難九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如7X7

第8講找規(guī)律（二）發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差-49（七七四十九）。對于兩位數(shù)的

第9講數(shù)字能（一）不大。我們可以選擇一個適當(dāng)?shù)臄?shù)作平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了10?20

第10講數(shù)字謎（二）“基準”，比方以"80”作基準，這的平方，而21?99的平方就不大熟

第11講歸一問題與歸總問題10個數(shù)與80的差如下:悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算

第12講年齡問題6,-2,-3,3,11,-6,12,-11,4,出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們

第13講雞兔同籠問題與假設(shè)法-5,其中“-”號表示這個數(shù)比80小。介紹一種方法一一湊整補零法。所謂

第14講盈虧問題與比擬法（一）于是得到湊整補零法，就是用所求數(shù)與最接近

第15講盈虧問題與比擬法（-）總和=80X10+（6-2-3+3+11-的整十?dāng)?shù)的差，通過移多補少，將所

第16講數(shù)陣圖（一）=800+9=809=求數(shù)轉(zhuǎn)化成?個整十?dāng)?shù)乘以另?數(shù)，

第17講數(shù)陣圖（二）實際計算時只需口算，將這些數(shù)再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題

第18講數(shù)陣圖（三）與80的差逐一累加。為了清楚起見,來說明這一方法。

第19將乘法原理將這一過程表示如下：例3求29?和82」的值。

第20講加法原理（一）通過口算，得到差數(shù)累加為9,解：29-=29X29

第21講加法原理（二）再加上80X10,就可口算出結(jié)果為=（29+1）X（29-1）+12

第22講復(fù)原問題（一）809。=30X28+1

第23講復(fù)原問題（二）例1所用的方法叫做加法的基準=840+1

第24講頁碼問題數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而=84lo

第25講智取火柴且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為82"=82X82

第26講邏輯問題（一）“基準”的數(shù)（如例1的80）叫做基=（82-2）X（82+2）+2’

第27講邏輯問題（二）準數(shù)，各數(shù)與基準數(shù)的差的和叫做累=80X84+4

第28講最不利原則計差。山例1得到：=6720+4

第29講抽屜原理（一）總和數(shù)-基準數(shù)X加數(shù)的個數(shù)+累計=6724?

第30講抽屜原理（二）差，由上例看出，因為23比30少1,

第1講速算與巧算（一）平均數(shù)=基準數(shù)?累計差?加數(shù)的個所以給29“補”1,這叫"補少”：

計算是數(shù)學(xué)的根底，小學(xué)生要學(xué)數(shù)因為82比80多2,所以從82中“移

好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計算本領(lǐng)。在使用基準數(shù)法時，應(yīng)選取與各走”2,這叫"移多”。因為是兩個

準確、快速的計算能力既是一種技數(shù)的差較小的數(shù)作為基準數(shù)，這樣才相同數(shù)相乘，所以對其口一個數(shù)“移

巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計容易計算累計差。同時考慮到基準數(shù)多補少"后，還需要在另一個數(shù)上

算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉。加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算“找齊”。本例中，給一個29補1,

記憶力，提高分析、判斷能力，促進出來，所以基準數(shù)應(yīng)盡量選取整十、就要給另一個29減1：給一個82減

思維和智力的開展。整百的數(shù)。了2,就要給另一個82加上2。最后，

我們在三年級已經(jīng)講過?些四例2某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)還要加上“移多補少”的數(shù)的平方。

那么運算的速算與巧算的方法，本講量如下〔單位：千克）：由湊整補零法計算35、得

和下一講主要介紹加法的基準數(shù)法462,480,443,420,473,429,468,35X35=40X30+52=1225。這與三年

桿乘法的補同與同補速算法。439,475,4610求平均每塊麥田的級學(xué)的個位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算

產(chǎn)量。方法結(jié)果相同。

解:選基準數(shù)為450,那么

這種方法不僅適用于求兩位數(shù)由卜式看出,當(dāng)兩個因數(shù)的個位I一一講我們介紹了一類兩位數(shù)

的平方值，也適用F求三位數(shù)或更多數(shù)之積是一位數(shù)時，應(yīng)在十位二補一乘法的速算方法，這一講討論乘法的

位數(shù)的平方值。個0,本例為7X1=07?！巴a”與"補同”速算法。

例4求993和2004?的值。用這種速算法只借口算就可以兩個數(shù)之和等于10,那么稱這兩

解：993^993X993方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計個數(shù)互補，在整數(shù)乘法運算中，常會

=(993+7)X(993-7)+72算。遇到像72X78,26X86等被乘數(shù)與

=1000X986+49練習(xí)1乘數(shù)的卜位數(shù)字相同或互補，或被乘

=986000+491.求下面10個數(shù)的總和：數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補的

=986049。165,152,168,171,148,156.169,情況。72X78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位

2d042-2004X2004161,157,149o數(shù)寧相同、個位數(shù)字互補，這類式子

=(2004-4)X(2004+4)+422.農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情我們稱為“頭相同、尾互補”型；26

=2000X2023+16況，量出12株麥苗的高度分別為(單X86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互

=4016000+16位：厘米)：補、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱

=4016016,26,25,25,23,27,28,26,24,為“頭互補、尾相同”型。計算這兩

下面，我們介紹一類特殊情況的29,27,27,25。求這批麥苗的平均類題目，有非常簡捷的速算方法，分

乘法的速算方法。高度。別稱為“同補”速算法和"補同”速

請看下面的算式：3.某車間有9個工人加工零件，他們算法。

66X46,73X88,19X44。加工零件的個數(shù)分別為：例1(1)76X74=?(2)31X39

這幾道算式具有一個共同特點，68,91,84,75,78,81,83,72,=7

兩個因數(shù)都是兩位數(shù)，?個因數(shù)的十79.分析與解：本例兩題都是“頭相

位數(shù)與個位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位他們共加工了多少個零件'同、尾互補"類型。

數(shù)與個位數(shù)之和為10。這類算式有非4.計算：(1)由乘法分配律和結(jié)合律，

常簡便的速算方法。134-16+10+11+17+12+15-124-得到

例588X64=?16+13+12。76X74

分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，5.計算以下各題：=(7+6)X(70+4)

得到⑴37、⑵53、(3)91J；=[70+6)X70+17+6)X4=70

88X64(4)68"：(5)108"：⑹X70+6X70+70X4+6X4

=(80+8)X(60+4)397%=70X〔70+6+4)4-6X4

=(80+8)X60+(80+8)X6.計算以下各題：=70X(70+10)+6X4

4(1)77X28：(2)66X55：=7X(7+1]X100+6X4。

=80X60+8X60+80X4+8X(3)33X19；(4)82X44；于是，我們得到下面的逑算式：

4(5)37X33：(6)46X99。(2)與(1)類似可得到下面的速算

=80X60+80X6+80X4+8X練習(xí)1答案式：

41.1596o2.26厘米。由例1看出，在“頭相同、尾互

=80X(60+6+4)+8X43.711個。4.147。補”的兩個兩位數(shù)乘法中，枳的末兩

=80X(60+10)+8X45.(1)1369；(2)2809；(3)位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積(不夠

=8X(6+1)X100+8X4?8281：兩位時前面補0,如1X9=09),積

于是，我們得到下面的速算式：(4)4624；(5)11664；(6)中從百位起前面的數(shù)是祓乘數(shù)(或乘

山上式看出，積的末兩位數(shù)是兩157609。數(shù))的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積。

個因數(shù)的個位數(shù)之積，本例為8X4；6.(1)2156；(2)3630；(3)“同補”速算法簡單地說就是：

積中從百位起前面的數(shù)是“個位與十627：積的末兩位是“尾X尾”，前面是"頭

位相同的因數(shù)"的H立數(shù)與“個位與⑷3608：(5)1221；(6)X(頭+1)”。

十位之和為10的因數(shù)"的十位數(shù)加4554o我們在三年級時學(xué)到的15X15,

1的乘積，本例為8X(6+1)。第2講速算與巧算(二)25X25,…，95X95的速算，實際上

例677X91=?就是“同補”速算法。

解：山例3的解法得到

例2(1)78XR8=?(2)43X63就是“補同"型,即''頭互補.尾相1-10()1F好可以分成這樣的50對

=?同”型。例如，數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高

分析與解：本例兩題都是“頭互補、斯把這道題巧算為

734X27A,

尾相同”類型。(1+100)X100+2=5050。

(1)由乘法分配律和結(jié)合律，得到小高斯使用的這種求和方法，真

586吧X586班等都是“補

78X38是聰明極了,筒單快捷，并且廣泛地

=(70+8)X(30+8)同"型。適用于“等差數(shù)列”的求和問題。

=(70+8)X30+(70+8)X8在計算多位數(shù)的“同補”型乘法假設(shè)干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，

=70X30+8X30+70X8+8X8時，例1的方法仍然適用。數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第

-70X30+8X(30+70)+8X8例3(1)702X708-?(2)1708一項稱為首項，最后一項稱為末項°

=7X3X100+8X100+8X8X1792=?后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為

=(7X3+8)X100+8X8。解：⑴等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公

于是，我們得到下面的速算式：(2)差二例如：

(2)與(1)類似可得到下面的計算多位數(shù)的“同補”型乘法(1)1,2,3,4,5,…，100；

速算式：時，將“頭X(頭+1)”作為乘積的(2)1,3,5,7,9,…,99；(3)

立例2看出，在“頭互補、尾相同"前幾位，將兩個互補數(shù)之積作為乘積8,15,22,29,36,…，71.

的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)的后幾位。其中(1)是首項為1.末項為

是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積(不夠兩位注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，那么應(yīng)100,公差為1的等差數(shù)列；(2)是

時前面補0,如3X3=09),積中從占乘積的后2n位，缺乏的位補“0"o首項為1,末項為99,公差為2的等

百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位在計算多位數(shù)的“補同”型乘法差數(shù)列：(3)是首項為8,末項為

數(shù)之枳加上被乘數(shù)(或乘數(shù))的個位時，如果“補”與"同"，即"頭"71,公差為7的等差數(shù)列。

數(shù)。“補同”速算法簡單地說就是：與“尾"的位數(shù)相同，那么例2的方由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)

程的末兩位數(shù)是“尾X尾"，前面是法仍然適用(見例4)；如果"補”列的求和公式：

“頭x頭+尾：與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的和=(首項+末項)X項數(shù)+2。

例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)方法不再適用，因為沒有簡捷實用的例11+2+3+…+1999=?

的“同補”或"補同”形式的速算法。方法，所以就不再討論了。分析與解：這串加數(shù)1,2,3,…，

當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時.，情況會例42865X7265=?1999是等差數(shù)列，首項是1,末項是

發(fā)生什么變化呢？解：1999,共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列

我們先將互補的概念推廣一下。當(dāng)兩練習(xí)2求和公式可得

個數(shù)的和是10,100,1000,…時,計算以下各題：原式=(1+1999)X19994-2=

這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補。如431.68X62：2.93X97；1999000o

與57互補，99與1互補，555與4453.27X87：4.79X39：注意：利用等差數(shù)列求和公式之

互補。5.42X62：6.603X607；前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是

在一個乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與7.693X607；8.4085X60850否構(gòu)成等差數(shù)列。

乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位第3講高斯求和例211+12+13+…+31=?

數(shù)互補時，這個算式就是“同補”型，德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代分析與解：這串加數(shù)11,12,13,…，

即“頭相同，尾互補”型。例如聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了31是等差數(shù)列，首項是11,末項是

7077X70在，，因為被乘數(shù)與乘一道題讓同學(xué)們計算：31,共有31-11+1=21(項)。

數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是70,后兩位1+2+3+4+…+99+100=?原式=(11+31)X214-2=441?

數(shù)互補,77+23=100,所以是“同老師出完題后，全班同學(xué)都在埋在利用等差數(shù)列求和公式時，行時項

補”型。又如頭計算，小高斯卻很快算出答案等于數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先

5050。高斯為什么算得又快又往呢？求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的

148X152,238X232,,

原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：關(guān)系，可以得到

等都是“同補”型。14-100=24-99=3+98=-=494-項數(shù)=(末項-首項)+公差+1,

當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，52=50+51。末項=首項+公差X(項數(shù)-1)。

后面的幾位數(shù)相同時.，這個乘法算式例33+7+11+???+99=?

分析與解：：，7.11.99是公差第二次多了2X2只球……第十次多性質(zhì)3如果一個數(shù)能分別被兩個互

為4的等差數(shù)列，了2X10只球。因此拿了十次后，多質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)一定能

項數(shù)=(99-3)+4+1=25,T被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。

原式=(3+99)X254-2=1275o2X1+2X2+…+2X10例如，126能被9整除，又能被7整

例4求首項是25,公差是3的等差=2X(1+2+…+10)除，且9與7互質(zhì)，那么126能被9

數(shù)列的前40項的和。=2X55=110(只)。X7=63整除。

解：末項=25+3K(40-1)=142,加上原有的3只球，盒子里共有利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們

和=(25+142)X40+2=3340.球110+3=113(H)o可以解決許多與整除有美的問題。為

利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和綜合列式為：了進一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)

末項的公式，可以解次名種弓等差數(shù)(3-1)X[1+2+…+10)-4-3過的和物理學(xué)習(xí)的一蛀整除的數(shù)字

列求和有關(guān)的問題。=2X[(1+10)X104-2]+3=113特征列出來：

例5在以下圖中，每個最小的等邊三1只)。(1)一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0,

角形的面積是12厘米2,邊長是1練習(xí)32,4,6,8中的一個，那么這個數(shù)就

根火柴棍。問：(1)最大三角形的1.計算以下各題：能被2整除。

面積是多少平方厘米？(2)整個圖(1)2+4+6+…+200：(2)一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0

形由多少根火柴棍找成？(2)17+19+21+…+39；或5,那么這個數(shù)就能被5整除。

分析：最大三角形共有8層，從上往(3)5+8+11+14+…+50；(3)一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字

下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用(4)3+10+17+24+…+101。之和如果能被3整除，那么這個數(shù)就

火柴數(shù)目如下表：2.求甘項是5,末項是93,公差是4能被3整除。

I1：■|i:H；i|的等差數(shù)列的和。(4)一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能

3.求首項是13,公差是5的等差數(shù)列被4(或25)整除，那么這個數(shù)就能

011：j.n:i!is的前30項的和。被4(或25)整除。

4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)(5)一個數(shù)的末三位數(shù)如果能

等于該鐘點數(shù)，每半點鐘也敲一下。被8(或125)整除，那么這個數(shù)就

位上表看出，各層的小三角形數(shù)成等問：時鐘一晝夜敲打多少次？能被8(或125)整除。

差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的(6)一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字

列。和。之和如果能被9整除，那么這個數(shù)就

解：(1)最大三角形面積為6.在所有的兩位數(shù)中，I?位數(shù)比個位能被9整除。

(1+3+5+…+15)X12數(shù)大的數(shù)共有多少個？其中11)(2)(3)是三年級

=[[1+15)X84-2]X12第四講學(xué)過的內(nèi)容，(4)(5)(6)是本

=768(厘米2).我們在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2,3,講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

2：火柴棍的數(shù)目為5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討因為100能被4(或25)整除，

3+6+9+…+24論整除的性質(zhì)，并講解能被4,8,9所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都

=(3+24)X84-2=108(根)。整除的數(shù)的特征。能被4(或25)整除。因為任何自然

答：最大三角形的面積是768厘米2,數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)

整個圖形由108根火柴擺成。性質(zhì)1如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)

例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙2知，只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被4

術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將數(shù)整除。例如，48能被16整除，16(或25)整除，這個數(shù)就能被4(或

它變成3只球后放回盒子里；第二次能被8整除，那么48一定能被8整25)整除。這就證明了(4)o

又從盒子里拿出二只球，將每只球各除。類似地可以證明(5)。

變成3只球后放回盒子里……第十次性質(zhì)2如果兩個數(shù)都能被一個自然(6)的正確性，我們用一個具

從盒子里拿出I?只球，將每只球各變數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差也一體的數(shù)來說明一般性的證明方法。

成3只球后放回到盒子里。這時盒r定能被這個自然數(shù)整除。例如，21837=800+30+7

里共有多少只乒乓球？與15都能被3整除，那么21+15及=8X100+3X104-7

分析與解：一只球變成3只球，實際21-15都能被3整除。=8X(99+1)+3X(9+1)+7

上多了2只球。第一次多了2只球，=8X99+8+3X9+3+7

=(8X99+3X9)+(8+3+7).只需判斷這個數(shù)能否同時被？和4整推知A可取0.2.4.6.8這五個值。

因為99和9都能被9整除，所除：判斷一個數(shù)能否被72整除，只再由六位數(shù)能被3整除，推知

以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整3+A+B+A+B+A=3+3A+2B

(8x99+3x9)能被9整除。再根據(jù)除：如此等等。能被3整除，故2B能被3整除。

整除的性質(zhì)2,由(8+3+7)能被9例3從0,2,5,7四個數(shù)字中任選B可取0,3,6,9這4個值。由于B

整除，就能判斷837能被9整除。三個，組成能同時被2,5,3整除的可以取4個值，A可以取5個值，題

利用(4)(5)(6)還可以求出數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進行排列。目沒有要求AWB,所以符合條件的六

一個數(shù)除以4,8,9的余數(shù)：解：因為組成的三位數(shù)能同時被2,5位數(shù)共有5X4=20(個)。

(4一個數(shù)除以4的余數(shù)，與它整除，所以個位數(shù)字為0。根據(jù)三位

例6要使六位數(shù)15ABe6能被36整

的末兩位除以4的余數(shù)相同。數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2+7

(5,)一個數(shù)除以8的余數(shù)，與它+0與5+7+0都能被3整除，因此除，而且所得的商最小，問A,B,C

的末三位除以8的余數(shù)相同。所求的這些數(shù)為270,570,720,750。各代表什么數(shù)字？

(6‘)一個數(shù)除以9的余數(shù)，與它分析與解：因為36=4X9,且4

例4五位數(shù)A329B能被72整除，

的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。與9互質(zhì)，所以這個六位數(shù)應(yīng)既能被

例1在下面的數(shù)中，哪些能被4整問：A與B各代表什么數(shù)字？4整除又能被9整除。六位數(shù)

除？哪些能被8整除？哪些能被9整

分析與解：A329B能被72整除。15ABe6能被4整除，就要C6能

除？

234,789,7756,8865,3728.8064。因為72=8X9,8和9是互質(zhì)數(shù),所被4整除，因此C可取I,3,5,7,

解：能被4整除的數(shù)行7756,3728,9,

以A329B既能被8整除，又能被9

8064：要使所得的商最小，就要使

能被8整除的數(shù)有3728,8064：整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，

15ABe6這個六位數(shù)盡可能小。因

能被9整除的數(shù)有234,8865,8064。

要求29B"能被8整除，由此可確定

例2在四位數(shù)56D2中,被蓋住的卜此首先是A盡量小，其次是B盡量小，

位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別15=6。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，最后是C盡量小。先試取A=0。六位

能被9,8,4整除？

A329B的各位數(shù)字之和為數(shù)15UBC6的各位數(shù)字之和為12

解：如果56口2能被9整除，那么

5+6+口+2=13+口A+3+2+9+B=A+3—f-2-9+6+B+C。它應(yīng)能被9整除，因此B+C

應(yīng)能被9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5,=A+20,=6或B+C=15。因為B,C應(yīng)盡量

跳四位數(shù)是5652時能被9整除；因為1WAW9,所以21WA+20小,所以B+C=6,而C只能取1,3,

如果5602能被8整除，那么6W29。在這個范圍內(nèi)只有27能被9

5,7,9,所以要使［50BC6盡可能

匚2應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是整除，所以A=7。

3或7,即四位數(shù)是5632或5672時解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8小，應(yīng)取B=l,C=5?

能被8整除：X9,再分別根據(jù)能被8和9整除的當(dāng)A=0,B=LC=5時,六位數(shù)

如果56口2能被4整除,那么口數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為

2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1,字。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代1501564-36=4171,

3,5,7,9,即四位數(shù)是5612,5632,表的數(shù)字，因為B代表的數(shù)字不受A練習(xí)4

5652,5672,5692時能被4整除。的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)1.6539724能被4,8,9,24,36,

到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過能被字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易72中的哪兒個數(shù)整除？

2,3,5,4,8,9整除的數(shù)的特征。確定了。2.個位數(shù)是5,且能被9整除的三位

根據(jù)整除的性質(zhì)3,我們可以把判斷數(shù)共右.多少個？

例5六位數(shù)3ABABA是6的倍數(shù),

整除的范圍進?步擴大。例如，判斷3.?些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3,

一個數(shù)能否被6整除，因為6=2X3,這樣的六位數(shù)有多少個？H立上的數(shù)字都是6,并且它們既能

2與3互質(zhì)，所以如果這個數(shù)既能被分析與解：因為6=2X3,且2與3被2整除又能被3整除。在這樣的四

2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除互質(zhì)，所以這個整數(shù)既能被2整除又位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？

的性質(zhì)3,可判定這個數(shù)能被6整除。能被3整除。由六位數(shù)能被2整除，

同理，判斷一個數(shù)能否被12整除，

分析與解：利用棄九法.將和為9的例4檢驗下面的減法算式是否正確：

4.五位數(shù)癇7A能被12整除，求

數(shù)依次劃掉。7832145-2167953=5664192。

這個五位數(shù)。只剩下7,6,1,5四個數(shù)，這分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)

5.有一個能被24整除的四位數(shù)口23時口算一下即可?？谒阒?，7,6,5的九余數(shù)(假設(shè)不夠減.可在被減數(shù)

匚，這個四位數(shù)最大是兒？最小是的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下的九余數(shù)上加9,然后再減)應(yīng)當(dāng)?shù)?/p>

幾？1。所以這個多位數(shù)除以9余1。于差的九余數(shù)。如果不等，那么這個

6.從0,2,3,6,7這五個數(shù)碼中例2將自然數(shù)1,2,3,…依次無間減法計算肯定不正確。上式中被減數(shù)

選出四個，可以組成多少個可以被8隔地寫下去組成一個數(shù)…如果一直的九余數(shù)是3,減數(shù)的九余數(shù)是6,

整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？寫到自然數(shù)100,那么所得的數(shù)除以由(9+3)-6=6知,原題等號左邊的

7.在123的左右各添一個數(shù)碼，使9的余數(shù)是多少？九余數(shù)是6。等號右邊的九余數(shù)也是

得到的五位數(shù)能被72整除。分析與解：因為這個數(shù)太大，全部寫6。因為6=6,所以這個減法運算可

8.學(xué)校買了72只小足球，發(fā)票上的出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐能正確。

總價有兩個數(shù)字已經(jīng)識別不清，只看個劃抻和為9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以值得注意的是，這里我們用的是

到是口67.9口元，你知道每只小足球要配適宜當(dāng)?shù)姆治觥Ｎ覀円呀?jīng)熟知“可能正確”。利用棄九法檢驗加

多少錢嗎？1+2+3+…+9=45,法、減法、乘法(見例5)運算的結(jié)

第5講棄九法而45是9的倍數(shù)，所以每一組1,果是否正確時，如果等號兩邊的九余

從第4講知道，如果一個數(shù)的各2,3,…，9都可以劃掉。在1?99數(shù)不相等，那么這個算式肯定不正

個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那這九十九個數(shù)中，個位數(shù)有十組1,2,確：如果等號兩邊的九余數(shù)相等，那

么這個數(shù)能被9整除：如果一個數(shù)各3,…，9,都可劃掉；十位數(shù)也有.十么還不能確定算式是否正確，因為九

個數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是組1,2,3,…，9,也都劃掉。這樣余數(shù)只有0,1,2,8九種情況,

幾，那么這個數(shù)被9除的余數(shù)也一定在這個大數(shù)中，除了0以外，只剩下不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以

是幾。利用這個性質(zhì)可以迅速地判斷最后的100中的數(shù)字1。所以這個數(shù)用棄九法檢驗運算的正確性，只是一

個數(shù)能否被9整除或者求出被9除除以