第第頁專題4-等積變形（位移、割補(bǔ)及排水問題）小升初數(shù)學(xué)模塊化思維提升（知識梳理+典題精講+專項訓(xùn)練）1、等積變形（位移、割補(bǔ)）的主要方法：

（1）三角形內(nèi)等底等高的三角形；

（2）平行線內(nèi)等底等高的三角形；

（3）公共部分的傳遞性；

（4）極值原理（變與不變）。2、體積的等積變形主要是用排水法，主要有以下幾種情形：

（1）當(dāng)物體浸沒于容器中時，要根據(jù)物體的體積等于容器內(nèi)下降（升高）部分水的體積這一隱含條件來解題；

（2）當(dāng)物體仍有部分露于水面時，要根據(jù)水的體積未變，只是底面積變了，且體積=底面積×高這一隱含條件來解題；

（3）要使得高相等，要記得把物質(zhì)的體積看做一個整體，然后根據(jù)總體積未變，只是底面積變了，且體積=底面積×高這一隱含條件來解題?！镜淅弧课覈糯鷶?shù)學(xué)家劉徽利用“出入相補(bǔ)”原理計算平面圖形的面積，其原理是：把一個圖形分割、移補(bǔ)，而面積保持不變。下面沒有用到這個原理的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用“出入相補(bǔ)”原理來計算平面圖形的面積，根據(jù)數(shù)學(xué)常識即可完成判斷?！窘獯稹拷猓河^察圖形可知，不是根據(jù)“出入相補(bǔ)”原理來推導(dǎo)的。故選：。【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)常識“出入相補(bǔ)”原理的掌握情況?！镜淅咳鐖D1、圖2所示，梯形上底長3厘米，下底長6厘米，高為3厘米，為邊上任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積。小東是這樣想的：為邊上任意一點(diǎn)，不妨讓點(diǎn)落在點(diǎn)處（如圖3所示），這樣陰影部分就是三角形，面積是。當(dāng)點(diǎn)落在其它位置時，雖然陰影部分的形狀不同，但面積應(yīng)該是不會變的，仍是。你認(rèn)為東東的想法怎么樣？寫出你這樣判斷的理由?！痉治觥咳切蔚拿娣e底高，點(diǎn)如果不是、兩點(diǎn)，那么點(diǎn)分成底在邊上的兩個三角形，它們的高相等，兩個底的和是，所以這兩個三角形的面積和就是以為底，以梯形的高為高的三角形的面積，由此判斷?！窘獯稹拷猓簴|東的想法是正確的。原因如下：點(diǎn)分成底在邊上的兩個三角形，如題目中的圖1、圖2，它們的高相等，兩個底的和是。根據(jù)三角形的面積底高可知：陰影部分兩個三角形的面積和三角形的面積。所以無論落在何處，面積都是。【點(diǎn)評】本題考查了學(xué)生對于三角形面積公式的理解和掌握情況，關(guān)鍵是明確分成的兩個三角形的高是原來梯形的高，兩個底的和是原來梯形的下底?！镜淅恳粋€容器中已注滿水，有大、中、小三個球．第一次把小球沉入水中，第二次把小球取出，把中球沉入水中，第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中，現(xiàn)知道每次從容器中溢出水量的情況是：第一次是第二次的，第三次是第二次的1.5倍．求三個球的體積之比．【分析】根據(jù)題意，先設(shè)小球的體積是1，由此即可表示出每次溢出的水，再根據(jù)溢出的水與小球的關(guān)系，即可求出答案．【解答】解：第一次溢出的水是小球的體積，假設(shè)為1，第二次溢出的水是中球的體積小球的體積，第三次溢出的水是大球的體積小球的體積中球的體積，第一次是第二次的，所以中球的體積為，第三次是第二次的1.5倍，第二次是2；，答：三個球的體積之比是：．【點(diǎn)評】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)題意，找出對應(yīng)量，即可解答．解答此題的主要依據(jù)是：排出的水的體積就等于放入水中的物體的體積．一．選擇題（共4小題）1．芳芳模仿我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用“出入相補(bǔ)”的原理計算平面圖形的面積，如圖所示，下列說法中不正確的是A．長方形的長等于三角形高的一半 B．長方形的面積等于三角形的面積 C．長方形的寬等于三角形的底的一半【分析】通過觀察圖形可知，把三角形“轉(zhuǎn)化”為長方形，這個長方形的長等于三角形的高，長方形的寬等于三角形底的一半，長方形的面積等于三角形的面積；據(jù)此解答即可?！窘獯稹拷猓焊鶕?jù)圖意可得：這個長方形的長等于三角形的高；長方形的面積等于三角形的面積；長方形的寬等于三角形底的一半；所以選項說法錯誤。故選：。【點(diǎn)評】此題考查的目的是理解掌握三角形面積公式的推導(dǎo)方法及應(yīng)用。2．如圖，甲（底面直徑8厘米），乙（底面直徑10厘米），兩個圓柱形容量中的水深都是6厘米，分別往兩個容器中放入一個體積相同的鐵球（全部淹沒，水沒有溢出）后，甲乙兩個容器水面高度是A．甲高 B．乙高 C．一樣高 D．無法判斷【分析】由題意可知，兩個圓柱形容量中的水深都是6厘米，即原來水面高度相同，要比較后來甲乙兩個容器中的水面高度，只要比較兩個圓柱形容器中上升部分水的高度即可；由于是分別往兩個容器中放入一個體積相同的鐵球（全部淹沒，水沒有溢出），所以兩個圓柱形容器中上升部分水的體積都等于體積相同的鐵球的體積，即兩個圓柱形容器中上升部分水的體積是相等的，又因為圓柱的體積底面積高，體積一定時則底面積與高成反比例，已知甲底面直徑8厘米，乙底面直徑10厘米，即甲的底面積小于乙的底面積，則甲升高的高度要大于乙升高的高度，所以后來甲容器中的水面高；據(jù)此解答．【解答】解：由于原來水面高度相同，要比較后來甲乙兩個容器中的水面高度，只要比較兩個圓柱形容器中上升部分水的高度即可；分別往兩個容器中放入一個體積相同的鐵球（全部淹沒，水沒有溢出），所以兩個圓柱形容器中上升部分水的體積都等于體積相同的鐵球的體積，即兩個圓柱形容器中上升部分水的體積是相等的；又因為圓柱的體積底面積高，體積一定時則底面積與高成反比例，已知甲底面直徑8厘米，乙底面直徑10厘米，即甲的底面積小于乙的底面積，則甲升高的高度要大于乙升高的高度；所以后來甲容器中的水面高；故選：．【點(diǎn)評】此題考查了體積的等積變形，關(guān)鍵是明確兩個圓柱形容器中上升部分水的體積都等于鐵球的體積，即兩個圓柱形容器中上升部分水的體積是相等的．3．如圖，長方形的面積與圓的面積相等，已知陰影部分的面積是，圓的周長是．A．18.84 B．75.36 C．37.68【分析】求圓的周長，需要求出圓的半徑；由圖形可知長方形的長相當(dāng)于圓的周長的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑；因為已知圓的面積和長方形面積相等，又由已知陰影部分的面積是，可求長方形的面積，即可求出圓的半徑，據(jù)此解答即可．【解答】解：；，．答：圓的周長是．故選：．【點(diǎn)評】此題變相的考查圓的面積的推導(dǎo)過程，解答此題的關(guān)鍵是得出陰影部分面積是圓面積的．4．我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用“出入相補(bǔ)”原理計算平面圖形的面積，下面沒有用到這個原理的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用“出入相補(bǔ)”原理來計算平面圖形的面積，根據(jù)數(shù)學(xué)常識即可完成判斷?！窘獯稹拷猓簺]有用到這個原理求面積。故選：?！军c(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)常識“出入相補(bǔ)”原理的掌握情況。二．填空題（共7小題）5．一個長方體水箱，高15分米，里面水深6分米，把一個圓柱體鐵塊完全浸沒在水中后，這時水面高度是9.6分米，接著又把一個圓錐體鐵塊完全浸沒在水中．已知圓柱體鐵塊與圓錐體鐵塊底面半徑的比是，高的比是，現(xiàn)在水面的高度是10.4分米．【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓柱的底面半徑為3，高為2，則圓錐的底面半徑為2，高為3，根據(jù)圓柱的體積計算公式“”、圓錐的體積計算公式“”、即可求出圓柱鐵塊與圓錐鐵塊的體積之比，再用水面升高的高度分米，除以圓柱體鐵塊的份數(shù)乘圓錐體鐵塊的份數(shù)就是此時水面上升的高度，再加上9.6分米即為現(xiàn)在的水面高度．【解答】解：圓柱鐵塊的體積：圓錐鐵塊的體積（分米）（分米）答：現(xiàn)在水面高度是10.4分米．故答案為：10.4．【點(diǎn)評】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)圓柱體積公式、圓錐體積公式及已知條件求出圓柱鐵塊與圓錐鐵塊的體積之比，再根據(jù)分析或列比例求出放入圓錐鐵塊后水面上升的高度．6．我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用“出入相補(bǔ)”原理計算平面圖形的面積。出入相補(bǔ)原理是指：把一個圖形分割、移補(bǔ)，而面積不變。如圖所示，拼成的平行四邊形的面積是，底是，則三角形的面積是12，高是。【分析】通過觀察圖形可知，把三角形“轉(zhuǎn)化”為平行四邊形，這個三角形的底等于平行四邊形的底，三角形的高等于平行四邊形的高的2倍；已知三角形的面積和底，求高，用“三角形的面積底”；據(jù)此解答即可?！窘獯稹拷猓浩闯傻钠叫兴倪呅蔚拿娣e是，底是，則三角形的面積是12平方厘米。（厘米）答：三角形的面積是，高是。故答案為：12；4?！军c(diǎn)評】此題考查的目的是理解掌握三角形面積公式的推導(dǎo)方法及應(yīng)用。7．一級臺階的長10米、寬0.8米、高0.5米，從一樓到二樓有12級臺階，二樓到六樓每層有18級臺階，臺階的表面積1092平方米．【分析】根據(jù)題意可知：每級臺階的上面是長方形，長10米，寬0.8米，高0.5米；臺階的表面積包括每級臺階的上面，而且還包括每級臺階的前面．因此先求一級臺階的面積，再乘臺階總數(shù)量即可．【解答】解：（級（平方米）答：臺階的表面積1092平方米．故答案為：1092．【點(diǎn)評】解答有關(guān)長方體計算的實際問題，一定要搞清所求的是什么，再進(jìn)一步選擇合理的計算方法進(jìn)行計算解答問題．8．如圖，大正方形的邊長是，小正方形的邊長是，那么圖中陰影部分的面積是50。【分析】連接，陰影部分面積三角形面積三角形面積三角形面積；三角形的底厘米，高厘米；三角形的底厘米，高厘米；三角形底厘米，高厘米?！窘獯稹拷猓哼B接，陰影部分面積三角形面積三角形面積三角形面積。（平方厘米）故答案為：50?！军c(diǎn)評】本題有多種方法，本解法運(yùn)用拆分的方法，把陰影分部拆分成幾個部分。9．如圖，正方形的邊長為，三角形的面積是，圖中陰影部分的面積是12【分析】如圖：連接，根據(jù)等底等高的兩個三角形的面積相等，可知三角形的面積等于三角形的面積，又因為三角形的面積是長方形面積的一半，三角形的面積是長方形面積的一半，所以只要計算出正方形的面積，再除以2，即可求出梯形的面積，減去三角形的面積，即可求出陰影部分的面積?！窘獯稹拷猓海ㄆ椒嚼迕祝┐穑簣D中陰影部分的面積是。故答案為：12?！军c(diǎn)評】本題考查陰影部分面積的計算。通過等積變形的方法進(jìn)行計算即可，注意計算的準(zhǔn)確性。10．如圖，外側(cè)大正方形的邊長是10厘米，圖中陰影部分的面積是27.5平方厘米，那么圓內(nèi)的大正方形面積是小正方形面積的5倍．【分析】把序號1的陰影面積移到2，3的移到4，5的移到6，可知總陰影部分的面積大正方形的面積四分之一圓內(nèi)小正方形的面積四分之一，然后求出大正方形的面積四分之一，再用總陰影部分的面積大正方形的面積四分之一圓內(nèi)小正方形的面積四分之一，進(jìn)而求出圓內(nèi)小正方形的面積；再求出圓內(nèi)大正方形的面積，最后求出圓內(nèi)的大正方形面積是小正方形面積的幾倍．【解答】解：由分析可知：總陰影部分的面積大正方形的面積四分之一圓內(nèi)小正方形的面積四分之一（平方厘米），大正方形的面積四分之一：（平方厘米），所以圓內(nèi)小正方形的面積四分之一：（平方厘米），則圓內(nèi)小正方形的面積（平方厘米），圓內(nèi)大正方形的面積：（平方厘米），圓內(nèi)的大正方形面積是小正方形面積的：（倍；故答案為：5．【點(diǎn)評】解答此題認(rèn)真觀察圖形之間的關(guān)系，將圖形重組，發(fā)現(xiàn)總陰影部分的面積大正方形的面積四分之一圓內(nèi)小正方形的面積四分之一是解題的關(guān)鍵．11．一個棱長是的正方體容器裝滿了水后，倒入一個底面積是的圓錐形容器正好裝滿，這個圓錐的高是36分米．【分析】倒入前后的水的體積不變，由此先利用正方體的容積公式求出水的體積，再利用圓錐的高水的體積底面積即可解答．【解答】解：（立方分米）（分米）答：這個圓錐形容器的高是36分米．故答案為：36分米．【點(diǎn)評】此題考查了正方體和圓錐的體積公式的靈活應(yīng)用，此題中水的體積就是正方體和圓錐的容積，抓住水的體積不變進(jìn)行解答是關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）12．桌面上有一個的長方形。小思說：“我在數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)過圓柱是可以通過長方形旋轉(zhuǎn)形成。我可以用這個長方形的長和寬分別為軸，旋轉(zhuǎn)形成兩個圓柱?！毙←愓f：“我覺得這兩個圓柱的體積是相同的，因為是用同一個長方形旋轉(zhuǎn)形成的。”（1）圓柱的底面半徑為2，高為；圓柱的底面半徑為，高為。（2）小麗的說法是□正確□錯誤）的。（在正確答案前的□內(nèi)畫“”在下面的方框內(nèi)用畫圖、文字、公式等方式說明理由?！痉治觥浚?）以長為軸旋轉(zhuǎn)，寬為圓柱的底面半徑，長為高；以寬為軸旋轉(zhuǎn)，長是圓柱的底面半徑，寬是高；據(jù)此解答；（2）分別計算圓柱的體積，再畫圖即可?！窘獯稹拷猓海?）圓柱的底面半徑為，高為；圓柱的底面半徑為，高為。（2）小麗的說法是□正確□錯誤的。理由如圖：故答案為：2，4；4，2?！军c(diǎn)評】本題考查了圓柱體的體積公式的靈活運(yùn)用。13．我國古代偉大數(shù)學(xué)家劉徽在研究平面圖形面積時提出了“以盈補(bǔ)虛”的思想方法，即以多余補(bǔ)不足，本質(zhì)上是等積變換。請你觀察下面兩幅圖，你能運(yùn)用這種方法解釋并推導(dǎo)出三角形和梯形的面積公式嗎？【分析】根據(jù)三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)過程可知，都是通過“轉(zhuǎn)化”，把三角形轉(zhuǎn)化長方形、梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，根據(jù)長方形和平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出三角形、梯形的面積公式。據(jù)此解答。【解答】解：如圖：把三角形通過分割、移補(bǔ)，拼成一個長方形，這個長方形的長等于三角形的底，長方形的寬等于三角形高的一半，因為長方形的面積長寬，所以三角形的面積底高；同理：把圖形通過分割、移補(bǔ)，拼成一個平行四邊形，這個平行四邊形的底等于梯形上下底之和，平行四邊形的高等于梯形高的一半，因為平行四邊形的面積底高，所以梯形的面積（上底下底）高?！军c(diǎn)評】此題考查的目的是理解掌握三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。14．五一班的淘氣和芳芳在探索梯形面積時，用了如下不同的方法：（1）你認(rèn)為淘氣的方法可行嗎？請說明理由。（2）請你幫忙完成芳芳的思維過程和拓展練習(xí)。①將圖1中的梯形剪成兩部分，再拼成圖2，那么圖2的形狀是：平行四邊形。②用圖1中的字母表示圖2的底、高與面積：則圖2的底是，高是，面積是。③如果圖2陰影部分面積是，正好占它所在整個圖形面積的三分之一，那么圖2空白部分的面積是。④這學(xué)期通過平行四邊形的面積計算公式，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想還推導(dǎo)出了的面積計算公式?！痉治觥浚?）他的方法可行。理由：淘氣把兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形，梯形的上底和下底的和剛好是平行四邊形的長，轉(zhuǎn)化后的平行四邊形的寬與原來梯形的高相等，平行四邊形的面積長寬，則梯形的面積（上底下底）高。（2）①根據(jù)圖示可知圖1轉(zhuǎn)化為圖2后，圖2時平行四邊形。②圖2的底是圖1的上底長和下底長，即，高是的一半，即，面積是底高，即。③陰影部分正好占它所在整個圖形面積的是6，已知一個數(shù)的幾分之幾是幾，求這個數(shù)用除法計算，即計算出整個圖形的面積，然后則空白部分占整個圖形的，用整個圖形的面積乘對應(yīng)的分率即可求解；④運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想還推導(dǎo)出了三角形的面積計算公式。據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓海?）他的方法可行。理由：淘氣把兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形，梯形的上底和下底的和剛好是平行四邊形的長，轉(zhuǎn)化后的平行四邊形的寬與原來梯形的高相等，平行四邊形的面積長寬，則梯形的面積（上底下底）高。（2）①將圖2的形狀是：平行四邊形。。②圖2的底是圖1的上底長和下底長之和，即，高是圖1高的一半，即，面積是底高，即。③即圖2空白部分的面積是。④這學(xué)期通過平行四邊形的面積計算公式，運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想還推導(dǎo)出了三角形的面積計算公式。故答案為：①平行四邊形；②，，；③；④轉(zhuǎn)化，三角形?！军c(diǎn)評】本題考查了等積轉(zhuǎn)化的應(yīng)用。15．某賓館要在樓梯上鋪一條寬的地毯（如圖），地毯的總面積至少是多少？【分析】這個地毯的長度應(yīng)該是樓梯的水平長6.2米與垂直高2.8米的和，寬就是2米，根據(jù)長方形的面積公式進(jìn)行解答即可．【解答】解：，，（平方米）；答：地毯的總面積至少是18平方米．【點(diǎn)評】本題運(yùn)用長方形的面積公式進(jìn)行解答即可，注意地毯的長度的計算是本題的關(guān)鍵．16．小林先用橡皮泥捏成一個底面積是，高是的圓柱（如圖），然后對它進(jìn)行“等積變形”。①如果把這個圓柱捏成一個長方體，那么相關(guān)數(shù)據(jù)可能是多少？請你畫出草圖，并標(biāo)出關(guān)鍵數(shù)據(jù)。②如果把這個圓柱捏成一個圓錐，那么相關(guān)數(shù)據(jù)可能是多少？請你畫出草圖，并標(biāo)出關(guān)鍵數(shù)據(jù)?！痉治觥竣俑鶕?jù)圓柱的體積與長方體的體積相等，找到符合題意的長方體的長、寬、高，畫圖即可；②根據(jù)圓錐的體積公式：，結(jié)合圓錐的體積等于等底等高的圓柱體積的，計算圓錐的底面半徑和高，作圖即可。【解答】解：①（立方厘米）如圖：（畫法不唯一）②底面積相等，圓錐的高是圓柱高的3倍，則體積相等。（厘米）如圖：（畫法不唯一）【點(diǎn)評】本題主要考查圓柱、圓錐、長方體體積公式的應(yīng)用。17．在底面邊長為60厘米的正方形的一個長方體的容器里，直立著一個長1米，底面為正方形，邊長15厘米的四棱柱鐵棍．這時容器里的水半米深．現(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸濕部分長多少厘米？【分析】根據(jù)“這時容器中的水深50厘米”，可知原來鐵棍被水浸濕的部分是在50厘米處，后來將鐵棍提起24厘米，就會露出浸濕的24厘米，同時將鐵棍提起，水位肯定是要下降的，據(jù)此只要把水位下降的高度求出來（用長、寬都是15厘米，高是24厘米鐵塊的體積除以容器的底面積），進(jìn)而加上