PAGEPAGE8題組層級快練(六十二)1．(2024·廣東中山第一次統(tǒng)測)過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點．假如x1＋x2＝6，那么|AB|＝()A．6 B．8C．9 D．10答案B解析|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝8.故選B.2．若拋物線y＝4x2上一點到直線y＝4x－5的距離最短，則該點的坐標是()A．(eq\f(1,2)，1) B．(0，0)C．(1，2) D．(1，4)答案A解析設(shè)與直線y＝4x－5平行的直線為y＝4x＋m，由平面幾何的性質(zhì)可知，拋物線y＝4x2上到直線y＝4x－5的距離最短的點即為直線y＝4x＋m與拋物線相切的點．而對y＝4x2求導(dǎo)得y′＝8x，又直線y＝4x＋m的斜率為4，所以8x＝4，得x＝eq\f(1,2)，此時y＝4×(eq\f(1,2))2＝1，即切點為(eq\f(1,2)，1)，故選A.3．(2024·廣東汕頭第三次質(zhì)檢)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，與直線y＝2x－4交于A，B兩點，則cos∠AFB＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)答案D解析∵拋物線C：y2＝4x的焦點為F，∴點F的坐標為(1，0)．又∵直線y＝2x－4與C交于A，B兩點，∴A，B兩點坐標分別為(1，－2)，(4，4)，則eq\o(FA,\s\up6(→))＝(0，－2)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(3，4)，∴cos∠AFB＝eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·\o(FB,\s\up6(→)),|\o(FA,\s\up6(→))||\o(FB,\s\up6(→))|)＝eq\f(－8,10)＝－eq\f(4,5).故選D.4．直線l與拋物線C：y2＝2x交于A，B兩點，O為坐標原點，若直線OA，OB的斜率k1，k2滿意k1k2＝eq\f(2,3)，則直線l過定點()A．(－3，0) B．(0，－3)C．(3，0) D．(0，3)答案A解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為k1k2＝eq\f(2,3)，所以eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(2,3).又y12＝2x1，y22＝2x2，所以y1y2＝6.將直線l：x＝my＋b代入拋物線C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，所以b＝－3，即直線l：x＝my－3，所以直線l過定點(－3，0)．5．(2024·安徽蕪湖模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點弦AB的兩端點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(y1y2,x1x2)的值肯定等于()A．－4 B．4C．p2 D．－p2答案A解析①若焦點弦AB⊥x軸，則x1＝x2＝eq\f(p,2)，則x1x2＝eq\f(p2,4)；②若焦點弦AB不垂直于x軸，可設(shè)直線AB：y＝k(x－eq\f(p,2))，聯(lián)立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq\f(p2k2,4)＝0，則x1x2＝eq\f(p2,4).∵y12＝2px1，y22＝2px2，∴y12y22＝4p2x1x2＝p4.又∵y1y2<0，∴y1y2＝－p2.故eq\f(y1y2,x1x2)＝－4.6．(2024·山西孝義模擬)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是坐標原點．若|AF|＝5，則△AOB的面積為()A．5 B.eq\f(5,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(17,8)答案B解析拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)．設(shè)直線AB的斜率為k，可得直線AB的方程為y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝k（x－1）))消去x，得y2－eq\f(4,k)y－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1y2＝－4.依據(jù)拋物線的定義，得|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝5，解得x1＝4，代入拋物線方程得y12＝4×4＝16，解得y1＝±4.當y1＝4時，由y1y2＝－4得y2＝－1；當y1＝－4時，由y1y2＝－4得y2＝1，所以|y1－y2|＝5，即A，B兩點縱坐標差的肯定值等于5.因此△AOB的面積為S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝eq\f(1,2)|OF|·|y1|＋eq\f(1,2)|OF||y2|＝eq\f(1,2)|OF||y1－y2|＝eq\f(1,2)×1×5＝eq\f(5,2).7．(2024·甘肅蘭州期中)設(shè)坐標原點為O，拋物線y2＝2x與過焦點的直線交于A，B兩點，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C．3 D．－3答案B解析拋物線y2＝2x的焦點為F(eq\f(1,2)，0)，當AB的斜率不存在時，可得A(eq\f(1,2)，1)，B(eq\f(1,2)，－1)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，1)·(eq\f(1,2)，－1)＝eq\f(1,4)－1＝－eq\f(3,4)，故選B.8．(2024·衡水中學(xué)調(diào)研)已知拋物線y2＝4x，過點P(4，0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩不同點，則y12＋y22的最小值為()A．12 B．24C．16 D．32答案D解析當直線的斜率不存在時，方程為x＝4，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y2＝4x，))得y1＝－4，y2＝4，∴y12＋y22＝32.當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝k(x－4)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝k（x－4），))得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－16，∴y12＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝eq\f(16,k2)＋32>32.綜上可知，y12＋y22≥32.∴y12＋y22的最小值為32.故選D.9．(2024·天津靜海模擬)已知點A為拋物線C：x2＝4y上的動點(不含原點)，過點A的切線交x軸于點B，設(shè)拋物線C的焦點為F，則∠ABF為()A．銳角 B．直角C．鈍角 D．不確定答案B解析設(shè)A(x0，eq\f(x02,4))(x0≠0)．又y＝eq\f(1,4)x2，則y′＝eq\f(1,2)x，則拋物線C在點A處的切線方程為y－eq\f(x02,4)＝eq\f(1,2)x0(x－x0)．令y＝0，解得B(eq\f(1,2)x0，0)．又F(0，1)，所以eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)x0，1)·(eq\f(1,2)x0，eq\f(x02,4))＝－eq\f(x02,4)＋eq\f(x02,4)＝0，則∠ABF為直角，故選B.10．(2024·東城區(qū)期末)已知拋物線C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p>0)的焦點與雙曲線C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M，若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝()A.eq\f(\r(3),16) B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(4\r(3),3)答案D解析由題可知，拋物線開口向上且焦點坐標為(0，eq\f(p,2))，雙曲線焦點坐標為(2，0)，所以兩個焦點連線的直線方程為y＝－eq\f(p,4)(x－2)．設(shè)M(x0，y0)，則有y′＝eq\f(1,p)x0＝eq\f(\r(3),3)?x0＝eq\f(\r(3),3)p.因為y0＝eq\f(1,2p)x02，所以y0＝eq\f(p,6).又M點在拋物線的切線上，即有eq\f(p,6)＝－eq\f(p,4)(eq\f(\r(3),3)p－2)?p＝eq\f(4\r(3),3)，故選D.11．(2024·河北邯鄲模擬)已知F是拋物線x2＝4y的焦點，P為拋物線上的動點，且A的坐標為(0，－1)，則eq\f(|PF|,|PA|)的最小值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析拋物線的準線為l：y＝－1，過點P作PD⊥l于點D，則|PD|＝|PF|，且點A在準線上，如圖所示，所以eq\f(|PF|,|PA|)＝eq\f(|PD|,|PA|)＝sin∠PAD，∠PAD為銳角．故當∠PAD最小時，eq\f(|PF|,|PA|)最小，故當直線PA與拋物線相切時，eq\f(|PF|,|PA|)＝eq\f(|PD|,|PA|)＝sin∠PAD有最小值．由y＝eq\f(x2,4)得y′＝eq\f(x,2)，設(shè)切點為(x0，eq\f(x02,4))(x0>0)，則eq\f(\f(x02,4)－（－1）,x0)＝eq\f(x0,2)，解得x0＝2，此時∠PAD＝eq\f(π,4)，所以(eq\f(|PF|,|PA|))min＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，故選C.12．(2024·甘肅蘭州模擬)拋物線y2＝4x的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上兩動點，若|AB|＝eq\f(\r(3),2)(x1＋x2＋2)，則∠AFB的最大值為()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(5π,6)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(π,3)答案A解析因為|AB|＝eq\f(\r(3),2)(x1＋x2＋2)，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2，所以|AF|＋|BF|＝eq\f(2\r(3),3)|AB|.在△AFB中，由余弦定理，得cos∠AFB＝eq\f(|AF|2＋|BF|2－|AB|2,2|AF||BF|)＝eq\f(（|AF|＋|BF|）2－2|AF||BF|－|AB|2,2|AF||BF|)＝eq\f(\f(4,3)|AB|2－|AB|2,2|AF||BF|)－1＝eq\f(\f(1,3)|AB|2,2|AF||BF|)－1.又|AF|＋|BF|＝eq\f(2\r(3),3)|AB|≥2eq\r(|AF||BF|)?|AF|·|BF|≤eq\f(1,3)|AB|2.所以cos∠AFB≥eq\f(\f(1,3)|AB|2,2×\f(1,3)|AB|2)－1＝－eq\f(1,2)，所以∠AFB的最大值為eq\f(2π,3).故選A.13．已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，|AF|＝2，則|BF|＝________．答案2解析拋物線y2＝4x的焦點F(1，0)，p＝2.由eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，即eq\f(1,2)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,2)，∴|BF|＝2.14．(2024·鄭州質(zhì)檢)設(shè)拋物線y2＝16x的焦點為F，經(jīng)過點P(1，0)的直線l與拋物線交于A，B兩點，且2eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))，則|AF|＋2|BF|＝________．答案15解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P(1，0)，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝(1－x2，－y2)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)．∵2eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))，∴2(1－x2，－y2)＝(x1－1，y1)，∴x1＋2x2＝3，－2y2＝y(tǒng)1.將A(x1，y1)，B(x2，y2)代入拋物線方程y2＝16x，得y12＝16x1，y22＝16x2.又∵－2y2＝y(tǒng)1，∴4x2＝x1.又∵x1＋2x2＝3，解得x2＝eq\f(1,2)，x1＝2.∴|AF|＋2|BF|＝x1＋4＋2(x2＋4)＝2＋4＋2×(eq\f(1,2)＋4)＝15.15．(2024·河南鄭州測試)過拋物線y＝eq\f(1,4)x2的焦點F作一條傾斜角為30°的直線交拋物線于A，B兩點，則|AB|＝________．答案eq\f(16,3)解析依題意，設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線x2＝4y的焦點坐標是F(0，1)，直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋1，即x＝eq\r(3)(y－1)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,x＝\r(3)（y－1），))消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝eq\f(10,3)，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y(tǒng)1＋y2＋2＝eq\f(16,3).16．(2024·長沙調(diào)研)過點(0，3)的直線l與拋物線y2＝4x只有一個公共點，則直線l的方程為________．答案y＝eq\f(1,3)x＋3或y＝3或x＝0解析當直線l的斜率k存在且k≠0時，由相切知直線l的方程為y＝eq\f(1,3)x＋3；當k＝0時，直線l的方程為y＝3，此時直線l平行于拋物線的對稱軸，且與拋物線只有一個公共點(eq\f(9,4)，3)；當k不存在時，直線l與拋物線也只有一個公共點(0，0)，此時直線l的方程為x＝0.綜上，過點(0，3)且與拋物線y2＝4x只有一個公共點的直線l的方程為y＝eq\f(1,3)x＋3或y＝3或x＝0.17．(2024·廣西柳州模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩不同點．(1)若eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，求直線AB的斜率；(2)設(shè)點M在線段AB上運動，原點O關(guān)于點M的對稱點為點C，求四邊形OACB面積的最小值．答案(1)eq\r(3)或－eq\r(3)(2)4解析(1)依題意可得，拋物線的焦點為F(1，0)，設(shè)直線AB：x＝my＋1，將直線AB與拋物線聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝4x))?y2－4my－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))?y1＝－3y2?m2＝eq\f(1,3)，∴斜率為eq\f(1,m)＝eq\r(3)或－eq\r(3).(2)S四邊形OACB＝2S△AOB＝2×eq\f(1,2)|OF||y1－y2|＝|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(16m2＋16)≥4，當m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值為4.18.(2024·江西九江一模)已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過點F且傾斜角為eq\f(π,4)的直線l被