第6章《平行四邊形》復(fù)習(xí)題--常用五種構(gòu)造三角形中位線的方法【題型1連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線】1．如圖，在△ABC中，BA=BC=5,AC=6，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是BC,AB邊上的動點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F，點(diǎn)M分別是CD,DE的中點(diǎn)，則FM的最小值為（）A．125 B．95 C．3 2．如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3,BC=4，P是斜邊AB上的一個動點(diǎn)，且P在AB上（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動的過程中，始終保持PD∥BC,PE∥CD，G、H分別是DP、PEA．35 B．65 C．1253．如圖，點(diǎn)E為?ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，DE=1,BE=5，連接AE并延長至點(diǎn)F，使得AE=EF，則CF為（）A．3 B．72 C．4 D．4.如圖，已知△ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O，M、N分別為OB、OC的中點(diǎn)．(1)求證：MD和NE互相平分；(2)若BD⊥AC，OC2=32，OD+CD=85．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,E,F分別是BC,AC的中點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)D，使AD=12(1)求證：AF與DE互相平分；(2)若∠ABC=60°,BC=4，求DF的長．6．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)G,H分別是AB,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線AC上，且AE=CF．(1)求證：四邊形EGFH是平行四邊形；(2)連接BD交AC于點(diǎn)O，若BD=28，AE+CF=EF，求EG的長．7．（1）【課本再現(xiàn)】我們前面學(xué)習(xí)過三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．請你嘗試證明．已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．求證：DE∥BC，（2）【實(shí)踐應(yīng)用】如圖2，DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，DE與AF是否互相平分？請證明你的結(jié)論．【題型2倍長法構(gòu)造三角形的中位線】1．如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，AC=4，A．32 B．2 C．522．如圖，已知正方形ABCD、正方形AEFG的邊長分別為4和1，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接DF，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，連接CM，則線段CM的最大值為（

）．A．32 B．42 C．523．如圖，在△ABC中，已知AE平分∠BAC,BE⊥AE于點(diǎn)E,F是BC的中點(diǎn)．若AB=14cm，AC=20cm，則EF=4．【知識探究】探究得到定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.【定理證明】請你利用矩形的性質(zhì)，證明該定理.已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC（1）求證：OB=1（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，E，F(xiàn)分別是AC，CD的中點(diǎn)，連接BE，EF，BF，求證：∠1=∠2．5．如圖，在△ABC中，∠ACB=60°，BC=2，D是AB的中點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，若DE平分△ABC的周長，則DE的長等于．【題型3已知角平分線與垂直關(guān)系構(gòu)造中位線】1.在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，CE平分∠ACB，AE⊥CE于點(diǎn)E．

(1)求證：DE∥(2)若AC=5，BC=7，求DE的長．2.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，過點(diǎn)C作CD⊥BD于點(diǎn)D，E是邊AC的中點(diǎn)，連接DE，若DE=2，BC=10，則AB的長為（

）A．6 B．8 C．7 D．93．已知：如圖，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，AD=BE=3，則AC的長等于．4.如圖，Rt△ABC中∠ACB=90°，AB=13，BC=5，AD，BE分別平分∠BAC、∠ABC，∠ADC=∠BEC=90°，連接

5．如圖，△ABC中，∠C=90°，過點(diǎn)B作AC的平行線，與∠CAB的平分線交于點(diǎn)D，若AC=6，CB=8．E、F分別是CB、AD的中點(diǎn)，則EF的長為．6．已知：點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB的延長線上，連接CE，過點(diǎn)C作CF⊥CE，交邊AD于點(diǎn)F．(1)如圖1，猜想CE與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(2)如圖2，連接EF，AC，作∠AFE的平分線交AC于點(diǎn)G，求證：EF=2(3)如圖3，在（2）的條件下，連接EG，過點(diǎn)A作AN⊥EG，交EG的延長線于點(diǎn)N，M為AF的中點(diǎn)，連接MN．若AF=6，F(xiàn)D=1，請求出MN的長．7．在△ABC和△ADE中，AD<AB，AB=AC，∠DAE=12∠BAC=α，∠AED=90°，點(diǎn)F是線段DC(1)若D在BC上，①如圖1，點(diǎn)E恰好落在AC上，請?zhí)骄烤€段EF與BD的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，試探究線段EF與BD的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖3，α=30°，點(diǎn)D不在BC上，∠DBC=15°，EF=22，AE=32，直接寫出【題型4已知中點(diǎn)，取其他邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線】1．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=12cm，點(diǎn)D為CB的中點(diǎn)，將一個直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)D處，直角邊DE的點(diǎn)E在邊AB上，AE=7cm，連接BF，則BF的長為2．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=4，將直角邊AC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至AC′，連接BC′，E為BC′的中點(diǎn)，連接A．42 B．22+1 C．23．如圖，△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E在AC上，且∠AED=90°+12∠C，則BC+2AEA．AB B．AC C．32AB 4．如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=25，CD=23，∠ABD=30°，∠BDC=120°，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊的中點(diǎn)，則EF的長為（A．22 B．23 C．5 5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E分別是AB,BC上的動點(diǎn)，連接DE，將△BDE沿直線DE折疊得到△DEF，點(diǎn)F落在AC上．

(1)如圖1，若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，求證：DE∥(2)如圖2，若∠ABC=90°，且點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)．①判斷線段AD、CE與DE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明；②若AB=3,BC=4，直接寫出△DEF的面積．【題型5作其他輔助線構(gòu)造三角形的中位線】1．如圖，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)E．若∠BDA=90°，E是AD中點(diǎn)，DE=2，AB=5，則AC的長為（

）A．1 B．43 C．32 2．已知如圖，正方形ABCD，AB=10，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，DF，點(diǎn)G，H分別是EC，DF的中點(diǎn)，連接GH，則GH=．3．已知△ABE，將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°到△ACF，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)C落在直線BE(1)①依題意補(bǔ)全圖1；②若FC垂直BE，直接寫出α的值；(2)如圖2，過B作AC的平行線BD，與FE的延長線交于點(diǎn)D，F(xiàn)E交AC于點(diǎn)G，取FD的中點(diǎn)M和BC的中點(diǎn)N，寫出線段MN與FG的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．如圖（1），在等腰△ABC，△ADE中，AB=AC，AD=AE，(1)請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心及最小旋轉(zhuǎn)角的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；(2)如圖（2），若M為BC中點(diǎn)，點(diǎn)D在CM上，過點(diǎn)M作MQ⊥AB于Q，交DE于點(diǎn)N．①求證：N為DE的中點(diǎn)；②若AB=AC=2，α=120°，點(diǎn)D在MC上運(yùn)動時（包括M，C兩個端點(diǎn)），直接寫出5．如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不動，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接(1)如圖①，當(dāng)∠BAE=90°時，求證：CD=2AF；(2)當(dāng)∠BAE≠90°時，（1）的結(jié)論是否成立？請結(jié)合圖②說明理由．6．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=9cm，BC=12cm，E為邊CD上一點(diǎn)，將△BCE沿BE所在的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FM⊥BE，垂足為點(diǎn)M，取AF的中點(diǎn)N，連接MN，則MN的長為參考答案【題型1連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線】1．A【分析】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)及三角形中位線定理，正確得出CE的最小值是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)B作BH⊥AC于H，連接CE；當(dāng)CE取最小值時，F(xiàn)M的值最小，由垂線段最短可知，當(dāng)CE⊥AB于點(diǎn)E時，CE的值最小，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BH的長，進(jìn)而利用三角形等面積法求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AC于H，連接CE；

∵F，M分別是CD,DE的中點(diǎn)，∴FM=1當(dāng)CE取最小值時，F(xiàn)M的值最小，由垂線段最短可知，當(dāng)CE⊥AB于點(diǎn)E時，CE的值最小，在△ABC中，BA=BC=5,AC=6，∴CH=1∴BH=B∴S△ABC∴CE=24∴FM=12故選：A．2．B【分析】連接DE,PC，判定四邊形PECD是矩形，推出PC=DE，由三角形中位線定理得到GH=12DE，因此GH=12PC，當(dāng)PC⊥AB時，PC最小，由勾股定理求出AB的長，由三角形面積公式，得到△ACB的面積=1【詳解】解：連接DE,PC，∵PD∥BC,PE∥CD,∠ACB=90°，∴四邊形PECD是矩形，∴PC=DE，∵G、H分別是DP、PE的中點(diǎn)，∴GH是△PDE的中位線，∴GH=1∴GH=1∴當(dāng)PC最小時，GH最小，當(dāng)PC⊥AB時，PC最小，此時△ACB的面積=1∵∠C=90°,AC=3,BC=4，∴AB=A∴5PC=3×4，∴PC=12∴GH=1∴GH的最小值是65故選：B．3．C【分析】本題考查平行線四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，關(guān)鍵是證明OE是△ACF的中位線．連接AC交BD于O，由平行四邊形的性質(zhì)推出AO=OC，OD=12BD，證明OE是△ACF的中位線，得到FC=2OE，求出BD=6，得到OD=3，求出OE=OD?DE=2【詳解】解：連接AC交BD于O，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，OD=1∵AE=EF，∴OE是△ACF的中位線，∴FC=2OE，∵DE=1,BE=5，∴BD=1+5=6，∴OD=1∴OE=OD?DE=3?1=2，∴FC=2OE=4．故選：C．4.（1）證明：如圖，連接OA,DE,MN，∵CE是△ABC的中線，點(diǎn)M是OB的中點(diǎn)，∴ME=12OA同理可得：DN=12OA∴ME=DN，ME∥DN，∴四邊形DEMN是平行四邊形，∴MD和NE互相平分．（2）解：由（1）已證：MD和NE互相平分，∴OD=OM，∵點(diǎn)M是OB的中點(diǎn)，∴OB=2OM，∴OB=2OD，∵BD⊥AC，OC∴OD∵OD+CD=8，∴2OD?CD=OD+CD∴△OCB的面積為125．（1）證明：連接EF，AE．

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC、AC的中點(diǎn)，∴EF∥AB，EF=1又∵AD=1∴EF=AD．又∵EF∥∴四邊形AEFD是平行四邊形．∴AF與DE互相平分．（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC=60°,BC=4，E為BC∴BE=12BC=2∴AB=1∴AB=BE，∴△ABC為等邊三角形，∴AE=BE=2，又∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴DF=AE=2．6．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF，∵點(diǎn)G，H分別是AB，∴AG=CH，在△AGE和△CHF中，AG=CH∠GAE=∠HCF∴△AGE≌△CHFSAS∴GE=HF，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE=HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵BD=28，∴OB=OD=14，∵AE=CF，∴OE=OF，∵AE+CF=EF，∴2AE=EF=2OE，∴AE=OE，又∵點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，∴EG是△ABO的中位線，∴EG=17．證明：（1）如圖所示，延長DE到F，使得DE=FE，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，在△AED和△CEF中，AE=CE∠AED=∠CEF∴△AED≌△CEFSAS∴∠A=∠FCE，∴AD∥∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD=CF，∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴DE∥BC，又∵DE=FE，∴DE=1∴DE∥BC，且（2）如圖，連接DF，∵DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，∴D,E,F分別為△ABC的三邊中點(diǎn)，∴DF∥AC，∴四邊形ADFE為平行四邊形，∴DE與AF互相平分．【題型2倍長法構(gòu)造三角形的中位線】1．C【分析】延長BC到E使BE=AD，則四邊形ACED是平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CM=12DE=【詳解】：延長BC到E使BE=AD，∵AD∥∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE=AD=6，AB=DE∵BC=3，∴C是BE的中點(diǎn)，∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，∴CM=1∵AC⊥BC，∴AB=A∴CM=1故選：C．2．D【分析】本題主要考查了、三角形中位線定理、正方形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、勾股定理，延長DC至點(diǎn)P，使CP=DC，連接PF，AP，AF，由三角形中位線定理可得PF=2CM，由正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得AP=42+82=45，AF=【詳解】解：如圖，延長DC至點(diǎn)P，使CP=DC，連接PF，AP，AF，，∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，CP=DC，∴CM是△DFP的中位線，∴PF=2CM，∵正方形ABCD、正方形AEFG的邊長分別為4和1，∴AP=42+∵PF≤AF+AP，∴PF的最大值為45∴CM的最大值為25故選：D．3．3【分析】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．證明△AEB≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=AB=3cm，BE=ED，進(jìn)而求出DC【詳解】解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠DAE，∵BE⊥AE，∴∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AED中，BAE=∠DAEAE=AE∴△AEB≌△AEDASA∴AD=AB=14cm，BE=ED∴DC=AC?AD=20?14=6(cm∵BE=ED，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF是△BDC的中位線，∴EF=1故答案為：3．4．解：證明：如圖1，延長BO至點(diǎn)D，使OD=OB，連接AD、CD，∵O是AC的中點(diǎn)，∴OA=OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴OB=1故答案為：OB=1（2）證明：如圖2，∵∠ABC=90°，E是AC的中點(diǎn)，∴BE=1∵F是CD的中點(diǎn)，∴EF是△ACD的中位線，∴EF=1∵AC=AD，∴BE=EF，∴∠1=∠2．5．3【分析】此題考查了三角形中位線定理，等腰三角形性質(zhì)，解直角三角形等知識點(diǎn)；延長AC至點(diǎn)F使得CF=CB，連接BF，作CG⊥BF于點(diǎn)G，則∠F=∠CBF=12∠ACB=30°，易得BF=23，又由已知得DA+AE=DB+BC+CE=DB+EF，則AE=EF，故DE為【詳解】延長AC至點(diǎn)F使得CF=CB，連接BF，作CG⊥BF于點(diǎn)G，

則∠F=∠CBF=1∴BG=FG=BC·cos∴BF=23∵DE平分△ABC的周長∴DA+AE=DB+BC+CE=DB+EF，∵D是AB中點(diǎn)，∴DA=DB，∴AE=EF，∴DE為△ABF中位線，∴DE=1故答案為：3．【題型3已知角平分線與垂直關(guān)系構(gòu)造中位線】1.（1）解：延長AE交BC于F，

∵CE平分∠ACB，AE⊥CE于點(diǎn)E，∴∠ACE=∠FCE，∠AEC=∠FEC=90°，在△ACE和△FCE中，∠ACE=∠FCECE=EC∴△ACE≌△FCE．∴AE=EF，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∴DE是△ABF的中位線．∴DE∥（2）∵△ACE≌△FCE，∴CF=AC=5，∵DE是△ABF的中位線．∴DE=1故DE的長為1．2.A【分析】如圖，延長BA，CD交于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線和垂線證得BF=BC，DF=CD，再利用中位線的性質(zhì)得到AF=2DE，即可計算AB=BF-AF，求得答案．【詳解】如圖，延長BA，CD交于點(diǎn)F，∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠CBD，∵CD⊥BD，∴△FBC是等腰三角形（三線合一），∴BF=BC=10，DF=DC，∴D是CF的中點(diǎn)，∵E是邊AC的中點(diǎn)，∴DE是△CAF的中位線，∴AF=2DE=4，∴AB=BF?AF=6；故選：A．3．9【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，設(shè)AD,BE交于點(diǎn)G，過D點(diǎn)作DF∥BE，則DF=12BE，F(xiàn)為EC中點(diǎn)，在Rt△ADF中求出AF的長度，根據(jù)已知條件易知G為AD中點(diǎn)，因此【詳解】解：設(shè)AD,BE交于點(diǎn)G，過D點(diǎn)作DF∥∵AD是△ABC的中線，AD⊥BE，∴F為EC中點(diǎn)，AD⊥DF，∵AD=BE=6，則DF=3，AF=A∵BE是△ABC的角平分線，∴∠ABG=∠DBG又∵AD⊥BE，∴∠AGB=∠DGB=90°∴∠BAD=∠BDA又∵BG=BG∴△ABG≌△DBG，∴G為AD中點(diǎn)，∴E為AF中點(diǎn)，∴AC=3故答案為：954.2【分析】利用勾股定理求得AC=12，分別延長CD、CE交AB于點(diǎn)F、G，證明△ADC≌△ADF和△BEC≌△BEG，推出CD=DF，AC=AF=12，CE=EG，BC=BG=5，得到DE是△AFG的中位線，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AB=13，∴AC=13分別延長CD、CE交AB于點(diǎn)F、G，

∵AD分別平分∠BAC，∠ADC=∠ADF=90°，又AD=AD，∴△ADC≌△ADFASA∴CD=DF，AC=AF=12，同理△BEC≌△BEGASA∴CE=EG，BC=BG=5，∴DE是△AFG的中位線，∴DE=1∵FG=AF+BG?AB=12+5?13=4，∴DE=1故答案為：2．5．2【分析】連接CF并延長交BD于G，先求出AB=10，由AC∥BD，AD是∠BAC的平分線推出BD=AB=10，證明△DGF≌△ACFASA得GF=CF，DG=AC=6，則BG=BD?GD=4，再證明EF【詳解】解：如圖，連接CF并延長交BD于G，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CB=8，∴AB=A∵AC∥∴∠CAD=∠D，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD，∴∠D=∠BAD，∴BD=AB=10，∵點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，∴DF=AF，在△DGF和△ACF中，∠DFG=∠AFCDF=AF∴△DGF≌△ACFASA∴GF=CF，DG=AC=6，∴BG=BD?GD=10?6=4，∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，GF=CF即點(diǎn)F是CG的中點(diǎn)，∴EF為△CBG的中位線，∴EF=1∴EF的長為2．故答案為：2．6．（1）解：CE與CF的數(shù)量關(guān)系為：CE=CF．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=BC，∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵∠ABC+∠EBC=180°∴∠EBC=90°=∠D∵CF⊥CE∴∠ECF=∠90°∴∠ECF?∠BCF=∠BCD?∠BCF即：∠BCE=∠DCF．在△EBC與△FDC中，∠EBC=∠D=90°CB=CD∴△EBC≌△FDCASA∴CE=CF；（2）證明：∵CF⊥CE，CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CFE=45°，EF=2∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CAD=45°，∴∠CAD=∠CFE．∵FG平分∠AFE，∴∠EFG=∠AFG．∴∠CFE+∠EFG=∠CAD+∠AFG，即∠CFG=∠CGF，∴CG=CF，∴EF=2（3）解：延長AN交EF于點(diǎn)Q，如圖，由（1）知：△EBC≌△FDC，∴BE=FD=1．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，AB=AD=AF+FD=6+1=7，∴AE=8，∴由勾股定理得：EF=A∵四邊形ABCD是正方形，∴AC平分∠BAD，∵FG平分∠AFE，三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，∴EG平分∠AEF，∴∠AEN=∠QEN．∵EN⊥AN，∴∠ANE=∠QNE=90°．在△ENA和△ENQ中，∠ANE=∠QNEEN=EN∴△ENA≌△ENQASA∴AN=QN，EQ=EA=8，∴FQ=EF?EQ=10?8=2，∵AN=QN，M為AF的中點(diǎn)，∴MN為△AQF的中位線，∴MN=17．（1）解：①EF=12BD∵∠DAE=1∴∠DAE=∠BAD，∵AB=AC，∴BD=CD，∵∠AED=90°，∴∠CED=90°，∵點(diǎn)F是線段CD的中點(diǎn)，∴EF=1∵CD=BD，∴EF=1②EF=12BD延長DE至S，使ES=DE，連接AS,CS，如圖，∵點(diǎn)F是線段CD的中點(diǎn)，∴EF是△DCS的中位線，∴EF=1∵∠AED=90°，∴∠AES=90°=∠AED，∴AE垂直平分DS，∴AD=AS，∴∠DAE=∠EAS=1∵∠DAE=1∴∠BAC=∠DAS，∴∠BAC?∠CAD=∠DAS?∠CAD，∴∠BAD=∠CAS，∵AB=AC,AD=AS，∴△ABD≌△ACSSAS∴BD=CS，∴EF=12BD（2）解：延長DE至S，使ES=DE，連接AS，CS，過點(diǎn)D作DT⊥AB于點(diǎn)T．如圖，∵點(diǎn)F是線段CD的中點(diǎn)，∴EF是△DCS的中位線，∴EF=1同上可證△ABD≌△ACS，∴CS=BD．∴BD=2EF=2在Rt△ADE中，∠DAE=30°,AE=∴DE=3∵∠BAC=2α=60°,AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵∠DBC=15°，∴∠ABD=45°，∴BT=DT=2在Rt△ADT中，AT=∴AB=BT+AT=1+2∵△ABC是等邊三角形，∴S△ABC【題型4已知中點(diǎn)，取其他邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線】1．6【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，中位線定理．取AB的中點(diǎn)K，連接DK，證明△EDK≌△FDBSAS，得到KE=BF，求出KE的長即可得到BF【詳解】解：取AB的中點(diǎn)K，連接DK，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)K為AB的中點(diǎn)，∴DK是△ABC的中位線，∴DK=12CA∵CA=CB，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD=1∴DK=BD，∵∠ACB=90°，DK∥∴∠KDB=90°，∵∠EDK+∠KDF=∠FDB+∠KDF=90°，∴∠EDK=∠FDB，∵△EDF為等腰直角三角形，∴DE=DF，∴△EDK≌△FDBSAS∴KE=BF，∵∠ACB=90°，CA=CB=12cm∴AB=122∴AK=62∴.KE=AK?AE=62∴BF=62故答案為：622．C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、以及三角形中位線等知識，取AB的中點(diǎn)F，連接CF，EF，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形中位線定理求出EF=2，由勾股定理求出AB的長，由直角三角形的性質(zhì)求出CF的長，則可求出答案．【詳解】解：取AB的中點(diǎn)F，連接CF，EF，∵將直角邊AC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至AC∴AC=AC∵E是BC∴EF是△ABC∴EF=1在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴AB=A∵F為AB中點(diǎn)，∴CF=1在△EFC中，∵CE≤EF+CF，∴CE≤2+22∴CE的最大值為2+22故選：C．3．B【分析】本題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用．在AC上取點(diǎn)F，使得AE=EF，連接BF，易得DE為△ABF的中位線，所以DE∥BF，再證明△BCF為等腰三角形，可得BC=FC，然后由【詳解】解：如圖，在AC上取點(diǎn)F，使得AE=EF，連接BF，則AF=2AE，∵D是AB的中點(diǎn)，AE=EF，∴DE為△ABF的中位線，∴DE∥∵∠AED=90°+1∴∠DEF=180°?∠AED=180°?90°+∵BF∥∴∠BFC=∠DEF=90°?1∴∠FBC=180°?∠C?∠BFC=90°?1∴∠FBC=∠BFC，∴BC=FC，∴BC+2AE=CF+AF=AC．故選：B．4．A【分析】本題考查了三角形中位線定理、勾股定理，設(shè)BD的中點(diǎn)為M，連接EM、FM，從而可得ME是△ABD的中位線，MF為△BCD的中位線，由三角形中位線定理可得ME=5，MF=3，求出【詳解】解：如圖，設(shè)BD的中點(diǎn)為M，連接EM、FM，∵點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴ME是△ABD的中位線，MF為△BCD的中位線，∴ME=12AB，ME∥AB，MF=∵AB=25，CD=2∴ME=5，MF=∵M(jìn)E∥AB，MF∥CD，∴∠EMD=∠ABD，∠DMF+∠BDC=180°，∵∠ABD=30°，∠BDC=120°，∴∠EMD=30°，∠DMF=60°，∴∠EMF=∠EMD+∠DMF=90°，∴EF=M故選：A．5．（1）∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE．由折疊，得BE=FE,∠BED=∠DEF．∴CE=FE，∴∠EFC=∠C．∵∠BEF是△CEF的一個外角，∴∠BEF=∠EFC+∠C=2∠C．∵∠BEF=∠BED+∠DEF=2∠BED，∴∠BED=∠C，∴DE∥

（2）①AD如圖，過點(diǎn)C作CH∥AB交DF延長線于點(diǎn)H，連接∴∠A=∠FCH,∠ADF=∠CHF,∠BCH=180°?∠ABC=180°?90°=90°．∵點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴AF=CF，∴△ADF≌△CHFAAS∴DF=HF,AD=CH．由折疊，得∠DFE=∠ABC=90°，∴EF⊥DH，∴DE=HE．在Rt△ECH中，由勾股定理，得CH∴AD

②取BC的中點(diǎn)M，連接FM，則FM是△ABC的中位線，則FM∴FM⊥BC∴FM=12

設(shè)EM=x，則BE=EF=2?x,在Rt△FEM,由勾股定理得：即(2?x)解得：x=則BE=2?7設(shè)BD=y,則AD=3?y∵AB∴A(3?y)解得：y=S故△DEF的面積為625384【題型5作其他輔助線構(gòu)造三角形的中位線】1．D【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線定理；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．延長AC、BD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG∥AF交BC于G，證△DGE≌△ACEAAS，得出DG=AC，證出∠F=∠ABD，得出AF=AB=5，BD=FD，證明DG是△BCF【詳解】解：延長AC、BD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG∥AF交BC于則∠DGE=∠ACE，∵E是AD中點(diǎn)，DE=2，∴DE=AE=2，∴AD=4，∵BD=3，∵∠BDA=90°，∴AB=A在△DGE和△ACE中，∠DGE=∠ACE∠DEG=∠AEC∴△DGE≌∴DG=AC，∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=∠FAD，∵∠BDA=90°，∴AD⊥BF，∠FDA=90°，∴∠F=∠ABD，∴AF=AB，∵AB=5，∴AF=AB=5，∴△AFB為等腰三角形，∵∠BDA=90°∴BD=FD，∵DG∥∴DG是△BCF的中位線，∴CF=2DG，∴AF=AC+CF=3DG=3AC，∴AC=DG=1故選：D．2．5【分析】CH并延長交AD于P，連接PE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A=90°,AD∥BC,AB=AD=BC=10,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD=CF=5,根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論.【詳解】解：連接CH并延長交AD于P，連接PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90∵E,F分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，∴AE=CF=1∵AD∥BC，∴∠DPH=∠FCH，在△PDH與△CFH中，∠DPH=∠FCH∠DHP=∠FHC∴△PDH≌△CFHAAS∴PD=CF=5，PH=CH，∴AP=AD?PD=5，∴PE=A∵點(diǎn)G,H分別是EC,FD的中點(diǎn)，∴GH=1故答案為：523．（1）解：①補(bǔ)全圖形如圖，②由旋轉(zhuǎn)得AB=AC，∠ABE=∠ACF，旋轉(zhuǎn)角度為∠BAC=α，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ACF=∠ACB，∵FC垂直BE，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=2∠ACB=90°，∴∠ACB=45°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴α=∠BAC=180°?∠ABC?∠ACB=90°；（2）