第2講正余弦定理考點(diǎn)一邊角互換【例1】（1）（2025·江西）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則=（2）（2025·江西）在中，已知角的對(duì)邊分別是，且，則=（3）（2025·貴州）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則=（4）（2025·福建）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則=（5）（2024廣西）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且，則B=。（6）（2025·云南）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則=【答案】(1)（2）（3）(4)（5）（6）【解析】（1）由及余弦定理，得又（2）由題設(shè)及余弦定理知，整理得，所以，，則；（3）因?yàn)?，所以，即，得到，又，則，所以，解得.（4）在中，由及正弦定理得，即，即，而，即，則，又，所以.（5）解：，，則，即，，則，，即有，可得，，則，，解得.（6）因?yàn)?，可得，所以由正弦定理可得，又為三角形?nèi)角，，所以，因?yàn)?，所以，可得，所?【變式】1.（24-25廣東深圳·期末）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，則B=。【答案】【解析】由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，，又，解得?.（24-25高三上·北京昌平·期末）在中，，.則=【答案】【解析】因?yàn)?，由正弦定理，?因?yàn)樵谥?，，所?所以.因?yàn)椋?（2024·廣東韶關(guān)）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則=【答案】【解析】由b及正弦定理得所以因?yàn)榛?jiǎn)得因?yàn)?，所以，所以所?4.（24-25安徽馬鞍山·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，=【答案】【解析】由題，因?yàn)?，所以?.（2025·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知在△ABC中，，則A=【答案】【解析】由題意，，即，化簡(jiǎn)得，即，故或，又，解得或（舍去），故．6.（2024廣東揭陽）在中，角的對(duì)邊分別為a，b，c，且．則B=【答案】【解析】因?yàn)?，即，即，即，因?yàn)?，所以，且，所以等式可化為，即，即，因?yàn)?，所以?.（24-25貴州遵義）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足.則B=【答案【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?8.（2025·四川）記銳角的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知,=【答案】【解析】因?yàn)椋裕?，又因?yàn)?，所以，?yīng)用正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，所以，所?考點(diǎn)二三角形形狀的判斷【例2-1】（24-25高一下·江蘇常州·期中）在中，已知，則△ABC的形狀是（

）.A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】在中，因?yàn)?，由正弦定理，可得又因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以為直角三角?故選：B.【例2-2】（24-25高一下·重慶江津·階段練習(xí)）的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（

）A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，整理得，又，所以，即，即，又，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，故為等腰非直角三角?故選：A【變式】1．（浙江省A9協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題）在三角形中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則三角形的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】因?yàn)?，所以由余弦定理，整理化?jiǎn)得.所以即，或即，所以三角形ABC的形狀為等腰或直角三角形.故選：D2．（24-25高一下·上海浦東新·期中）在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.若，則該三角形一定是（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】由，可得，，所以，，故，因?yàn)椋?，，即是直角三角?故選：B.3．（24-25高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）在中，已知，且，則的形狀（

）A．等腰且非等邊三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】由.所以，又，所以.由，所以,又為三角形內(nèi)角，所以，故，即.綜上可知：為等邊三角形.故選：C4．（24-25上海閔行·期中）在中，已知，且，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．有一個(gè)角為的直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【解析】由可得，又，所以，由和正弦定理可得，即，所以，所以，所以的形狀為等邊三角形，故選：D.5．（24-25高二上·黑龍江牡丹江·期末）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則是等腰三角形D．【答案】B【解析】對(duì)于A，在中，由，得，整理得，則都是銳角，是銳角三角形，A正確；對(duì)于B：由及正弦定理得，即，則或，即或，因此是等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由及正弦定理，得，即，而是的內(nèi)角，則，是等腰三角形，C正確；對(duì)于D，由是的內(nèi)角及正弦定理，得，D正確.故選：B考點(diǎn)三三角形的周長(zhǎng)與面積【例3-1】（24-25高一下·湖南常德·階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則的面積.【答案】【解析】由及正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，故，又因?yàn)?，所以，由，得，由余弦定理得，所以的面積.故答案為：【例3-2】（24-25高一下·江西宜春·期中）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求角B的大?。?2)若的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椋?；?）因?yàn)?，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以的周長(zhǎng)為.【變式】1．（2025·江西）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．已知．(1)求角：(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【解析】1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼迷谥?，，則，即，故．（2）由余弦定值知：，即，則，所以．2．（24-25甘肅臨夏·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且有．(1)求角A；(2)若的面積為，，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，，由正弦定理，有，也即，即，，因此有，從而，解得．（2）由余弦定理，得，又，所以，所以，所以的周長(zhǎng)為．3．（24-25高一下·河南·期中）記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求B；(2)若，，求的面積．【答案】(1)或(2)【解析】（1）由，及正弦定理得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，故，故得，又為三角形內(nèi)角，所以或.（2）由，得，又，所以，所以.由（1）得，故，所以，而為三角形內(nèi)角，所以，，結(jié)合，可得.由正弦定理，得，故的面積.考點(diǎn)四三角形個(gè)數(shù)的判斷【例4-1】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，由，，可得，所以三角形只有一解；對(duì)于B，由，可得，所以，此時(shí)三角形有唯一的解；對(duì)于C，由正弦定理，可得，可得B有兩解，所以三角形有兩解；對(duì)于D，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故選：C．【例4-2】（24-25高一下·江蘇南通·期中）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，若滿足條件的有兩個(gè)，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理可得，則，因?yàn)?，且滿足條件的有兩個(gè)，所以，且（當(dāng)時(shí)，三角形只有一解），此時(shí)，則.故選：B【變式】1．（24-25高一下·天津武清·階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷正確的是（

）．A．，，，無解 B．，，，有一解C．，，，有兩解 D．，，，有兩解【答案】A【解析】對(duì)于A，由正弦定理，可得，三角形無解，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，且，由大邊?duì)大角可知角不存在，故三角形無解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正弦定理可得，此時(shí)，三角形有一解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正弦定理可得，三角形無解，故D錯(cuò)誤；故選：A2．（24-25高一下·河南南陽·期中）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，已知，且有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榍遥袃山?，所以，得．故選：C3．（2025河南洛陽·階段練習(xí)）在三角形ABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】由正弦定理可得，若A成立，，，，有，∴，∴，故三角形有唯一解．若B成立，，，，有，∴，又，故，故三角形無解．若C成立，，，，有，∴，又，故，故可以是銳角，也可以是鈍角，故三角形有兩個(gè)解．若D成立，，，，有，∴，由于，故為銳角，故三角形有唯一解．故選：C．考點(diǎn)五正余弦定理在幾何中的應(yīng)用【例2】．（23-24高一下·北京·期中）如圖，在梯形ABCD中，，，(1)求；(2)求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，，，則、均為銳角，則，，.（2）在中，由正弦定理得，，由，得，在中，由余弦定理得：，所以.【變式】1．（23-24高一下·廣東佛山·期中）在四邊形中，，記，，的角平分線與相交于點(diǎn)，且，.(1)求的大?。?2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，兩式相除得，所以，又因?yàn)?，可得，所?（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠椒?，可得，因?yàn)椋?，，所以，即，解得，在中，由余弦定理得，所?2．（24-25江西萍鄉(xiāng)·期中）如圖，在平面四邊形中，，，，．(1)求四邊形的周長(zhǎng)；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四邊形的周長(zhǎng)為；（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形的面積為．3．（2025廣東湛江·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的內(nèi)角，，，，且．

(1)求角B；(2)若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)，在中由余弦定理得，即①，又在中由余弦定理得，即②，因?yàn)?，則，聯(lián)立①②可得（負(fù)值舍去），，因?yàn)?，所以．?）在中，由正弦定理知，，所以，又，故，在直角三角形中，由勾股定理知，，此時(shí)．

考點(diǎn)六三角形中的中線、角平分和高【例6-1】（2025北京）已知的面積為，，，的內(nèi)角平分線交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7【答案】A【解析】因?yàn)榈拿娣e為，，，所以，得．由余弦定理，得．因?yàn)槠椒?，所以．又因?yàn)榈拿娣e為，所以的面積為．所以，得．故選：A．【例6-2】（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知中，分別為角，C的對(duì)邊，.(1)求B；(2)若，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中由正弦定理及已知條件，可得，因?yàn)椋?，所以，所以，所?因?yàn)?，所?所以，即；（2）因?yàn)辄c(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，所以，即，故．又，，所以.因?yàn)?，所以，即，則，.所以的面積為:.【變式】1．（24-25高一下·江蘇宿遷·期中）設(shè)分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，已知.(1)求；(2)若，是的平分線且交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理可知，所以，即，則，因?yàn)?，所以，則，所以；（2）因?yàn)椋?，則，解得.2．（24-25湖南·期中）在中，分別為角的對(duì)邊，.(1)求角的大??；(2)若為的中點(diǎn)，，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即；?）因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，，由余弦定理可得，解得，所以，所以的周長(zhǎng)為.3．（24-25高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，且.(1)求角的大小；(2)若，為邊上的一點(diǎn)，，且______，求的面積.（從下面①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）.①是的平分線；②為線段的中點(diǎn).(3)若為銳角三角形，求邊上的高取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）在中，：結(jié)合正弦定理可得：由得，，，，又，所以．（2）若選①：由平分得：，，即．在中，由余弦定理得，則，聯(lián)立，得，解得，；若選②：由題設(shè)，則，所以，在中，由余弦定理得，則，聯(lián)立，得，．（3）由正弦定理得，故,由于為銳角三角形，故,故，因此，故當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)取到最大值，當(dāng)或，即或時(shí)，此時(shí)，因此，故三角形的面積為，故邊上的高為，考點(diǎn)七三角形的最值（取值范圍）【例7-1】（24-25高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）在中，.(1)若，的面積為，求；(2)若，①求的值：②求面積的最大值；③求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)；(2)①；②；③.【解析】（1）由題設(shè)及余弦邊角關(guān)系有，所以，則，且，在三角形中有，又，可得，結(jié)合，則；（2）①由（1）有，則，所以；②由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即面積最大值為；③由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng).【例7-2】（24-25高一下·貴州貴陽·階段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．(1)求；(2)若為銳角三角形，，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，故，在中，，，所以，，則，可得，所以，所以．（2）由正弦定理可得（為外接圓的半徑），所以，因?yàn)椋瑒t，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，則，，故周長(zhǎng)范圍為．【例7-3】．（2025河南）已知為銳角三角形，角所對(duì)的邊分別為，．(1)求證：；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）由，得，由余弦定理得，即，由正弦定理得，所以．所以，即．所以或，即或．因?yàn)椋?，所以．?）因?yàn)闉殇J角三角形，所以即解得．因?yàn)?，由正弦定理得，所以，由正弦定理得，故的周長(zhǎng)．令，由（1）知，所以．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以周長(zhǎng)的取值范圍為．【變式】1．（24-25高一下·廣東梅州·階段練習(xí)）已知：的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．(1)求角A：(2)若

求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理有，即，所以，因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以的周長(zhǎng)，因?yàn)?，所以，所以周長(zhǎng)的取值范圍是．2．（24-25高一下·河北滄州·階段練習(xí)）銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知.(1)求；(2)若，求面積的最大值；(3)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3).【解析】（1）由，可得，又為銳角三角形，則，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)?，所以，故的面積，所以面積的最大值為.（3）由正弦定理知，所以，，則的周長(zhǎng)為.因?yàn)?，所?因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，則，故周長(zhǎng)的取值范圍為.3．（24-25廣東深圳·階段練習(xí)）記銳角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.(1)求；(2)若，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得因?yàn)椋瑒t，所以，又因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，則，即，所以.（2）因?yàn)槭卿J角的內(nèi)角，又因?yàn)椋?，，得，由正弦定理，得，所以，，所以，由，得，所以，即，所以面積的取值范圍是.4．（2025·河北滄州）在銳角三角形中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大?。?2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）在銳角三角形中，因?yàn)?，所以由正弦定理得，故，即，即，即，所以，即，由余弦定理得，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，由正弦定理，所以，，設(shè)的周長(zhǎng)為，則，因?yàn)樵阡J角三角形中，所以，，所以，解得，所以，所以，故，則，即，故周長(zhǎng)的取值范圍為．單選題1．（24-25貴州貴陽·階段練習(xí)）在中，若，則為（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由，又，所以或，為等腰三角形或直角三角形，故選：D.2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）記的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知及余弦定理得，解得（負(fù)值舍去），所以的面積為.故選：A.3．（24-25高二下·湖南·期中）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由余弦定理得，所以，所以的面積為，故選：C.4．（24-25高一下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且的面積，則（

）A．8 B． C． D．4【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，得，因?yàn)?，所以由余弦定理得，，所以，所以，所以，因?yàn)椋?故選：D5．（24-25高一下·湖南永州·階段練習(xí)）在中，，，其面積為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，，即，解得，由余弦定理得，即，由正弦定理（為三角形外接圓半徑），可得：，故選：C.6．（24-25高一下·重慶·階段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，那么該三角形解的情況為（

）A．無解 B．恰有一解 C．恰有兩解 D．不能確定【答案】C【解析】中，則，而，，所以，顯然滿足的三角形恰有兩個(gè).故選：C7．（24-25福建南平·期中）在△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知向量共線，則△的形狀為（

）A．等邊三角形 B．鈍角三角形C．有一個(gè)內(nèi)角是的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄浚簿€，則，由正弦定理可得：，則，因?yàn)?，則，可知，，，均不為，可得，則，即；同理由向量，共線可得：；綜上所述：.所以的形狀為等邊三角形.故選：A8．（2025·遼寧）如圖，在四邊形中，，，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，則，設(shè)，則，，在中，，，故，由正弦定理可得，則，在中，由余弦定理可得，即，解得，故.故選：C.多選題9．（24-25寧夏·期中）在中，，，，的角平分線交于，則（

）A．是鈍角三角形 B．C． D．【答案】BCD【解析】由題意可知邊長(zhǎng)最大，即B是最大角，由余弦定理知，則，是銳角三角形，故A錯(cuò)誤；由余弦定理知，則，故B正確；由上可知，作出三角形圖形如上，由平分，可知，即，故C正確；作，易得均為等腰直角三角形，且，所以，故D正確.故選：BCD10．（23-24高一下·山東青島·期中）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．B．的面積為C．的周長(zhǎng)為D．外接圓半徑為【答案】BC【解析】，，可得，可得外接圓半徑，故D錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，即，所以，，可得；當(dāng)時(shí)，即，由正弦定理得；故A不一定成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，所以，，所以的周長(zhǎng)為：，的面積為：；當(dāng)時(shí)，，，，解得，，所以的周長(zhǎng)為：，的面積為：；故BC一定成立.故選：BC.11．（24-25高一下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說法正確的是（

）A．若，則有一解B．若，則無解C．若，則有一解D．若，則有兩解【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故，則是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，有一解，故A正確；B選項(xiàng)，若，由正弦定理得，即，解得，無解，故B正確；C選項(xiàng)，若，由大邊對(duì)大角可知，此時(shí)三角形中有2個(gè)鈍角，不可能，則無解，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，由正弦定理得，即，解得，因?yàn)?，所以或，所以有兩解，D正確.故選：ABD.12．（24-25高一下·浙江嘉興·期中）在中，角的邊分別為，已知，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．周長(zhǎng)的最大值為 D．面積的最大值【答案】ACD【解析】對(duì)A：由正弦定理，所以，解得，故A正確；對(duì)B：由余弦定理，所以，解得或，又，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由余弦定理，所以，所以，又，所以，所以.所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.此時(shí)周長(zhǎng)的最大值為，故C正確；對(duì)D：由余弦定理，所以，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），此時(shí)，故D正確.故選：ACD填空題13．（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，若為鈍角三角形，則c的取值范圍為．【答案】【解析】因，則，若為鈍角三角形，則，得，又，則，得，故.故答案為：14．（23-24高一下·浙江寧波·期末）在中，，則該三角形外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的比值是【答案】【解析】在中，，由正弦定理可得，設(shè)，由余弦定理得，所以，則，所以，則，所以，15.（2023·四川內(nèi)江）在中，角的對(duì)邊分別為，且，的面積為，則的值為.【答案】【解析】由，可得，由正弦定理可得，，而sinB>0，整理得，即，，，所以上式變?yōu)椋?，，因?yàn)?，所以，解得，又由余弦定理可得，，解得，?故答案為：.16．（2024陜西）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得，，因?yàn)椋?，則有，即，所以，因?yàn)?，所以，整理可得，，即，因?yàn)?，所以或，則或（舍去）.又因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，因?yàn)?，所以，則，化簡(jiǎn)整理可得，，所以，又因?yàn)?，所以為等邊三角形，故選：C.解答題17．（24-25高一下·廣西河池·階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知(1)求角A的大??；(2)若，，求△ABC的面積．【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理得．因?yàn)?，所以，因?yàn)橹?，，所以．?）由，及余弦定理．得，解得或（舍），所以18．（24-25高一下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，，．

(1)求的值；(2)若為邊上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理得：∴,由正弦定理：得.（2）如圖所示：

過作于，在中，，，∴，，在中，.

∴

∴∴19．（24-25高一上·河北·階段練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知(1)求角的大??；(2)若，試判斷的形狀并給出證明.【答案】(1)(2)為等邊三角形，證明見解析【解析】（1）由，可得，因?yàn)?，所?（2）解法一：為等邊三角形，證明如下：由三角形內(nèi)角和定理得，，故，由已知條件，可得，整理得，所以，因?yàn)?、，則，所以，又由（1）知，所以為等邊三角形；解法二：為等邊三角形，證明如下：因?yàn)?，由正弦定理和余弦定理，得，整理得，?又由（1）知，所以為等邊三角形.20（23-24高一下·廣西玉林·期中）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角A的大??；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng)和外接圓的面積；【答案】(1)；(2)周長(zhǎng)、外接圓面積分別為、.【解析】（1）由，由正弦定理得，從而有，，則，由；（2）因?yàn)?，所以，由余弦定理得：，即，解得，所以周長(zhǎng)為，設(shè)外接圓半徑為R，由，得，所以外接圓面積.21．（24-25江蘇南通·階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)6【解析】（1）由得，，即，故，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)椋?；?），由正弦定理得，因?yàn)?，所以，由?）知，，由余弦定理得，解得，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.22．（24-25高一下·河北·期中）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且的周長(zhǎng)為．(1)求；(2)若，，是的平分線，且交于點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，可得，由正弦定理，可得，即，整理得，又由余弦定理，可得．因?yàn)?，所以．?）解：在中，因?yàn)?，，由余弦定理得，即，解得或（舍去），又因?yàn)槭堑钠椒志€，可得，，所以，解得．23．（2025·湖南）在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若，點(diǎn)在邊上，且是的平分線，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，得，解法一：由正弦定理得，又中，，所以，所以，于是，又，所以，又，所以.解法二：由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，由余弦定理得，又，所以.（2）由是的平分線，得，解法一：，又，所以.解法二：由得.即，解得，所以.24．（24-25高一下·海南·階段練習(xí)）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且.(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)6【解析】（1）因?yàn)?/p>