第5講空間角與空間距離考點一線線角【例1-1】（24-25海南?？冢┤鐖D，三棱錐中，均為正三角形，為直角三角形，斜邊為，為的中點，則直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點，連接，易得，則，所成的角即為直線所成的角.設，因為均為正三角形，為直角三角形，斜邊為，則，，，在中，由余弦定理，得，所以直線所成角的余弦值為.故選：B.【例1-2】（24-25黑龍江）在正四面體ABCD中，M，N分別是棱AB，CD的中點，則直線AN與CM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將正四面體ABCD中置于正方體中，如圖，易得，，所以四邊形為平行四邊形，則，則異面直線AN與CM所成角即為直線AN與NE所成角，即為直線AN與CM所成角（或補角），設正方體的棱長為2，則，，在中，由余弦定理可得，，因此直線AN與CM所成角的余弦值為.故選：C.【變式】1．（2025北京）如圖，圓錐SO的底面圓直徑為AB，，，D為底面圓上的動點，則（）A．當直線SD與AB所成角為60°時，直線SD與OC所成角為30°B．當直線SD與AB所成角為60°時，直線SD與OC所成角為60°C．直線SD與AB所成角的最小值為30°D．直線SD與AB所成角的最大值為60°【答案】B【解析】過作直線分別平行于，交分別為，連接，如圖，則為直線與所成的角，即，且為直線所成的角，設，則，在中，，，A錯誤，B正確；對于CD，直線與所成角的最小值即為直線與底面所成角，同時直線與所成角的最大值為直線與所成角，CD錯誤.故選：B2．（24-25陜西咸陽）在正四棱柱中，，點分別是的中點，則直線與所成夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，在正四棱柱中，取的中點，連接，又因為是的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且，所以與所成的角就是與所成的角，即．因為是的中點，所以是四邊形的中心，所以，取的中點，連接，則，且，在矩形中，，所以，則，在中，，所以在中，.故選：B．3．（24-25湖北·階段練習）如圖，在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）中，分別為的中點，則直線和夾角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因為分別為的中點，所以，，且，則，所以，即直線和夾角的余弦值為，所以正弦值為.故選：C考點二線面角【例2-1】（24-25高一下·甘肅張掖·期中）三棱錐中，若，，，則直線與平面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】過點作平面于，在平面內(nèi)過作，，垂足分別為，，連接，，則為直線與平面所成的角，由平面，平面，所以，，又，，，平面，則平面，因為平面，則，同理可得，由，得，又，因此四邊形為正方形，，，所以直線與平面所成角的正弦值.故選：B.【例2-2】（2025·浙江）如圖，在邊長為2的正三角形中，，分別為，的中點，將沿翻折至，使得.

(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】（1）連接，因為為等邊三角形，為中點，則，又，且面，面，，面，又面，所以平面平面.（2）解法一：（等體積法）過點作，垂足為，平面平面，且平面平面，面；又，分別為，中點，翻折后，，，由對稱性可知，又，所以，由等面積得，設直線和平面所成角為，點到面的距離為，由得：，又，，所以，，故直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：（幾何法）分別取，的中點，，連接，，，過點作，為等邊三角形，，分別為，中點，，，且，則面；面，面面，平面平面，又，面，，面，所以點到面的距離即為，翻折后，，，由對稱性可知，又，由勾股定理的逆定理可知，所以，在中，，，故邊上的高為，由等面積得，設直線和平面所成角為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.

解法三：（坐標法）過點作，垂足為，平面平面，且平面平面，面，又因為，分別為，中點，所以翻折后，，，由對稱性可知，又，所以，由等面積得，因此以為坐標原點，，分別為軸，軸建系如圖，

則，，，，，設面的法向量為，，，則不妨令，則法向量，設直線和平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.【變式】1．（24-25新疆昌吉·期末）棱長為1的正四面體中，與平面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】

如圖，過作平面于點，連接，則即為與平面所成角，因為正四面體棱長為1，則為的外心，則，，則，所以與平面所成角的正弦值為.故選：B.2．（24-25河南·階段練習）已知是從點出發(fā)的三條射線，若，則直線與平面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】過點作平面于，在平面內(nèi)過作，垂足分別為，連接，則為直線與平面所成的角，，平面，則平面，又平面，則，同理，由，得，又，因此四邊形為正方形，，，所以直線與平面所成角的正弦值.故選：B3．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，在直三棱柱中，D，E為，中點，連接，．(1)證明：平面；(2)若，，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）連接，如圖：因為三棱柱為直三棱柱，所以四邊形為矩形，又為中點，所以也是中點，且為中點，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為，，所以；又平面，平面，所以，因為平面，，所以平面平面，所以.平面平面，平面平面，平面,所以平面.所以即為直線與平面所成的角.在中：，，,所以.4．（2025·福建泉州）如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點，為的中點.

(1)證明:平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）取中點，連接、，

因為，所以，

由于為的中點，為的中點，所以，且，因為且，為的中點，所以，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，又因為平面，平面，所以，，因為，，、平面，所以，平面，因為，故平面.（2）解法1：設直線與平面所成角為，點到平面的距離為，則，

在中，由余弦定理可得，可得，解得，即，所以，，在Rt中，，，則，

過點在平面作垂直于的延長線于，易得，

因為平面，平面，則，因為，，、平面，所以，平面，由于，則，在中，，同理可得，又因為，為的中點，所以，，且，所以，，又，即，所以，，因此，，因此，直線與平面所成角的正弦值為；解法2：在中，由余弦定理可得，可得，解得，即，如圖，連接，

由（1），平面，平面，則，又因為，，，，則四邊形為正方形，因為為的中點，，由于，、平面，則平面，如圖，記，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，連接，由于平面，平面，則，又因為，、平面，則平面，所以即為直線與平面所成角，由于，則，

因為平面，平面，所以，，所以，，則為的三等分點，因為，則，因為為的中點，則，則，，于是，即直線與平面所成角的正弦值為；解法3：因為平面，，如圖，以為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，在中，由余弦定理可得，可得，解得，即，所以，，于是、、、、，

則，設平面的一個法向量為，，，于是，令，則，

設直線與平面所成角為，那么，即直線與平面所成角的正弦值為.考點三二面角【例3-1】（2024·湖北荊州）如圖，梯形中，,,,設的中點為，將三角形沿著折起，使得到的位置，滿足.

(1)求直線與平面所成的角；(2)求平面與平面所成的銳二面角.【答案】(1)(2)【解析】（1）因為,，所以四邊形是正方形，所以進而，，又平面，所以平面，又，所以平面，所以為直線與平面所成的角，線面垂直的性質(zhì)定理易得，在中,，所以，則，進而，所以即直線與平面所成的角為.（2）過點作，即與共面，且面，故面，

由，則，即與共面，且面，故面，所以平面平面，又，所以，同理，所以為平面與平面所成的銳二面角或其補角，而，所以，所以所求角為.【變式】1．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，已知四邊形是正方形，平面．求：(1)二面角平面角的度數(shù)；(2)二面角平面角的度數(shù)．【答案】(1)90°(2)45°．【解析】（1）平面，面，，，為二面角的平面角．四邊形是正方形，，二面角平面角的度數(shù)為90°．（2）平面，面，，．為二面角的平面角．四邊形為正方形，．即二面角平面角的度數(shù)為45°．2．（24-25高一下·湖南長沙·期中）三棱臺中，若平面，，，，，分別是，中點．

(1)求與所成角的余弦值；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)求證與平面平行．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【解析】（1）解：連接.由分別是的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，得，且，在三棱臺中，可得，所以，由，可得四邊形是平行四邊形，則，所以為與所成角，在中，由，可得.

（2）因為平面，在平面，所以，又又分別在平面與平面內(nèi)，平面與平面的交線為，所以即為平面與平面所成角的平面角，又，，分別是中點，所以，即平面與平面所成角的余弦值為；（3）由，，由棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知，又為的中點，易知與平行且相等，所以四邊形為平行四邊形，所以，又在平面外，在平面內(nèi)，所以平面.3．（24-25高一下·湖南長沙·期中）如圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點滿足．現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如圖所示．(1)求證：；(2)求四棱錐的體積；(3)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【解析】（1）證明：在平面圖形中，連接CE，由勾股定理得，因為且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形ABCE為菱形，在圖中，連接AC交BE于點，則，在立體圖形中，，，又，平面，平面．又平面，；（2）在平面圖形中，由勾股定理得，由（1）知，四邊形ABCE為菱形，結(jié)合題設易得，故，平面平面BCDE，且平面平面，平面，．平面BCDE，其中梯形的面積為，；（3）在立體圖形中延長BE，CD，設，連接．平面，平面．又平面，平面．是平面與平面的交線，平面平面BCDE，，平面平面，平面，又平面，，，作，垂足為，連接CH，又，平面，平面OCH，又平面OCH，．即為平面與平面所成銳二面角的平面角．由勾股定理得，，故，為等邊三角形，在Rt中，，，所以，又，故，由勾股定理得，所以，又，在中，，．平面與平面所成銳二面角的余弦值．4．（24-25高一下·江西宜春·階段練習）如圖，在正四棱錐中，底面邊長為2，高為4．(1)求直線與平面所成角的正切值；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）在正四棱錐中，連接，取中點，連接則為正方形的中心，平面，是直線與平面所成的角，由，得，而，在中，，即直線與平面所成角的正切值為；（2）在中，過作于，連接，由≌，得，而，則≌，，即，因此是二面角的平面角，，，，，在中，，，即二面角的余弦值為.考點四點面距【例4】（23-24高一下·河南鄭州·期中）如圖，直三棱柱的體積為，的面積為，則點到平面的距離為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由直三棱柱的體積為，可得，設到平面的距離為，由得，解得．故選：D．【變式】1．（23-24高一下·黑龍江牡丹江·階段練習）如圖，三棱柱的底面為正三角形，側(cè)棱與底面垂直，若，則點到平面的距離為.【答案】【解析】因為側(cè)棱與底面垂直，所以面，平面，所以，，而，由勾股定理得，因為三棱柱的底面為正三角形，所以，由勾股定理得，所以，在中，如圖，作，所以是中點，所以，由勾股定理得，故，設點到平面的距離為，由等體積公式得，故，解得，所以點到平面的距離為.故答案為：2．（24-25高一下·全國·課前預習）如圖，在平行四邊形中，，，為的中點，將沿直線折起到的位置，使平面平面．(1)證明：平面平面；(2)設為線段的中點，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)．【解析】（1）證明：因為，E為AB的中點，則．又，則為正三角形，所以．因為，，則．從而，即．因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．由平面，得平面平面．（2）取的中點，連接．因為為PC的中點，則，且，所以平面，所以點到平面的距離為FG．在中，，，則，即，所以，即點到平面的距離為．3．（23-24高一下·甘肅臨夏·期末）如圖所示，三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，，點P，D分別為AB，的中點．

(1)求證：平面；(2)求證：；(3)求點C到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【解析】（1）如圖，連接，在中，D，P分別是，AB的中點，則，而平面，平面，所以平面.（2）由，得，則，即，由平面，平面，則，而，平面，于是平面，又平面，則，又，所以．（3）如圖，連接，交于點E，連接BE，過點C作，F(xiàn)為垂足，由，側(cè)棱垂直于底面，得且，又，，CB，平面CBE，則平面CBE，又平面CBE，則，又，，平面，因此平面，即CF為點C到平面的距離，由平面，平面，得，，所以點C到平面的距離．考點五線面距【例5】（23-24高二上·北京·期中）正方體的棱長為a，則棱到面的距離為（

）A． B．a(chǎn) C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，它們交于點，正方形中，又平面，平面，所以，平面，所以平面，所以的長即為棱到面的距離，而，所以所求距離為．故選：C．【變式】1．（2025上海金山·階段練習）已知正四棱柱中，，，E為的中點，則直線與平面的距離為．【答案】1【解析】連接、交于點，則為中點，又E為中點，故，又平面，平面，故平面，則到平面的距離等于到平面的距離，則，在中，，，邊上的高，所以，設三棱錐的高為，所以，利用等體積法，得，解得.故答案為：1.2．（23-24北京通州·期中）在正三棱柱中，，則直線到平面的距離為【答案】【解析】在正三棱柱中，在底面內(nèi)作，因為平面底面，平面底面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，所以即為直線到平面的距離，因為為等邊三角形，且，所以直線到平面的距離為.故答案為：.考點六面面距【例6】（2025湖北）在長方體中，已知，，與平面ABCD所成角的大小是，那么平面ABCD到平面的距離是．【答案】【解析】如圖，連接AC,因為平面ABCD,故即為與平面ABCD所成角，則，又因為，，則,故在中，，在長方體中,平面ABCD到平面的距離即為棱的長，即平面ABCD到平面的距離為，故答案為：【變式】1．（23-24高一下·貴州貴陽·期末）正方體的棱長為，則平面到平面的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】連接，正方體中，平面，平面，則，正方形中，有，平面，，所以平面，平面，則有，同理有，平面，，所以平面，同理有平面，正方體棱長為，則，，設點到平面的距離為，由，

有，解得，即點到平面的距離為2，同理點到平面的距離為2，，則平面到平面的距離為.故選：B.2．（2024高一下·全國·專題練習）用六個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體.已知正六面體的棱長為，則平面與平面間的距離為.【答案】/【解析】由題意知：正六面體是棱長為的正方體，

有且，則四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，則有平面，同理平面，，平面，平面平面，連接，，，，平面，平面，又平面，，同理可證得：，又平面，，平面，平面，設垂足分別為，則平面與平面間的距離為.正方體的體對角線長為.在三棱錐中，，易知，則由等體積法求得：，∴平面與平面間的距離為：.故答案為：.3．（2025高一·全國·課后作業(yè)）在長方體中，有一過且與平面平行的平面，棱，，則平面與平面的距離是．【答案】【解析】因為平面平面，平面，所以到平面的距離即為平面與平面間的距離，易知平面，從而點A到平面的距離即為所求的距離．如圖，過點A作于點．因為平面，平面所以平面平面，又平面平面=所以平面，則即為所求．在中，，，則，因為，所以．故平面與平面的距離為．故答案為：單選題1．（2025湖南）如圖所示，，為正方體的兩個頂點，，為其所在棱的中點，則異面直線與所成角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】作如圖所示的輔助線，由于，為其所在棱的中點，所以，又因為，所以，所以即為異面直線與所成的角（或補角），易得，所以.故選：C．2．（2025山東）正方體中，直線與直線所成的角、直線與平面所成的角分別為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖：∵，∴直線與直線所成角為，∵是等邊三角形，∴，∵平面，∴直線與平面所成角為，∵是等腰直角三角形，∴，故選：D.3．（24-25遼寧大連·期末）在我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑ABCD中，平面BCD，且，點E，F(xiàn)分別為線段與線段的中點，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點為，連接，點E為線段的中點，則，故為異面直線EF與BD所成角或其補角；由題意知為直角三角形，且，則為直角，即，又平面BCD，且平面BCD，故，平面，故平面，而F為線段的中點。故，故平面，平面，故，設，則，又，同理，故為正三角形，則，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為，故選：A4.（2025海南）在三棱柱中，，，且，則直線與平面所成的角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解析】∵，，∴，∵，，，平面，∴平面，∴就是與平面所成的角，即與平面所成的角是，∵棱柱中，∴與平面所成的角的大小為，故選：A．5．（24-25貴州·階段練習）在長方體中，，與平面所成的角為，則四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】

在長方體中，利用長方體的性質(zhì)可知，平面，則與平面所成的角為，從而，因為平面，平面，所以，在直角中，根據(jù)，，可得，再由勾股定理，可以確定，利用長方體的性質(zhì)可知，平面，所以該四棱錐的體積為，故選：B．6．（2025·浙江）長方體中，，，則二面角的余弦值的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取中點，連接、，因為，，所以，，所以即為二面角的平面角，連接，，，所以，又因為，在中，，所以二面角的余弦值為，故選：B7．（2023重慶·期中）如圖在棱長為2的正方體，中E為BC的中點，點P在線段上，點P到直線的距離的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】

解：如圖所示，取的中點F，連接，，∵，底面，∴四邊形是矩形，∴，又平面，平面，∴平面，∴直線上任一點到平面的距離是兩條異面直線與的距離，過點作，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，過點M作交于點P，則，取，連接，則四邊形是矩形．可得平面，在中，，得，∴點P到直線的距離的最小值為．故選：B．8．（2024湖北）在直三棱柱中，所有棱長均為1，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點，連接，因為為等邊三角形，則，又因為平面，且平面，則，且，平面，可得平面，由題意可知：，設點到平面的距離為，因為，即，解得，所以點到平面的距離為.故選：A.多選題9．（24-25安徽阜陽·開學考試）如圖，四棱錐的底面為正方形，平面，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．AC與SB所成的角為C．AD與SB所成的角等于CD與SB所成的角D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角【答案】ABC【解析】對于A，由平面，平面，得，由正方形，得，而平面，則平面，又平面，因此，A正確；對于B，由選項A知，，而平面，則平面，又平面，因此，AC與SB所成的角為，B正確；對于C，由A同理可得由，得AD與SB所成的角為，CD與SB所成的角為，所以，則AD與SB所成的角等于CD與SB所成的角，C正確；對于D，，，則，DC與SA所成的角為，而AB與SC所成的角為，則AB與SC所成的角不等于DC與SA所成的角，D錯誤.故選：ABC10．（23-24高一下·江蘇常州·期末）已知四面體的各個面都是全等的三角形，且，則下列選項正確的是（

）A．直線所成角為B．二面角的余弦值為C．四面體的體積為D．四面體外接球的直徑為【答案】ABD【解析】對于A：取的中點，連接，，由題意四面體的各個面都是全等的三角形，，，可得，，又，，平面，所以平面，因為平面，所以，所以，所成角為，故A正確；對于B：取的中點，連接，，則，，所以為二面角的平面角，在中，，，由余弦定理可得，故B正確；對于C：由B可得，由，故C不正確；對于D：將四面體放入長方體中，如圖可得長方體與四棱錐共球，所以外接球半徑一樣，設外接球半徑為，所以，故D正確．故選：ABD．11．（24-25高一下·全國·單元測試）如圖，在正方體中，為底面的中心，為棱的中點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面 B．平面C．二面角等于 D．異面直線與所成的角等于【答案】ABD【解析】對于A，連接，交于，連接、，則由正方體性質(zhì)可知且，所以四邊形為平行四邊形，故．因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，連接，因為為底面的中心，為棱的中點，所以，由正方體性質(zhì)有、平面，因為平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，平面，所以平面，故平面，故B正確；對于C，由正方體性質(zhì)可知，又平面，所以平面，又平面，所以，，又所以為二面角的平面角，顯然不等于，故C錯誤；對于D，因為，所以為異面直線與所成的角，由正方體性質(zhì)可知為等邊三角形，所以，故D正確.故選：ABD.12．（23-24高一下·河北邯鄲·期中）如圖所示，在棱長為2的正方體中，M，N分別為，的中點，其中不正確的結(jié)論是（

）

A．直線MN與AC所成的角為 B．直線AM與BN是平行直線C．二面角的平面角的正切值為 D．點C與平面MAB的距離為【答案】BC【解析】對于A，連接，，則直線與所成角為或其補角，為等邊三角形，，直線與所成角為，故A對；

對于B，取中點為，連接，由于，而相交，所以直線，異面，故B錯誤；

對于C，連接相交于，連接,由于，所以,所以為二面角的平面角，在中，，故C錯誤，

對于D，，設到平面的距離為，由得，故D正確，故選：BC13．（23-24高一下·陜西寶雞·期末）已知正三棱臺的上底面邊長為6，下底面邊長為12，側(cè)棱長為6，則（

）A．棱臺的高為B．棱臺的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為C．棱臺的表面積為D．棱臺的側(cè)棱與底面所成角的余弦值為【答案】BC【解析】由題可知，在正三棱臺中，,在平面中，由點向作垂線垂足為D，取線段BC的中點E，連接AE，如圖，在平面中，由點向AE作垂線，垂足為F，連接DF，在等腰梯形中，，,，則，，所以棱臺的表面積為：，故C正確；又三棱臺為正三棱臺，所以為正三棱臺的高，所以且都在面內(nèi)，所以平面，面，故，在中，，在中，，所以棱臺的高為，故A錯誤；棱臺的側(cè)棱與底面所成角為故D錯誤；棱臺的側(cè)面與底面所成的二面角為，故B正確故選：BC填空題14．（2026高三·全國·專題練習）如圖，和是異面直線，，分別為線段上的點，且，則與所成角的大小為．【答案】【解析】解析在平面中，過作，交于點，連接，如圖，，又，則，（或其補角）即為與所成角，在中，，，，，與所成角的大小為60°．故答案為：.15．（2026高三·全國·專題練習）如圖，在四棱錐中，為上的動點，恒為定值，且是正三角形，則直線與直線所成角的大小是．【答案】【解析】因為為定值，點到底面的距離為定值，所以為定值，即到的距離為定值．因為為上的動點，所以，所以即為異面直線與所成的角．因為為正三角形，所以．所以直線與直線所成的角為．故答案為：16．（23-24高一下·天津西青·期末）如圖，在正方體中，異面直線與BC所成角的大小為；平面與平面ABCD所成的二面角的大小為．【答案】【解析】在正方體中，，故異面直線與BC所成角即為直線與AD所成角，由于，故異面直線與BC所成角的大小為；在正方體中，平面，而平面，故，又平面，平面，故為平面與平面ABCD所成的二面角，而,故平面與平面ABCD所成的二面角的大小為，故答案為：；解答題17．（24-25高二下·甘肅酒泉·階段練習）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點.(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求證：平面.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）取中點，連接，因為是的中點，是的中點，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角即為與所成的角，即為，因為面，面，所以，在中，，在中，，在中，，在中，由余弦定理得，所以異面直線與所成角的余弦值為.（2）設，因為，所以，所以，所以，所以，即，因為面，面，所以，又因為平面，，所以平面.18．（24-25上海松江·階段練習）已知在正四棱柱中，，，點是的中點.(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1);(2).【解析】（1）如圖，連接，設，則為的中點，又為的中點，，∴異面直線與所成角為或其補角，在中，，∴異面直線與DE所成角的余弦值為.（2），且，，又在正四棱柱中，平面，平面,，又平面，平面，又是的中點,.19．（2025·上海松江）已知梯形中，，為上的一點且，，，將沿翻折使得二面角的平面角為，連接、，為棱的中點.(1)求證：平面；(2)當時，求直線和平面所成角正弦值【答案】(1)證明見解析(2).【解析】（1）取的中點，連接、，因為點為棱的中點，且，所以且，，平面，平面，所以平面，同理可得平面.

因為平面，平面，且，所以平面平面.

因為平面，所以平面.（2）過點作于點，連接，因為，，，平面，因為平面，所以，因為平面，平面，且，所以平面.

所以就是直線和平面所成角.由題意得：二面角的平面角為，由（1）易得，在中，由，，得，取中點為，連接，因為分別為的中點，所以，且，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，在中，由，，得，則.在中，由20．（24-25高一下·山東菏澤·階段練習）如圖，平面，分別為的中點.(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)．【解析】（1）∵分別為的中點，∴．又∵，∴．又不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，∴平面．（2）連接.為的中點，且.平面平面，∴，∵，∴，∵，平面，平面，∵平面，由（1）有，又四邊形為平行四邊形，∴，∵，平面.平面.為和平面所成的角.由得，在Rt中，，和平面所成角的正弦值為.21．（2025·湖南常德）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，平面，二面角為.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）在四棱錐中，由平面，平面，得，由四邊形是正方形，得，而平面，因此平面，又平面,所以平面平面.（2）由（1）知，平面，而，則平面，又平面，于是，為二面角的平面角，則，令正方形的棱長為4，而，則，取中點，連接，則，由（1）知平面平面，又平面平面，平面，則平面，是直線與平面所成的角，而，，所以直線與平面所成角的正弦值為.22．（2025·四川廣安）在三棱柱中，底面，，，到平面的距離為1.(1)證明：平面平面；(2)已知三棱錐的體積為，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）底面，底面，，又，，平面，平面平面，又底面，平面平面.（2）法一：由（1）可知，平面，平面，所以.，，，，在中作于，又平面平面，且平面平面平面，平面，則即為到平面的距離，即，所以為的中點，即，，過作交的延長線與，連接，平面，則為與平面所成角的角，又，，四邊形為平行四邊形，，，，，，.與平面所成角的正弦值為.法二：面且，、、兩兩相互垂直.以為坐標原點，以、、所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖：由法一可知，，所以，，，，，，，，，設面的法向量，，令，可得法向量.所以，與平面所成角的正弦值為.23．（2025·山東濰坊）如圖，四棱臺中，上、下底面分別為邊長1，2的正方形，平面，，．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）連接，交于點，連接,.由題意：，且，，為中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面.（2）因為平面，所以平面，又平面，所以.又，，平面，所以平面.所以為直線與平面所成的角.在中，.24．（23-24高一下·甘肅蘭州·期末）如圖，正方體的棱長為2.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在正方體，且，∴為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵在正方形ABCD中，設，連接，∴，，∵中，，∴為等腰三角形