思維導(dǎo)圖第2章二元一次方程組思維導(dǎo)圖【類型覆蓋】類型一、二元一次方程(組)的整數(shù)解【解惑】已知關(guān)于，的方程組，若方程組的解中恰為整數(shù)，也為整數(shù)，則的值為（

）A． B．1 C．或3 D．或【答案】D【分析】利用加減消元法解關(guān)于、的方程組得到，利用有理數(shù)的整除性得到，從而得到滿足條件的的值．【詳解】解：，得，解得，∵為整數(shù)，為整數(shù)，∴，∴的值為或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．也考查了解二元一次方程組．【融會貫通】1．關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為正整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3【答案】C【分析】先求出方程組的解，由方程組的解為正整數(shù)分析得出a值．【詳解】解：解方程組，得，∵方程組的解為正整數(shù)，∴a＝0時，；a＝2時，，∴滿足條件的所有整數(shù)a的和為0+2＝2．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了已知二元一次方程組的解求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是求出方程組的解，由方程組解的情況分析得到a的值．2．若關(guān)于的二元一次方程組的解為整數(shù)，則滿足條件的所有的值的和為.【答案】【分析】把看作已知數(shù)由加減消元法求得，由方程組的解為整數(shù)，確定出的值即可．【詳解】解：，得，解得：∵關(guān)于、的方程組的解為整數(shù)，∴，∴滿足條件的所有的值的和為．故答案為：．3．已知關(guān)于x和y的方程組有正整數(shù)解，求整數(shù)a的值．【答案】1或2或4或10【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，利用有理數(shù)的整除的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．利用加減法求出方程組的解，利用已知條件得到關(guān)于a的關(guān)系式，利用有理數(shù)的整除的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論【詳解】解：，由得：，∴當(dāng)時，，∵有正整數(shù)解∴，且或2或3或4或6或12∴，當(dāng)，則，此時，（舍）；當(dāng)，則，此時，（舍）；當(dāng)，則，此時，；當(dāng)，則，此時，；當(dāng)，則，此時，；當(dāng)，則，此時，，∴整數(shù)a的值為1或2或4或10．類型二、二元一次方程組的換組求解【解惑】如果方程組的解與方程組的解相同，則，的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩方程組的解相同，可得出方程組的解為，代入后可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意方程組的解與方程組的解相同，則有，解得：，將，代入得，，解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，牢記“一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”是解題的關(guān)鍵．【融會貫通】1．已知關(guān)于x，y的方程組和的解相同，則的值為（）A． B．0 C．1 D．2023【答案】B【分析】聯(lián)立不含與的方程組成方程組，求出方程組的解得到與的值，進(jìn)而求出與的值，即可求出所求．【詳解】解：聯(lián)立得：，得：，解得：，把代入①得：，把，代入得：，解得：，則原式．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．2．已知關(guān)于，的兩個方程組和的解相同，則．【答案】【分析】此題主要考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程，先根據(jù)方程組和的解相同，得方程組的解是方程組和的解，再由，得，然后將代入和中，得，由此可得的值，理解二元一次方程組的解，熟練掌握解二元一次方程是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵方程組和的解相同，∴方程組的解是方程組和的解，解方程組，得，將代入和，得，得：，∴，故答案為：．3．已知關(guān)于x、y的方程組的解和的解相同，求代數(shù)式的平方根．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，平方根，由同解方程求解x，y值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩方程組的解相同可將和重新組成方程組，解方程組可求解x，y值，即可得關(guān)于a，b的方程組，進(jìn)而可求解的值．【詳解】解：∵方程組的解和的解相同，∴方程組的解和的解相同，解得：，∴，解得：，∴，即代數(shù)式的平方根為．類型三、二元一次方程組的誤解【解惑】在數(shù)學(xué)課上，吳老師叫同學(xué)們解方程組，由于小明看錯了方程①中的a，得到方程組的解為，小華看錯了方程②中的b，得到方程組的解為，則的平方根為（

）A．±3 B．3 C．9 D．±9【答案】A【分析】根據(jù)方程組的解的定義，應(yīng)滿足方程②，應(yīng)滿足方程①，將它們分別代入方程②①，就可解得a，b的值，進(jìn)而即可求解.【詳解】解：將代入②得：，解得：，將代入①得：，解得：，∴，即：的平方根是±3，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解和平方根的定義，能求出a、b的值是解題的關(guān)鍵．【融會貫通】1．兩位同學(xué)在解方程組時，甲同學(xué)由正確地解出乙同學(xué)因把寫錯了解得那么的正確的值應(yīng)為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】把代入得，由方程組中第二個式子可得：．再由，可得a，b的值，從而可得答案．【詳解】解：把代入得：，由②得：，∵乙同學(xué)因把寫錯了解得，∴，∴，解得：，∴B符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的錯解問題，解題的關(guān)鍵是理解題意得出正確的方程組．2．解方程組時，甲同學(xué)正確解得，乙同學(xué)因把c寫錯而得到，則．【答案】10【分析】將代入方程組可得，再將代入方程可得，然后解方程組可得的值，代入計算即可得．【詳解】解：將代入方程組可得，解得，將代入方程可得，聯(lián)立，解得，則，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的錯解問題，熟練掌握消元法是解題關(guān)鍵．3．甲、乙兩人同時解方程組甲看錯了，求得解為；乙看錯了，求得解為．請你求出的值．【答案】【分析】本題考查了方程組的解，代數(shù)式的值計算，熟練掌握解方程組的解的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．把，代入，求得a值，把，代入，求得b值，后求的值即可．【詳解】解：把，代入，得，解得，把，代入，得，解得，所以．類型四、二元一次方程組的整體代換法【解惑】已知關(guān)于，的方程組的解是，則關(guān)于，的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組．熟練掌握二元一次方程組的解，解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．由題意得，關(guān)于，的方程組的解是，進(jìn)而可得關(guān)于，的方程組的解．【詳解】解：∵關(guān)于，的方程組的解是，∴關(guān)于，的方程組的解是，即，∴關(guān)于，的方程組的解是，故選：B．【融會貫通】1．已知關(guān)于x，y的方程組的解為請直接寫出關(guān)于m、n的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的特殊解法，根據(jù)關(guān)于x，y的方程組的解為，得出，結(jié)合關(guān)于m、n的方程組，得出，進(jìn)行解方程，即可作答．【詳解】解：∵∴∵關(guān)于x，y的方程組的解為，∴∵關(guān)于m、n的方程組∴解得故選：B2．已知關(guān)于x，y的方程組的解為，則關(guān)于x，y的方程組的解為．【答案】【分析】本題考查的是二元一次方程組的特殊解法．把原方程化為，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，而關(guān)于，的方程組的解是，∴，解得：；故答案為：．3．在數(shù)學(xué)課上，老師教給了同學(xué)們一種新的解方程組的方法，例如：解方程組時，可由①得③，然后再將③代入②，得，解得，從而進(jìn)一步得這種方法被稱為“整體代入法”．(1)用上述方法解方程組(2)若方程組的解是，求方程組的解．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一元二次方程組的解，解一元二次方程組，根據(jù)題中給出的整體代入的方法求解方程組是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中給出的方法，利用整體代入法求解方程組即可；（2）根據(jù)題意可得出，再利用加減消元法求解方程組即可．【詳解】（1）解：，由①，得③，把③代入②，得，解得，將代入③，得，解得，所以方程組的解為；（2）方程組的解是，由題意可得，解得．類型五、二元一次方程組的新定義運(yùn)算【解惑】對于實數(shù)x、y定義新運(yùn)算：（其中a，b為常數(shù)），已知，則的值為（

）A．9 B．8 C．4 D．3【答案】A【分析】本題主要考查二元一次方程組的解法及有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題中所給運(yùn)算；因此此題可根據(jù)題中所給新定義運(yùn)算建立方程組，然后問題可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：，∴；故選A．【融會貫通】1．對于實數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◆”：，例如，因為．所以．若x，y滿足方程組，則（

）A．13 B．26 C．30 D．60【答案】D【分析】先利用加減消元法求出方程組的解，再根據(jù)所給的新定義代值計算即可．【詳解】解：解方程組得，∵，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，新定義下的實數(shù)運(yùn)算，正確求出方程組的解是解題的關(guān)鍵．2．對于定義一種新運(yùn)算（是非零常數(shù)）．例如．若，，則．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、代數(shù)式求值等知識，正確確定的值是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)題意確定關(guān)于的二元一次方程，求解即可確定的值，然后代入求值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得，解得，∴．故答案為：．3．對于有理數(shù)和，定義新運(yùn)算：，其中、是常數(shù)，已知，．(1)求、的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查定義新運(yùn)算，解二元一次方程組：（1）根據(jù)新定義，列出方程組進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)新定義的法則，結(jié)合，列式計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，得，，整理得，，解得，，把代入①得，，解得，，∴；（2）根據(jù)題意得，，解得．類型六、二元一次方程組的應(yīng)用——平行線問題【解惑】已知，如圖1，射線分別與直線，相交于，兩點(diǎn)，的平分線與直線相交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，設(shè)，，且．(1)求α，β；(2)如圖2，若點(diǎn)G，H分別在射線和線段上，且，試找出與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若將圖中的射線繞著端點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），分別與，相交于點(diǎn)和點(diǎn)時，作的角平分線與射線相交于點(diǎn)，問在旋轉(zhuǎn)的過程中的值是否改變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)不變，．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知：；（2）結(jié)論．只要證明即可解決問題；（3）結(jié)論：的值不變，．如圖3中，作的平分線交的延長線于．只要證明，即可；【詳解】（1）證明：，；（2）解：．理由：∵，∵平分，∵，，∴；，，，∴，，，；（3）解：的值不變，．理由：如圖3中，作的平分線交的延長線于．∵，，，，，∴，，設(shè)，，則有：，可得，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、解二元一次方程組等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．【融會貫通】1．某市為提升山海健康步道夜景效果，在兩條筆直平行的景觀道，上安裝旋轉(zhuǎn)燈，旋轉(zhuǎn)燈A的光射線自順時針旋轉(zhuǎn)至再回轉(zhuǎn)，燈B的光射線自旋轉(zhuǎn)至再回轉(zhuǎn)，燈A為激光燈，燈B為燈，分為兩種型號，型號一每秒轉(zhuǎn)，型號二每秒轉(zhuǎn)，這兩種型號的燈購買費(fèi)用如下表：購買型號一數(shù)量（個）購買型號二數(shù)量（個）總價（元）1214534335

(1)如圖1，若燈A的光射線順時針旋轉(zhuǎn)，光線與交于C點(diǎn)，D為上一點(diǎn)，且，求．(2)如圖2，若燈A每秒轉(zhuǎn)，其先轉(zhuǎn)20秒后燈B開始轉(zhuǎn)40秒后，兩燈的光束的夾角為．請你判斷所安裝的是哪個型號的燈，并求該型號燈單個購買費(fèi)用．(3)如圖3，在轉(zhuǎn)動過程中，若某一時刻兩燈的光束交于點(diǎn)O，此時點(diǎn)E為射線上一點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)F，求和的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)50(3)【分析】（1）根據(jù)題意可知，，根據(jù)平角的定義和平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）設(shè)兩燈的光束交于點(diǎn)，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，則，根據(jù)題意得，進(jìn)而算出，根據(jù)“轉(zhuǎn)速二轉(zhuǎn)過的角度時間”列出算式計算，設(shè)設(shè)型號一的燈單價為元，型號二的燈單價為元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，再求解即可；（3）設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得，以此化簡即可解答．【詳解】（1）解：∵燈的光射線順時針旋轉(zhuǎn)，光線與交于點(diǎn)，（2）解：設(shè)兩燈的光束交于點(diǎn)，過作，由題意可得，∴，∴，∴燈的旋轉(zhuǎn)速度為(度/秒)∴安裝的是型號二的燈，設(shè)型號一的燈單價為元，型號二的燈單價為元，根據(jù)題意得：，解得∶，型號一的燈單價為45元，型號二的燈單價為50元，∴該型號燈單個購買費(fèi)為50元；（3）解：設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，∵，∴，即，∴，∵、分別為與的角平分線，∴，∵∴，即，，即即．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、二元一次方程組的應(yīng)用、角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題是解題關(guān)鍵．2．佛堂古鎮(zhèn)的萬善浮橋，其夜晚的燈光秀美輪美輪，兩岸景觀照明還榮獲了中國照明學(xué)會第十六屆照明獎的一等獎．如圖1所示，記浮橋兩岸所在直線分別為，且，浮橋上裝有兩種不同的激光燈A和激光燈B（假設(shè)以及由A、B兩點(diǎn)發(fā)出的光射線始終在同一平面內(nèi)），燈A的光射線以2度每秒的速度從射線順時針旋轉(zhuǎn)至射線后繼續(xù)回轉(zhuǎn)，燈B的光射線以5度每秒的速度從射線順時針旋轉(zhuǎn)到射線后也繼續(xù)回轉(zhuǎn)，當(dāng)打開激光燈的總開關(guān)時，激光燈A和激光燈B同時開始轉(zhuǎn)動．

(1)若購買2盞燈A和4盞燈B共需10萬元，購買3盞燈A和2盞燈B共需8.6萬元，請問：購買燈A和燈B的單價分別是多少萬元？(2)打開總開關(guān)，當(dāng)燈A的光射線第一次從射線旋轉(zhuǎn)至射線的過程中，求燈A和燈B的光射線恰好互相垂直時所需要的時間．(3)如圖2，打開總開關(guān)，當(dāng)燈B的光射線第一次從射線旋轉(zhuǎn)至射線BS的過程中，若燈A和燈B的光射線有交點(diǎn)（記為點(diǎn)O），延長至點(diǎn)E，作與的角平分線并交于點(diǎn)F，求與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)買燈A單價是萬元，買燈B的單價是萬元；(2)秒，秒，秒；(3)【分析】（1）列二元一次方程組求解即可；（2）分三種情況畫出圖形，根據(jù)角的關(guān)系列出方程求解即可；（3）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義推導(dǎo)即可.【詳解】（1）解：設(shè)買燈A和燈B的單價分別是萬元和萬元，根據(jù)題意，得：解得：答：買燈A單價是萬元，買燈B的單價是萬元．（2）解：設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，燈A的光射線第一次從射線順時針旋轉(zhuǎn)至射線所需的時間為：(秒)，燈B的光射線從射線順時針旋轉(zhuǎn)到射線所需的時間為：(秒)，①當(dāng)時，燈A和燈B的光射線恰好互相垂直，如圖所示：

作，∵，∴，∴，，∵，∴，于是有：，解得：；②當(dāng)時，燈A和燈B的光射線恰好互相垂直，如圖所示：

此時，，，于是有：，解得：；③當(dāng)時，燈A和燈B的光射線恰好互相垂直，如圖所示：

此時，，，于是有：，解得：；綜上可得，當(dāng)燈A的光射線第一次從射線AQ旋轉(zhuǎn)至射線AP的過程中，燈A和燈B的光射線恰好互相垂直時所需要的時間為：秒，秒，秒（3）解：與的數(shù)量關(guān)系是：過點(diǎn)作，如圖所示：

∵，∴，∴，∵作與的角平分線并交于點(diǎn)F，∴，∴即.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，構(gòu)造圖形并正確分類是解題的關(guān)鍵.3．已知，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于．（1）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，在（1）問的條件下，點(diǎn)，在上，連接，，，若平分，平分，，，求的度數(shù)．【答案】（1），理由見解析；（2）9°【分析】（1）先過點(diǎn)作，根據(jù)同角的余角相等，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，即可得到，可得；（2）先過點(diǎn)作，根據(jù)角平分線的定義，得出，再設(shè)，，根據(jù)，可得，根據(jù)，可得，最后解方程組即可得到．【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)作，∵，∴，，即，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）如圖2，過點(diǎn)作，∵平分，平分，∴，，由（1）可得，∴，設(shè)，，則，，，，∴，∵，，∴，中，由，可得，①由，可得，②由①②聯(lián)立方程組，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，運(yùn)用等角的余角（補(bǔ)角）相等進(jìn)行推導(dǎo)．余角和補(bǔ)角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時注意方程思想的運(yùn)用．類型七、二元一次方程組的應(yīng)用——圖表信息問題【解惑】在的方格中，每行、每列及對角線上的3個代數(shù)式的和都相等，我們把這樣的方格圖叫做“等和格”．如圖1的“等和格”中，每行、每列及對角線上的3個代數(shù)式的和都等1

圖2

圖3

圖4(1)在圖2的“等和格”方格圖中，可得__________（用含的代數(shù)式表示）；(2)在圖3的“等和格”方格圖中，可得__________，__________；(3)在圖4的“等和格”方格圖中，可得__________．【答案】(1)(2)；2(3)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及列代數(shù)式，找準(zhǔn)等量關(guān)系，找出關(guān)于a，b的方程（或方程組）是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“等和格”的定義，即可得出，變形后即可用含b的代數(shù)式表示出a；（2）根據(jù)“等和格”的定義，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可求出a，b的值；（3）根據(jù)“等和格”的定義，即可得出關(guān)于a，b的二元二次方程組，方程①變形后可得出方程③，方程②變形后可得出方程④，再將③代入④中即可求出b的值．【詳解】（1）解：依題意得：，．故答案為：．（2）依題意得：，解得：．故答案為：；2．（3）依題意得：，由①可得：③，由②可得：④，將③代入④中得：．故答案為：．【融會貫通】1．如圖，從左向右依次擺放序號分別為，，，．．．的小正方形卡片，每個小正方形卡片上均畫有若干個小圓點(diǎn)．其中任意相鄰的個小正方形卡片上的小圓點(diǎn)數(shù)量之和相等．

(1)分別求出，的值；(2)當(dāng)時，所有這些小正方形紙片上的小圓點(diǎn)數(shù)量之和是多少？(3)小明說，第個小正方形卡片上的小圓點(diǎn)的個數(shù)是個，請直接判斷他的說法是否正確．【答案】(1)，(2)(3)正確，理由見解析【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律，（1）根據(jù)任意相鄰的個小正方形卡片上的小圓點(diǎn)數(shù)量之和相等，建立關(guān)于，的方程組即可解決問題；（2）根據(jù)卡片上小圓點(diǎn)個數(shù)變化的規(guī)律即可解決問題；（3）根據(jù)卡片上小圓點(diǎn)個數(shù)變化的規(guī)律即可解決問題；能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)卡片上小圓點(diǎn)的個數(shù)按，，，循環(huán)出現(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵任意相鄰的個小正方形卡片上的小圓點(diǎn)數(shù)量之和相等，∴，解得：；（2）由題知，連續(xù)個相鄰卡片上小圓點(diǎn)的個數(shù)之和為：，又∵，∴，故這些小正方形紙片上的小圓點(diǎn)數(shù)量之和是；（3）正確．理由：∵卡片上小圓點(diǎn)的個數(shù)按，，，循環(huán)出現(xiàn)，∴，∴第個小正方形卡片上的小圓點(diǎn)的個數(shù)是個，∴小明的說法正確．2．如表，在3×3的方陣中，填寫了一些數(shù)和代數(shù)式（其中每個代數(shù)式都表示一個數(shù)），使得每行的3個數(shù)、每列的3個數(shù)、斜對角的3個數(shù)之和均相等．34﹣2備用表34﹣1﹣226501(1)求，的值；(2)在備用表中完成此方陣圖．【答案】(1)，；(2)﹣1，2，6，5，0，1【分析】（1）根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于，的二元一次方程組進(jìn)行求解；（2）利用（1）結(jié)果代入計算求值．【詳解】（1）解：由題意得，，解得：，∴，；（2）將，代入方陣，可得，，解得，，∴，解得，故答案為：﹣1，2，6，5，0，1．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用二元一次方程組解決方陣問題的能力．關(guān)鍵是能根據(jù)題意列出方程組并進(jìn)行求解．3．為了讓居民樹立起“節(jié)約水，保護(hù)水”的用水概念，某市的居民生活用水按階梯式水價計費(fèi)，下表是該市居民“一戶一表”生活用水計費(fèi)價格表的部分信息．每戶每月用水量自來水銷售價格/（元/t）污水處理價格/（元/t）10t及以下m0.8超過10t但不超過20t的部分n0.8超過20t的部分3.200.8（說明：①每戶產(chǎn)生的污水量等于該用戶自來水用量：②水費(fèi)=自來水費(fèi)用+污水處理費(fèi)用）已知小李家去年6月份用水10t，繳納水費(fèi)25元；7月份用水15t，繳納水費(fèi)45.5元．（1）求表中的m，n的值；（2）小李家去年8月份的水費(fèi)正好是家庭月收入的1%，已知小李家的月收入為8000元，求小李家8月份的用水量．【答案】（1）m=1.7，n=3.3；（2）23.5噸【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系：“小李家去年6月份用水10t，繳納水費(fèi)25元；7月份用水15t，繳納水費(fèi)45.5元”可列方程組求解即可．（2）先求出小李家8月份的水費(fèi)，小李家8月份的用水量范圍，再根據(jù)8月份的水費(fèi)正好是家庭月收入的1%，列出方程求解即可．【詳解】解：（1）由題意，得：，解得：；（2）當(dāng)用水量為20噸時，水費(fèi)為：25+（20-10）×（3.3+0.8）=66（元），8000×1%=80元，∵66＜80，∴小李家8月份的用水量超過30噸，（80-66）÷（3.2+0.8）+20=23.5（噸）．故小李家8月份的用水量是23.5噸．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題干找出合適的等量關(guān)系．類型八、二元一次方程組的新定義應(yīng)用【解惑】閱讀理解題：定義：如果一個數(shù)的平方等于．記為，這個數(shù)叫做虛數(shù)單位．那么和我們所學(xué)的實數(shù)對應(yīng)起來就叫做復(fù)數(shù)，表示為（a，b為實數(shù)），a叫這個復(fù)數(shù)的實部，b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類似．例如計算：．(1)填空：________，________．(2)若兩個復(fù)數(shù)相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，完成下面問題：已知：，（x，y為實數(shù)），求x，y的值．【答案】(1)，1(2)，【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合，解答即可．（2）根據(jù)實部等于實部，虛部等于虛部，構(gòu)造方程組解答即可．本題考查了新知識的拓展學(xué)習(xí)，正確理解新知識，并轉(zhuǎn)化成已學(xué)知識解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，∴，，故答案為：，1．（2）解：，∴，解得故x的值為，y的值為．【融會貫通】1．定義：形如關(guān)于的方程與的兩個方程互為共軛二元一次方程，其中；由這兩個方程組成的方程組，叫做共軛方程組．(1)請寫出方程的共軛二元一次方程：；(2)若方程中的值滿足表格：x﹣12y21求這個方程的共軛二元一次方程；(3)若共軛方程組的解是，請你求出的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查解二元一次方程組，新定義方程及方程組，正確理解題中新定義的特點(diǎn)，根據(jù)新定義確定共軛方程及方程組是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)共軛二元一次方程的定義即可得到；（2）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)求得，即可求得這個方程的共軛二元一次方程；（3）分別根據(jù)代入法或是加減法解方程組，觀察解中與的關(guān)系即可得到答案．【詳解】（1）解：方程的共軛二元一次方程是，故答案為：；（2）解：方程中，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，解得，這個方程的共軛二元一次方程是；（3）解：，得，，得，，解得，將代入得，，解得，，共軛方程組的解是，．2．定義：關(guān)于的二元一次方程（其中）中的常數(shù)項與未知數(shù)系數(shù)互換，得到的方程叫“變更方程”，例如：的”變更方程”為．(1)方程與它的“變更方程”組成的方程組的解為______；(2)已知關(guān)于的二元一次方程的系數(shù)滿足，且與它的“變更方程”組成的方程組的解恰好是關(guān)于的二元一次方程的一個解，求代數(shù)式的值；(3)已知整數(shù)滿足條件，并且是關(guān)于的二元一次方程的“變更方程”，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查二元一次方程（組）的新定義，加減消元法，代入消元法解二元一次方程組的方法，理解“變更方程”的定義，掌握解二元一次方程（組）的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“變更方程”的定義可得，聯(lián)立方程組求解即可；（2）根據(jù)題意，先聯(lián)立方程組，結(jié)合求出，代入二元一次方程得，，代入代數(shù)式化簡求值即可；（3）根據(jù)題意可得，分別求出，根據(jù)可得，由此可求出，結(jié)合整數(shù)即可求解．【詳解】（1）解：與它的“變更方程”為，∴聯(lián)立方程組為，解得，，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，的”變更方程”為，∴聯(lián)立方程組得，，解得，，∵，則，∴，即，∵是二元一次方程的一個解，∴，則，∴；（3）解：是關(guān)于的二元一次方程的“變更方程”，∴，①②得，，整理得，，把代入①得，，整理得，，∵，∴，解得，，∵，∴，則，∵是整數(shù)，∴．3．閱讀理解：已知，為有理數(shù)，且，若關(guān)于的一元一次方程的解為，我們就定義該方程為“和解方程”．例如：方程的解為，因為，所以方程是“和解方程”．請根據(jù)上述定義解答下列問題：(1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”）(2)已知關(guān)于的一元一次方程是“和解方程”，求的值；(3)已知關(guān)于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值．【答案】(1)不是(2)m=(3)【分析】（1）根據(jù)定義計算判斷即可；（2）根據(jù)定義列方程求出m即可；（3）根據(jù)定義列方程組求解即可．【詳解】（1）解：方程3x=-6的解為x=-2，∵-2≠-6+3，∴方程3x=-6不是“和解方程”，故答案為：不是；（2）由題意得，解得m=；（3）由題意得，解得，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，解二元一次方程組，正確理解題意中的定義列得方程或方程組解決問題是解題的關(guān)鍵．類型九、二元一次方程組的整體思想【解惑】閱讀材料：小強(qiáng)同學(xué)在解方程組時發(fā)現(xiàn)，可將第一個方程通過移項變形為，然后把第二個方程中的換成7，可以很輕松地解出這個方程組．小強(qiáng)同學(xué)發(fā)現(xiàn)的這種方法叫作“整體代入法”，是中學(xué)數(shù)學(xué)里很常用的一種解題方法．(1)請按照小強(qiáng)的解法解出這個方程組；(2)用整體代入法解方程組【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是二元一次方程組的解法，掌握整體代入法解方程組是解本題的關(guān)鍵；（1）由①得：，再代入②得：可得，再進(jìn)一步求解即可；（2）由①得：③，把③代入②得：可得：，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：，由①得：③，把③代入②得：，解得：，把代入③得：，∴方程組的解為：．（2）解：，由①得：③，把③代入②得：，整理得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程組的解為：．【融會貫通】1．先閱讀材料：解方程組解：由①得③，把③代入②中得，解得．把代入③中得，即．故方程組的解為，這種方法稱為“整體代入法”．請用上述方法解方程組．【答案】【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，先由第一個方程得到，再把③代入②求出x的值，進(jìn)而求出y的值即可．【詳解】解：由①得：，把③代入②得：，解得，把代入③得：，解得，∴方程組的解為．2．先閱讀下面材料，再完成任務(wù)：有些關(guān)于方程組的問題，我們需要求解的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)x，y滿足，①，，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大，其實，仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由可得，由可得，這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：(1)已知二元一次方程組，則________，________；(2)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記木共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？(3)對于實數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：，其中a，b，c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知，，那么________．【答案】(1)；1(2)購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元(3)【分析】（1）利用可得出的值，利用可得出的值；（2）設(shè)鉛筆的單價為元，橡皮的單價為元，日記本的單價為元，根據(jù)“買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元”，即可得出關(guān)于，，的三元一次方程組，由可得出的值，再乘5即可求出結(jié)論；（3）根據(jù)新運(yùn)算的定義可得出關(guān)于，，的三元一次方程組，由可得出的值，即的值．【詳解】（1）解：，由可得：，由可得：．故答案為：；1；（2）解：設(shè)鉛筆的單價為元，橡皮的單價為元，日記本的單價為元，依題意，得：，由可得，；答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元．（3）解：依題意，得：，由可得：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及三元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）運(yùn)用“整體思想”求出，的值；（2）（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組．3．閱讀材料：善于思考的小聰同學(xué)在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法．解：把，看成一個整體，設(shè)，，原方程組可化為，解得，∴，∴原方程組的解為．(1)若方程組的解是，試求方程組的解；(2)仿照小聰同學(xué)的方法，用“整體換元”法解方程組．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二元一次方程組的特殊解法—“整體換元法”．（1）根據(jù)題意所給材料可得出，再解出這個方程組即可．（2）根據(jù)題意所給材料可令，，則原方程組可化為，解出m，n，代入得到，再解出關(guān)于x，y的方程組即可．【詳解】（1）解：∵方程組的解是，∴，解得；（2）解：設(shè)，，則原方程組可化為，解得，∴，∴原方程組的解為．類型十、閱讀理解【解惑】【閱讀理解】我們把形如（a、b均為整數(shù)，且．）的方程稱為二元一次整系數(shù)方程．若，則可以用以下方法確定其正整數(shù)解的數(shù)量，例如．，則，∵，∴，∵y為正整數(shù)，1，2，3，故原方程的正整數(shù)解有3個，分別為，，；若，則可以用以下方法確定其正整數(shù)解的數(shù)量，例如，則，設(shè)（k為正整數(shù)），則，，，，故原方程的正整數(shù)解有1個，為．【問題解決】（1）結(jié)合上述內(nèi)容，請直接寫出的所有正整數(shù)解；（2）若關(guān)于x和y的二元一次方程有且只有一個正整數(shù)解，請求出m的值；【應(yīng)用遷移】（3）假期臨近，吳老師為表彰本學(xué)年積極參與班級活動的學(xué)生，委托采購小組購買獎品．組長小麗匯報稱：“我們購買了兩種類型的筆記本，其中A類型筆記本7本，B類型筆記本12本，總計花費(fèi)84元，由于未索取收銀小票，因此暫不能確定兩種筆記本的具體單價．”吳老師聽后，敏銳地指出：兩種類型筆記本的單價不可能同時為整數(shù)．請你結(jié)合上述內(nèi)容分析吳老師的判斷是否正確．【答案】（1），

（2）

（3）吳老師的判斷正確【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意，找到解題思路.（1）根據(jù)題意,可得,根據(jù)均為正整數(shù),即可求解;（2）根據(jù)正整數(shù)解的解法計算即可；（3）設(shè)類型筆記本的單價為元，類型筆記本的單價為元，根據(jù)題意，可得根據(jù)均為正整數(shù)，即可求解.【詳解】（1）∵,∴,∵均為正整數(shù),∴，；（2）解：∵，∵,，又∵∴,∴,∵二元一次方程有且只有一個正整數(shù)解，∴；設(shè)類型筆記本的單價為元，類型筆記本的單價為元，根據(jù)題意，可得即，∵均為正整數(shù),設(shè)（k為正整數(shù)），則，，，不能為整數(shù)，故原方程無正整數(shù)解．∴吳老師的判斷正確．【融會貫通】1．【閱讀理解】在解方程組或求代數(shù)式的值時，可以用整體代入或整體求值的方法，化難為易．（1）解方程組解：（1）把代入得：解得：．把代入得：．所以方程組的解為（2）已知，求的值．解：（2）得：得；【類比遷移】（1）若，則______．（2）運(yùn)用整體代入的方法解方程組．【實際應(yīng)用】（3）“戰(zhàn)疫情，我們在一起”，某公益組織計劃為老年公寓捐贈一批防疫物資，已知打折前購買瓶消毒液、支測溫槍、套防護(hù)服共需元；打折后購買瓶消毒液、支測溫槍、套防護(hù)服共需元，比不打折時少花了多少錢？【答案】（1）23；（2）；（3）比不打折時少花了元【分析】（1）求即可；（2）將看作一個整體進(jìn)行分析計算即可；（3）通過觀察發(fā)現(xiàn)打折前和打折后的數(shù)量關(guān)系，通過運(yùn)算得到所求．【詳解】解：（1），得：．故答案為：；（2）由可得：，把代入得：，解得：，將代入③中的，，解得：，方程組的解為；（3）設(shè)打折前消毒液、測溫槍和防護(hù)服的單價為元，元，元，打折后消毒液、測溫槍和防護(hù)服的單價為元，元，元，則、、分別為每瓶消毒液、每支額溫槍、每套防護(hù)服少花的錢，由題意可得，，，得：，得：，左右兩邊乘得，，比不打折時少花了元．【點(diǎn)睛】本題考查三元一次方程組，注意運(yùn)用整體代入是關(guān)鍵．2．閱讀：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通過無理數(shù)的學(xué)習(xí)，我們了解：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，即數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到了實數(shù)范圍．在學(xué)習(xí)過程中我們又知道“負(fù)數(shù)沒有平方根”，即在實數(shù)范圍內(nèi)的任何一個數(shù)x都無法使得x2＝﹣1成立．現(xiàn)在，我們設(shè)想引入一個新數(shù)i，使得i2＝﹣1成立，且這個新數(shù)i與實數(shù)之間，仍滿足實數(shù)范圍內(nèi)加法和乘法運(yùn)算，以及交換律、結(jié)合律，包括乘法對加法的分配律．把任意實數(shù)b與i的相乘記作bi，任意實數(shù)a與bi相加記作a+bi．由此，我們將形如a+bi（a，b均為實數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部．對于復(fù)數(shù)a+bi（a，b均為實數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時，它是實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時，它是實數(shù)0；當(dāng)b≠0時，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時，它是純虛數(shù)．例如3+2i，，﹣，i都是虛數(shù)，它們的實部分別是3，，，0，虛部分別是2，，，，并且以上虛數(shù)中只有i是純虛數(shù)．閱讀理解以上內(nèi)容，解決下列問題：（1）化簡：﹣2i2＝；（﹣i）3＝．（2）已知復(fù)數(shù)：m2﹣1+（m+1）i（m是實數(shù)）①若該復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)m＝；②若該復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)m＝．（3）已知等式：（x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求實數(shù)x，y的值．【答案】（1）2，；（2）①；②1；（3）．【分析】（1）利用化簡各式即可得；（2）①根據(jù)題中定義可得，解方程即可得；②根據(jù)題中的新定義可得，，利用平方根解方程即可得；（3）根據(jù)題中的新定義列出關(guān)于的方程組，解二元一次方程組即可得．【詳解】解：（1），，故答案為：2，；（2）①若該復(fù)數(shù)是實數(shù)，則，解得，故答案為：；②若該復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，故答案為：1；（3）由題意得：，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方根解方程、解二元一次方程組，理解題中的新定義是解題關(guān)鍵．3．閱讀理解，并解決問題：“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要思想，貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程，比如整體代入，整體換元，整體約減，整體求和，整體構(gòu)造，…，有些問題若從局部求解，采取各個擊破的方式，很難解決，而從全局著眼，整體思考，會使問題化繁為簡，化難為易，復(fù)雜問題也能迎刃而解．例：當(dāng)代數(shù)式的值為7時，求代數(shù)式的值．解：因為，所以．所以．以上方法是典型的整體代入法．請根據(jù)閱讀材料，解決下列問題：（1）已知，求的值．（2）我們知道方程的解是，現(xiàn)給出另一個方程，則它的解是．【答案】（1）2020；（2），【分析】（1）先將所求代數(shù)式進(jìn)行整理變形，再將已知式子的值代入求值即可得解；（2）所解方程與已知方程形式一樣，故可得或，再解一元一次方程即可得解．【詳解】解：（1）∵∴原式∴的值為；（2）∵方程的解是∴方程則有：或∴，∴的解為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了整體思想在代數(shù)求值、解一元二次方程中的運(yùn)用，“整體思想”是數(shù)學(xué)中的一種重要思想，有些問題局部求解各個擊破，無法解決，而從全局著眼，整體思考，會使問題化繁為簡，化難為易，思路清晰，演算簡單，復(fù)雜問題迎刃而解．【一覽眾山小】1．下列各項中，屬于二元一次方程組的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二元一次方程組的定義，根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可．由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組．【詳解】解：A．不是一次方程，故不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；B．該方程組是二元一次方程組，故此選項符合題意；C．不是一次方程，故不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；D．該方程組含有三個未知數(shù)，故不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；故選：B．2．某班35名學(xué)生共種87棵樹苗．其中男生每人種3棵，女生每人種2棵，該班男生有人，女生有人．根據(jù)題意，所列方程組正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組．正確得出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①男生人數(shù)+女生人數(shù)=35；②男生種樹的總棵樹+女生種樹的總棵樹=87棵，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可．【詳解】該班男生有人，女生有人，∵該班共35名學(xué)生共種87棵樹苗．其中男生每人種3棵，女生每人種2棵，∴得．故選：D．3．已知關(guān)于x，y的方程組給出下列結(jié)論：a．當(dāng)時，方程組的解也是的解；b．無論m取何值，x，y的值不可能互為相反數(shù)；c．x，y均為正整數(shù)的解只有1對；d．若，則．正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解法、二元一次方程組的解等知識，將已知分別代入進(jìn)而解方程得出答案，即可判斷．【詳解】a．當(dāng)時，關(guān)于的方程組為，解得，所以，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，方程組的解也是的解，正確；b．解方程組，得，所以，所以無論取何值，的值不可能互為相反數(shù)，正確；c．由得，所以原方程組的正整數(shù)解是，共2對，錯誤；d．，得，，因為，所以，解得，正確；所以正確的有．故選：C．4．已知有理數(shù)，滿足，則．【答案】1【分析】本題考查了整式的加減化簡求值，以及乘方和絕對值的非負(fù)性，解二元一次方程組：熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．利用乘方的偶次方的非負(fù)性和絕對值的非負(fù)性求出a與b的值，代入計算即可求出值．【詳解】解：∵，∴解得：，∴．故答案為：1．5．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，的解滿足方程，則k的值為．【答案】【分析】首先結(jié)合得，求出x，y的值，再將，的值代入得出答案即可．本題主要考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，理解二元一次方程組的解的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得解得，將代入，得，解得．故答案為：．6．方程組的解與的和是，則．【答案】【分析】本題考查了解二元一次方程組，利用加減法求出方程組的解，再根據(jù)與的和是列出關(guān)于的一元一次方程，解方程即可求解，掌握解二元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，得，，∴，把代入①得，，解得，∵與的和是，∴，解得，故答案為：．7．李阿姨要為家里添加餐具，分別買了型號不同的大、小兩種碗，共花了80元．已知小碗每只6元，大碗每只8元，李阿姨買了大、小碗各幾只？【答案】小碗4只，大碗7只或小碗8只，大碗4只或小碗12只，大碗1只【分析】本題考查二元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，求出方程的解．根據(jù)題意設(shè)大碗個，小碗個，列出相應(yīng)的二元一次方程，然后根據(jù)、均為正整數(shù)，即可解答本題．【詳解】解：設(shè)大碗個，小碗個、均為正整數(shù)或或答：小碗4只，大碗7只或小碗8只，大碗4只或小碗12只，大碗1只．8．2024年10月30日，神舟十九號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功．某航天模型銷售店看準(zhǔn)商機(jī)，準(zhǔn)備推出“神舟”和“天宮”兩種模型．已知1個“神舟”模型和3個“天宮”模型的進(jìn)價共150元；3個“神舟”模型和2個“天宮”模型的進(jìn)價共240元．求每個“神舟”和“天宮”模型的進(jìn)價各為多少元？【答案】每個“神舟”模型的進(jìn)價為60元，每個“天宮”模型的進(jìn)價為30元【分析】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用、準(zhǔn)確找出等量關(guān)系，列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵；設(shè)每個“神舟”模型的進(jìn)貨價格為x元