/2023-2024學(xué)年福建省福州市八縣（市）協(xié)作校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知，則的虛部為(

)A.2i B. C.2 D.2.在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，則(

)A. B. C. D.3.的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，，，則(

)A. B.4 C. D.34.某小組有2名男生和1名女生，從中任選2名學(xué)生參加比賽，事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”(

)A.是對立事件 B.都是不可能事件

C.是互斥事件但不是對立事件 D.不是互斥事件5.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是(

)

若兩個(gè)平面都與第三個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面平行；

如果平面外有兩點(diǎn)A，B到平面的距離相等，則直線；

若兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行；

一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交.A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)6.已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：

甲組：27，30，37，a，40，50；

乙組：24，b，33，44，48，

若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)對應(yīng)相等，第50百分位數(shù)也對應(yīng)相等，則(

)A.60 B.65 C.70 D.757.已知直四棱柱的高為2，其底面四邊形ABCD水平放置時(shí)的斜二測直觀圖為矩形，如右圖所示．若，則該直四棱柱的表面積為(

)A.

B.

C.

D.8.一個(gè)電路如圖所示，A，B，C，D為4個(gè)開關(guān)，其閉合的概率均為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為(

)A.

B.

C.

D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.若，，則(

)A. B.

C.不能作為一組基底 D.在方向上的投影向量為10.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列四個(gè)命題中正確的命題是(

)A.若，則一定是等邊三角形

B.若，則一定是等腰三角形

C.若，則一定是銳角三角形

D.若，則一定是銳角三角形11.圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面的半徑分別為，，母線AB長為2，點(diǎn)E為母線AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.圓臺(tái)的側(cè)面積為

B.與所成角為

C.圓臺(tái)外接球的半徑為2

D.在圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)C到點(diǎn)E的最短路徑的長度為5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.擲兩顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為__________.13.寫出一個(gè)同時(shí)滿足①②的復(fù)數(shù)______.

①；

②14.佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一，香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲的功效.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)一批香囊中一種草藥甲的含量單位：克與香囊功效y之間滿足，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了6個(gè)香囊，得到香囊中草藥甲的含量的平均數(shù)為6克，香囊功效的平均數(shù)為15，則這6個(gè)香囊中草藥甲含量的方差為______克.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分

已知復(fù)數(shù)z滿足，

求；

設(shè)復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求，16.本小題15分

的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知

求C的大小；

若面積為，外接圓面積為，求周長.17.本小題15分

如圖，在幾何體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，，，，為棱FC上一點(diǎn)，平面ADM與棱FB交于點(diǎn)

Ⅰ求證：；

Ⅱ求證：；

Ⅲ若，試問平面BCF是否可能與平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，說明理由．

18.本小題17分

我省實(shí)行“”高考模式，為讓學(xué)生適應(yīng)新高考的賦分模式，某校在一次?？贾惺褂觅x分制給高二年級(jí)學(xué)生的生物成績進(jìn)行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定A、B、C、D、E共五個(gè)等級(jí)，然后在相應(yīng)賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行賦分，A等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是；B等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是；C等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是；D等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是；E等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是；現(xiàn)從全年級(jí)的生物成績中隨機(jī)取100學(xué)生的原始成績未賦分進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示：

求圖中a的值，并求抽取的這100名學(xué)生的原始成績的眾數(shù)和中位數(shù)結(jié)果為準(zhǔn)確值；

用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)該校本次生物成績原始分不少于多少分才能達(dá)到賦分后的B等級(jí)及以上含B等級(jí)；結(jié)果保留整數(shù)

若采用分層抽樣的方法，從原始成績在和內(nèi)的學(xué)生中共抽取5人，查看他們的答題情況來分析知識(shí)點(diǎn)上的缺漏，再從中選取2人進(jìn)行調(diào)查分析，求這2人中恰有一人原始成績在內(nèi)的概率.19.本小題17分

羅星塔，位于福州馬尾，某校開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，有學(xué)生選擇測量羅星塔的高度，為此，他們設(shè)計(jì)了測量方案，如圖，羅星塔垂直于水平面，他們選擇了與羅星塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測得，米，且在A，B兩點(diǎn)觀察塔頂C點(diǎn)，仰角分別為和，其中

求羅星塔的高CD的長；

在的條件下求多面體的表面積；

在的條件下求多面體的內(nèi)切球的半徑.

答案和解析1.【正確答案】C

解：，

則，其虛部為

故選：

結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．2.【正確答案】C

解：因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，E是BC的中點(diǎn)，

則

故選：

由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解．

本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3.【正確答案】A

解：因?yàn)?，，?/p>

所以，

則由余弦定理可得

故選：

由已知利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式可求的值，進(jìn)而利用余弦定理即可求解c的值．

本題考查了三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式以及余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.【正確答案】D

解：根據(jù)題意，從2名男生和1名女生中任選2名學(xué)生參加比賽，有“2名男生”和“1名男生和1名女生”兩種情況，

易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件，

故事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”不是互斥事件．

故選：

根據(jù)題意，由隨機(jī)事件的定義分析選項(xiàng)，綜合可得答案．

本題考查互斥事件、對立事件的定義，涉及隨機(jī)事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．5.【正確答案】A

解：在中，如果兩個(gè)平面都與第三個(gè)平面垂直，那么這兩個(gè)平交或平行，故不正確；

在中，如果平面外有兩點(diǎn)A，B到平面的距離相等，如圖所示，

則直線AB和平面可能平行或可能相交，故錯(cuò)誤；

若兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行相交或異面，故錯(cuò)誤；

空間中，如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它和另一條可能相交，也可能異面，故錯(cuò)誤．

故選：

充分考慮直線與平面的位置關(guān)系即可逐項(xiàng)判斷．

本題考查直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6.【正確答案】C

解：根據(jù)題意，甲、乙兩組數(shù)據(jù)都按從小到大順序排列，

甲乙都有6個(gè)數(shù)據(jù)，，

則甲組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30，乙組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為b，則有，

又由，

則甲組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，

則有，解可得，

故

故選：

根據(jù)題意，由百分位數(shù)的計(jì)算公式求出a、b的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．

本題百分位數(shù)的計(jì)算，注意百分位數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．7.【正確答案】C

解：由直觀圖可得底面四邊形ABCD的平面圖形如下，

由，

則，所以，

則，

所以，

又直棱柱的高，所以棱柱的側(cè)面積，

所以，

故選：

首先得到底面四邊形ABCD的平面圖形，根據(jù)斜二測法及勾股定理求出線段的長度，即可求出底面積與底面周長，再根據(jù)表面積公式計(jì)算可得．

本題考查了棱柱的側(cè)面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．8.【正確答案】A

解：電路由上到下有2個(gè)分支并聯(lián)，

開關(guān)A，B所在的分支不通電的概率為，

開關(guān)C，D所在的分支不通電的概率為，

所以燈亮的概率為

故選：

先求出燈不亮的概率，再由對立事件的概率計(jì)算公式，即可得出答案．

本題主要考查相互事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．9.【正確答案】AD

解：，，

，，，

對于A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，，，

，，

，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C選頂，顯然，不共線，可以作為一組基底，故C錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，在方向上的投影向量為，故D選項(xiàng)正確．

故選：

根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A，根據(jù)向量的模長公式可判斷B，根據(jù)平面向量基本定理可判斷C，根據(jù)投影向量的定義可判斷

本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了投影向量的定義，屬于中檔題．10.【正確答案】AD

解：若，則，即，即，即是等邊三角形，故A正確；

若，則由正弦定理得，則或，即或，則為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；

中，，角C為銳角，但不一定是銳角三角形，故C錯(cuò)誤．

由于，

所以，則一定是銳角三角形，故D正確；

故選：

由已知結(jié)合正弦定理及正切函數(shù)的性質(zhì)判斷A；由正弦定理結(jié)合三角形中的邊角關(guān)系判斷B；由余弦定理及三角形的內(nèi)角和定理判斷C；利用兩角和與差的三角函數(shù)判斷

本題考查三角形的性質(zhì)判斷，考查正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．11.【正確答案】BCD

解：圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，母線AB長為2，E為母線AB中點(diǎn)，

所以圓臺(tái)的側(cè)面積為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)?，所以，所以與所成角為，選項(xiàng)B正確；

根據(jù)題意知，外接球的球心在圓臺(tái)的中心連線上，

設(shè)球心到上底面的距離為x，

所以，解得，

所以圓臺(tái)外接球的半徑為，選項(xiàng)C正確；

展開面如圖所示：

根據(jù)比例關(guān)系求出，展開面為半圓環(huán)；

點(diǎn)E為母線的中點(diǎn)，所以，，選項(xiàng)D正確．

故選：

根據(jù)圓臺(tái)的上、下底面半徑和母線長求出圓臺(tái)的側(cè)面積，可判斷選項(xiàng)A；求出，可判斷選項(xiàng)B；由勾股定理求出圓臺(tái)外接球的半徑，可判斷選項(xiàng)C；利用側(cè)面展開圖求出CE的長，可判斷選項(xiàng)

本題考查了圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題．12.【正確答案】

【分析】本題考查古典概型，利用列舉法求解概率，屬于基礎(chǔ)題．

擲兩顆骰子，基本事件總數(shù)，利用列舉法求出出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6包含的基本事件有5種，由此能求出出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6的概率．

解：擲兩顆骰子，總共可能出現(xiàn)的結(jié)果有種，

出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6包含的可能結(jié)果有5種：

，，，，，

出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為

故13.【正確答案】或

解：因?yàn)?，不妨設(shè)，

由得，

所以，解得，，所以或，

故或

根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合條件，列出方程，求解即可．

本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14.【正確答案】39

解：設(shè)抽取的6個(gè)香囊中草藥甲的含量分別為克，香囊功效分別為，，2，…，6，

草藥甲的含量的平均數(shù)為6克，香囊功效的平均數(shù)為15，

即，，

則，

則這6個(gè)香囊中草藥甲含量的方差………，

所以這6個(gè)香囊中草藥甲含量的方差為39克．

故

利用平均數(shù)和方差的公式完成計(jì)算．

本題主要考查了平均數(shù)和方差的定義，屬于中檔題．15.【正確答案】解：復(fù)數(shù)z滿足，

所以，

所以，

故；

由得，

則，

，則，

，則，

所以，，.

故，

根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，即可求解；

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，求出A，B，C，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．16.【正確答案】解：利用正弦定理得，

，

，

，

由，得，

，

解得

，

，

又，所以，

故，

所以周長

直接利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用求出C的值；

利用正弦定理以及余弦定理求出三角形的周長．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．17.【正確答案】解：Ⅰ證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以

又因?yàn)?，，EA和AD在平面EAD內(nèi)，

所以平面又ED在平面EAD內(nèi)，

所以；

Ⅱ證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以，

又因?yàn)锽C在平面FBC內(nèi)，AD不在平面FBC內(nèi)，

所以平面

又因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>

所以

Ⅲ解：平面ADMN與平面BCF可以垂直．證明如下：

連接因?yàn)椋?/p>

，ED，CD在平面CDEF內(nèi)，

所以平面在平面CDEF內(nèi)，

所以

因?yàn)椋?/p>

因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>

若使平面平面BCF，

則平面BCF，F(xiàn)C在平面BCF內(nèi)，

所以

在梯形CDEF中，因?yàn)?，?/p>

，，

所以

所以若使能成立，則M為FC的中點(diǎn)．

所以

本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查線面垂直、面面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

Ⅰ證明：平面EAD，即可證明；

Ⅱ證明平面FBC，即可證明：；

Ⅲ若使平面平面BCF，則平面BCF，所以，可得若使能成立，則M為FC的中點(diǎn)．18.【正確答案】解：，，

抽取的這100名學(xué)生的原始成績的眾數(shù)的估計(jì)值為分；

由頻率直方圖可得前三組的頻率和為，

又前四組的頻率和為，

故中位數(shù)落在第四組，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得；

由已知等級(jí)達(dá)到B及以上所占排名等級(jí)占比為，

由可得，中位數(shù)，

故原始分不少于74分才能達(dá)到賦分后的B等級(jí)及以上；

由題知得分在和內(nèi)的頻率分別為和，

則抽取的5人中，得分在內(nèi)的有2人，得分在的有3人，

記得分在內(nèi)的3位學(xué)生為a，b，c，得分在內(nèi)的2位學(xué)生為D，E，

則從5人中任選2人，樣本空間可記為：

，共包含10個(gè)樣本點(diǎn)，

用A表示“這2人中恰有一人得分在內(nèi)”，

則，A包含6個(gè)樣本點(diǎn)，

所以

根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，眾數(shù)的概念，中位數(shù)的概念，即可分別求解；

根據(jù)中位數(shù)的