/2023-2024學(xué)年甘肅省蘭州市皋蘭一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（1﹣i）（2﹣i）＝（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i2．（5分）若隨機變量的分布列如表，則P（|X﹣2|＝1）的值為（）X1234PaA． B． C． D．3．（5分）已知平面α的一個法向量為，直線l的方向向量為，若l∥α（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）在某地區(qū)的高三第一次聯(lián)考中，數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布N（100，σ2）（σ＞0），試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績高于120分的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的（含80分和100分）之間的人數(shù)為800，則可以估計參加本次聯(lián)考的總?cè)藬?shù)約為（）A．1600 B．1800 C．2100 D．24005．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（x2﹣3）ex，則f（x）的極小值點為（）A．﹣3 B．1 C．6e﹣3 D．﹣2e6．（5分）設(shè)甲乘汽車、動車前往某目的地的概率分別為0.3、0.5，汽車和動車正點到達(dá)目的地的概率分別為0.6、0.8，則甲正點到達(dá)目的地的概率為（）A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.687．（5分）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是線段BD上的一點，且PD＝3PB，設(shè)，，，則＝（）A． B． C． D．8．（5分）若函數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)有最小值（）A．（0，1） B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）已知兩條平行直線m，n，直線m：3x+4y+2＝0，直線n：6x+8y+a＝0，n之間的距離為1，則a的值可以是（）A．﹣8 B．﹣6 C．12 D．14（多選）10．（6分）高二年級安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E，F(xiàn)六個社區(qū)進(jìn)行暑期社會實踐活動，每位同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進(jìn)行活動，下列說法正確的有（）A．如果社區(qū)B必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有88種 B．如果同學(xué)乙必須選擇社區(qū)C，則不同的安排方法有36種 C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有150種 D．如果甲、丙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有36種（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax+1有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，則（）A．a(chǎn)≥0 B．x2＝﹣x1 C．f（x1）＞1＞f（x2） D．f（x）的圖象關(guān)于點（0，1）中心對稱三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2a，a2+a}．若A∩B＝{2}，則a＝．13．（5分）已知平面α的一個法向量為，點A（1，2，4）是平面α上的一點（﹣1，1，5）到平面α的距離為．14．（5分）一批小麥種子的發(fā)芽率是0.7，每穴只要有一粒發(fā)芽，就不需要補種，則每穴至少種粒，才能保證每穴不需要補種的概率大于97%．（lg3≈0.48）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．（13分）已知二項式的展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為a，a+b＝275．（1）求n的值；（2）求展開式中x2的系數(shù)．16．（15分）已知函數(shù)．（1）若a＝1，求f（x）的極值；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．17．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，2AB＝2BC＝AD＝2，．（1）證明：AD⊥PC；（2）若，設(shè)M為PC的中點，求PB與平面AMD所成角的正弦值．18．（17分）已知橢圓，直線l：y＝x+m（其中m＜0）與橢圓C相交于A，D為AB的中點，O為坐標(biāo)原點，．（1）求m的值；（2）求△OAB的面積．19．（17分）我國脫貧攻堅經(jīng)過8年奮斗，取得了重大勝利．為鞏固脫貧攻堅成果，某項目組對某種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量情況進(jìn)行持續(xù)跟蹤，檢測結(jié)果均為合格，且質(zhì)量指標(biāo)分值如下：38，50，45，54，49，60，69（1）從這10件農(nóng)產(chǎn)品中任意抽取兩件農(nóng)產(chǎn)品，記這兩件農(nóng)產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本質(zhì)量指標(biāo)平均數(shù)，σ2近似為方差，生產(chǎn)合同中規(guī)定，所有農(nóng)產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品的占比不得低于15%．那么這種農(nóng)產(chǎn)品是否滿足生產(chǎn)合同的要求？請說明理由．附：若X～N（μ，σ2），則P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ），．

2023-2024學(xué)年甘肅省蘭州市皋蘭一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（1﹣i）（2﹣i）＝（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則即可得出．解：（1﹣i）（2﹣i）＝6﹣i﹣2i﹣1＝8﹣3i，故選：C．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）若隨機變量的分布列如表，則P（|X﹣2|＝1）的值為（）X1234PaA． B． C． D．【分析】根據(jù)概率分布列的性質(zhì)求出a的值，由P（|X﹣2|＝1）＝P（X＝1）+P（X＝3）求得結(jié)果．解：根據(jù)題意可得，所以．故選：A．【點評】本題考查的知識點：隨機變量，分布列，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．3．（5分）已知平面α的一個法向量為，直線l的方向向量為，若l∥α（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由l∥α，得到直線l與平面α的法向量垂直，得出，進(jìn)而求得m的值．解：因為l∥α，所以，所以，解得m＝3．故選：C．【點評】本題考查空間中線面位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．（5分）在某地區(qū)的高三第一次聯(lián)考中，數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布N（100，σ2）（σ＞0），試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績高于120分的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的（含80分和100分）之間的人數(shù)為800，則可以估計參加本次聯(lián)考的總?cè)藬?shù)約為（）A．1600 B．1800 C．2100 D．2400【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求解．解：因為數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布N（100，σ2）（σ＞0），且數(shù)學(xué)成績高于120分的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，所以數(shù)學(xué)成績底于80分的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，所以數(shù)學(xué)考試成績在80分到100分（含80分和100分）之間的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的＝，又因為數(shù)學(xué)考試成績在80分到100分（含80分和100分）之間的人數(shù)為800，所以估計參加本次聯(lián)考的總?cè)藬?shù)約為＝2400人．故選：D．【點評】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（x2﹣3）ex，則f（x）的極小值點為（）A．﹣3 B．1 C．6e﹣3 D．﹣2e【分析】f（x）的定義域為R，求導(dǎo)得f′（x）＝（x+3）（x﹣1）ex，分析f′（x）的符號，f（x）的單調(diào)性，極值點，即可得出答案．解：f（x）的定義域為R，f′（x）＝2xex+（x2﹣8）ex＝（x2+2x﹣5）ex＝（x+3）（x﹣1）ex，所以在（﹣∞，﹣3）上f′（x）＞0，在（﹣3，4）上f′（x）＜0，在（1，+∞）上f′（x）＞2，所以x＝1是f（x）的極小值點，故選：B．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．6．（5分）設(shè)甲乘汽車、動車前往某目的地的概率分別為0.3、0.5，汽車和動車正點到達(dá)目的地的概率分別為0.6、0.8，則甲正點到達(dá)目的地的概率為（）A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.68【分析】根據(jù)題意由全概率公式可解．解：根據(jù)題意可設(shè)事件A＝“甲正點到達(dá)目的地”，事件B＝“甲乘動車到達(dá)目的地”，事件C＝“甲乘汽車到達(dá)目的地”，由題意知P（C）＝0.3，P（B）＝6.5，P（A|C）＝0.6．由全概率公式得P（A）＝P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C）＝0.5×6.8+0.7×0.6＝8.4+0.18＝2.58．故選：C．【點評】本題考查全概率公式相關(guān)知識，屬于中檔題．7．（5分）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是線段BD上的一點，且PD＝3PB，設(shè)，，，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)空間向量加法與減法的運算法則求解即可．解：由題意可得，＝＝＝＝．故選：C．【點評】本題主要考查了空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）若函數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)有最小值（）A．（0，1） B． C． D．【分析】依題意可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）必定存在極值點，對f（x）求導(dǎo)，可令g（x）＝x2﹣ax﹣1，只需，解該不等式組即得答案．解：由，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1．此時函數(shù)f（x）必定存在極值點，由Δ＝a2+3＞0，設(shè)x1，x2為一元二次方程x2﹣ax﹣1＝7的兩根，有，故只需要1＜x2＜6即可，令g（x）＝x2﹣ax﹣1，有，解得．故選：C．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想及運算求解能力，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）已知兩條平行直線m，n，直線m：3x+4y+2＝0，直線n：6x+8y+a＝0，n之間的距離為1，則a的值可以是（）A．﹣8 B．﹣6 C．12 D．14【分析】將直線m：3x+4y+2＝0化為6x+8y+4＝0，代入兩平行線間距離公式分析求解．解：將直線m：3x+4y+5＝0化為6x+3y+4＝0，則m，n之間的距離，即|a﹣4|＝10，解得a＝14或﹣6．故選：BD．【點評】本題考查平行直線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（6分）高二年級安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E，F(xiàn)六個社區(qū)進(jìn)行暑期社會實踐活動，每位同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進(jìn)行活動，下列說法正確的有（）A．如果社區(qū)B必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有88種 B．如果同學(xué)乙必須選擇社區(qū)C，則不同的安排方法有36種 C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有150種 D．如果甲、丙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有36種【分析】根據(jù)間接法即可判斷A，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可判斷BCD．解：安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E，對于A：如果社區(qū)B必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有63﹣43＝91（種）．故A錯誤；對于B：如果同學(xué)乙必須選擇社區(qū)C，則不同的安排方法有67＝36（種）．故B正確；對于C：如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有6×5×7＝120（種）．故C錯誤；對于D：如果甲、丙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)（種）．故D正確．故選：BD．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，屬中檔題．（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax+1有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，則（）A．a(chǎn)≥0 B．x2＝﹣x1 C．f（x1）＞1＞f（x2） D．f（x）的圖象關(guān)于點（0，1）中心對稱【分析】由題可得f′（x）＝0有兩個不相等的實數(shù)根，利用Δ＞0可以判斷A錯誤；再利用韋達(dá)定理可以判斷B正確；利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）的單調(diào)性，可以判斷C正確；利用g（x）＝x3﹣ax為奇函數(shù)可以判斷D正確．解：由題可得f′（x）＝3x2﹣a＝7有兩個不相等的實數(shù)根，所以Δ＝0+12a＞0，所以a＞3，A錯誤；根據(jù)題意，x1，x2為5x2﹣a＝0的兩個根，所以x8＝﹣x1，B正確；因為x1＜2＜x2，且x1，x7為3x2﹣a＝7的兩個根，所以由f′（x）＝3x2﹣a＞3得x＜x1或x＞x2，由f′（x）＝3x2﹣a＜0得x7＜x＜x2，所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，x1）上單調(diào)遞增，在（x2，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x2）＞f（0）＝1＞f（x2）成立，C正確；因為g（x）＝x6﹣ax為奇函數(shù)，所以g（x）＝x3﹣ax關(guān)于（0，4）對稱，所以f（x）＝g（x）+1＝x3﹣ax+7關(guān)于（0，1）對稱．故選：BCD．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2a，a2+a}．若A∩B＝{2}，則a＝﹣2．【分析】結(jié)合交集的定義，即可求解．解：集合A＝{1，2，4}，a2+a}，A∩B＝{2}，當(dāng)6a＝2時，a＝1，6}不滿足集合中元素的互異性；當(dāng)a2+a＝2時，可得a＝﹣2，所以a＝﹣2．故﹣2．【點評】本題主要考查交集的交集，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知平面α的一個法向量為，點A（1，2，4）是平面α上的一點（﹣1，1，5）到平面α的距離為．【分析】利用空間向量法可得出點P到平面α的距離為，即可求解．解：由已知可得，所以點P到平面α的距離為．故．【點評】本題考查向量法求解點面距問題，屬基礎(chǔ)題．14．（5分）一批小麥種子的發(fā)芽率是0.7，每穴只要有一粒發(fā)芽，就不需要補種，則每穴至少種3粒，才能保證每穴不需要補種的概率大于97%．（lg3≈0.48）【分析】記事件A為“種一粒種子，發(fā)芽”，每穴種n粒相當(dāng)于做了n次獨立重復(fù)試驗，記事件B為“每穴至少有一粒種子發(fā)芽”，求出P（A）、P（B），根據(jù)P（B）＞97%，求出n的最小正整數(shù)值．解：記事件A為“種一粒種子，發(fā)芽”，則P（A）＝0.7，P（．因為每穴種n粒相當(dāng)于做了n次獨立重復(fù)試驗，記事件B為“每穴至少有一粒種子發(fā)芽”，則P（）＝0?0.7n＝0.3n，所以P（B）＝3﹣P（）＝1﹣0.6n，根據(jù)題意得P（B）＞97%，即1﹣0.6n＞0.97，所以0.4n＜0.03，兩邊同時取以10為底的對數(shù)，得nlg0.2＜lg0.03，即n（lg3﹣6）＜lg3﹣2，解得n＞，因為＝≈8.92，且n∈N*，所以n的最小正整數(shù)值為3．故3．【點評】本題考查了n次獨立重復(fù)實驗恰有k次發(fā)生的概率計算問題，也考查了運算求解能力，是中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．（13分）已知二項式的展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為a，a+b＝275．（1）求n的值；（2）求展開式中x2的系數(shù)．【分析】（1）利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可得2n+3n＝275，解之即可；（2）利用二項展開式的通項公式列式求解即可．解：（1）∵二項式的展開式中，各項的系數(shù)之和為b，∴a＝2n，b＝6n，又a+b＝2n+3n＝275，∴n＝3；（2）由通項公式，令，可得k＝2，故展開式中x8的系數(shù)為．【點評】本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．16．（15分）已知函數(shù)．（1）若a＝1，求f（x）的極值；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得f（x）的單調(diào)性，由極值點的定義可求得極值．（2）求導(dǎo)后，分別在a＜0和a＞0的情況，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定函數(shù)單調(diào)性．解：（1）當(dāng)a＝1時，，定義域為（0，，所以當(dāng)x∈（3，1）時，當(dāng)x∈（1，+∞）時，所以f（x）在（4，1）上單調(diào)遞減，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）極小值為，無極大值．（2）由題意知：f（x）定義域為（0，+∞），，當(dāng)a＜0時，若，則f′（x）＞0，若，則f′（x）＜0，所以f（x）在上單調(diào)遞增，在，當(dāng)a＞0時，若，則f′（x）＜0，若，則f′（x）＞0，所以f（x）在上單調(diào)遞減，在，綜上所述：當(dāng)a＜0時，f（x）在，在上單調(diào)遞減，當(dāng)a＞2時，f（x）在，在上單調(diào)遞增．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．17．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，2AB＝2BC＝AD＝2，．（1）證明：AD⊥PC；（2）若，設(shè)M為PC的中點，求PB與平面AMD所成角的正弦值．【分析】（1）取AD的中點O，連接OP，OC，先證OP⊥AD，OC⊥AD，從而知AD⊥平面OPC，再由線面垂直的性質(zhì)定理，即可得證；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角，即可得解．（1）證明：取AD的中點O，連接OP，因為PA＝PD，所以O(shè)P⊥AD，在直角梯形ABCD中，2AB＝2BC＝AD＝7，所以四邊形ABCO是矩形，所以O(shè)C⊥AD，又OP∩OC＝O，OP，所以AD⊥平面OPC，因為PC?平面OPC，所以AD⊥PC．（2）解：由AD＝2，，知PA8+PD2＝AD2，即PA⊥PD，所以O(shè)P＝AD＝1，又，OC＝AB＝1，所以O(shè)P2+OC2＝PC2，即OP⊥OC，所以O(shè)A，OC，故以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P（0，2，1），0，8），1，0），8，0），0，6），，），所以＝（1，6，＝（﹣2，0，＝（﹣2，，），設(shè)平面AMD的法向量為＝（x，y，則，取y＝8，則x＝0，所以，1，﹣6），設(shè)PB與平面AMD所成角為θ，則sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝，故PB與平面AMD所成角的正弦值為．【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，利用向量法求線面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．18．（17分）已知橢圓，直線l：y＝x+m（其中m＜0）與橢圓C相交于A，D為AB的中點，O為坐標(biāo)原點，．（1）求m的值；（2）求△OAB的面積．【分析】（1）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求點D的坐標(biāo)，結(jié)合兩點間距離公式運算求解；（2）根據(jù)（1）中韋達(dá)定理可得，且直線l：y＝x﹣1與x軸的交點為橢圓C的右焦點F（1，0），進(jìn)而可求面積．解：（1）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x4，y2），聯(lián)立方程，消去y得5x2+8mx+3m2﹣6＝0．由Δ＝36m2﹣20（4m2﹣6）＞8，且m＜0，則，可得點D的坐標(biāo)為，又因為，解得m＝﹣1或m＝6（舍去），所以m的值為﹣1．（2）由（1）可知：，則，可得，由橢圓方程可知：，由直線l：y＝x﹣6與x軸的交點為橢