/廣西“名校聯(lián)盟”2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．22．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，則（

）A． B． C． D．3．已知空間中兩條直線，及平面，且滿足，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件4．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．5．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．6．已知，，，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．12 D．167．如圖，某觀察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出發(fā)的一條公路走向是南偏東40°，在B處測得公路上距B處7km的C處有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到達(dá)D處，此時(shí)B，D間的距離為km．要達(dá)到A城，這個(gè)人還要走（）A．6km B．kmC．km D．7km8．在四面體中，，平面平面，則該四面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知圓錐的頂點(diǎn)為，為底面直徑，是面積為1的直角三角形，則（

）A．該圓錐的母線長為 B．該圓錐的體積為C．該圓錐的側(cè)面積為 D．該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為10．如圖，在正方體中，點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)P為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線與直線所成角的正切值為B．平面C．隨著的長度變長，直線與平面所成角先變小再變大D．11．已知函數(shù)定義域?yàn)?，是奇函?shù)，，函數(shù)在上遞增，則下列命題為真命題的是（

）A． B．函數(shù)在上遞減C．若，則 D．若，則三、填空題12．已知向量，，，若，則.13．當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為．14．已知函數(shù)，若存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)k的取值范圍是．四、解答題15．正三棱柱的底面正三角形的邊長為2，D為的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．16．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.17．如圖，矩形中，，，為的中點(diǎn)，把沿翻折，滿足.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求角A的大?。唬?）若D為的中點(diǎn)，且，求的最大值．19．若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．（1）當(dāng)定義域?yàn)椋嚺袛嗍欠駷椤熬植科婧瘮?shù)”；（2）若為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）已知，對于任意的，函數(shù)都是定義域?yàn)樯系摹熬植科婧瘮?shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

答案1．【正確答案】C【詳解】對于不等式，因式分解可得.所以集合或.已知集合，在集合中，滿足或的元素只有，所以.故選C.2．【正確答案】A【詳解】由復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，則，所以.故選A3．【正確答案】B【詳解】充分性：只有當(dāng)垂直于內(nèi)的兩條相交直線，才可推出，由題可知，垂直于內(nèi)的一條直線，可能與平面斜交，平行，或在平面內(nèi)，故無法推出，充分性不滿足；必要性：，又，則，故必要性成立；綜上所述，“”是“”的必要不充分條件.故選B.4．【正確答案】D【詳解】利用函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng)，再取特殊值判斷即可.【詳解】因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，排除AC，又因?yàn)?，排除B，故選D.5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．6．【正確答案】A【詳解】已知，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)等號(hào)成立；故選A.7．【正確答案】A【詳解】由題意得，在中，，由余弦定理得,因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，在中，，由正弦定理得由正弦定理得，所?故選A8．【正確答案】A【詳解】，，，，為等邊三角形，又平面平面，取中點(diǎn)，連接，則球心在上，如下圖：則，有，解得，該四面體外接球的表面積為.故選A.9．【正確答案】ABD【詳解】設(shè)該圓錐的母線長為，如下圖所示：因?yàn)檩S截面是面積為1的直角三角形，即為直角；所以，解得，A正確；設(shè)該圓錐的底面圓心為，在中，，所以，則圓錐的高，所以該圓錐的體積，側(cè)面積為，B正確、C錯(cuò)誤；設(shè)該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，則，所以，D正確．故選ABD．10．【正確答案】BD【詳解】對于A，設(shè)正方體的棱長為，則，因?yàn)閭?cè)面，側(cè)面，則，而，故直線與直線所成角的正切值為，故A錯(cuò)誤；對于B，連接，易證：，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又平面，故平面平面，平面，平面，故B正確；對于C，連接，平面，即為直線與平面所成角，，當(dāng)從移動(dòng)至的過程中，增大，先變小再變大，即先變大再變小，故C錯(cuò)誤；對于D，連接，，，，由正方體的性質(zhì)可得：，平面，平面，所以，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫酝砜傻?，，平面，平面平面，，故D正確；故選BD.11．【正確答案】BCD【詳解】對于A，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即有，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；因?yàn)椋?，即，故C正確；因?yàn)椋?，由函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，解得，故C正確.故選BCD.12．【正確答案】2【詳解】由題意，，因?yàn)?，所?13．【正確答案】6【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn)．14．【正確答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則且，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即，令，則有2個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)解，作出函數(shù)的圖象與直線，即與在軸右側(cè)（含軸）有2個(gè)交點(diǎn)，則．15．【正確答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）證明：連接，設(shè)，連接，∵是正三棱柱的側(cè)面，∴為矩形，∴是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，又平面，平面，∴平面.（2）因?yàn)樵谡庵?，底面正三角形的邊長為2，，側(cè)面為矩形，所以三棱錐的體積.16．【正確答案】（1），增區(qū)間為（2）【詳解】（1）由，可得函數(shù)的最小正周期為，令，可得，故函數(shù)的增區(qū)間為；（2）由，有，所以，所以，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?17．【正確答案】（1）見詳解；（2）.【詳解】（1）證明：由已知可得，，在中，滿足∴∵，且，、平面，∴平面又平面，∴平面平面.（2）解：法一：(幾何法)如圖所示，連接，取中點(diǎn)，連接，∴，過作交于點(diǎn)，連接、，∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，又，∴平面，∴，所以即為所求的二面角的平面角，由，∴，，又，∴∴二面角的余弦值為.法二：(向量法)取的中點(diǎn)，連接∵∴∵平面平面，平面平面，∴平面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為，軸，過作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，∴，設(shè)為平面的法向量，有不妨令，則，，∴，而平面的其中一個(gè)法向量顯然為二面角的余弦值為.18．【正確答案】（1）（2）18【詳解】（1）已知，根據(jù)二倍角公式，將其進(jìn)行化簡：即即.即.由正弦定理邊角互化可得.再根據(jù)余弦定理，將代入可得：因?yàn)?，所?（2）因?yàn)闉锳C的中點(diǎn)，所以.在中，根據(jù)余弦定理可得.在中，根據(jù)余弦定理可得.因?yàn)?，所以，即：，化簡?又因?yàn)椋ǖ谝粏栆亚蟮茫钥傻茫?，?根據(jù)基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則有：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).則的最大值為18.19．【正確答案】（1）是；理由見詳解；（2）；（3）【詳解】（1）依題意，由得,，令，求解可得結(jié)論；（2）由題意知，在上有解，令，可得在上有解，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）由題意，根據(jù)局部奇函數(shù)的概念，可得時(shí)，，在上都有解，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求出的范圍，根據(jù)的范圍包含的范圍，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，由?令，而存在一根,即存在，使得，所以為“局部奇函數(shù)”；（2）由題意知,在上有解，即在上有解，所以在上有解，令，所以在上有