高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省湘西州2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的焦距為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，因?yàn)椋裕噪p曲線的焦距為4.故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】求解，得或即或所以集合或，則.故選：B3.虛數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】解法一：設(shè)復(fù)數(shù),則，化簡得，故，即①，②此時，對于選項(xiàng)中的值，代入：若，則，符合要求，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，綜上可得故選：A解法二：由可得，故，故或，由于為虛數(shù)，故，故虛部為1，故選：A4.已知,是兩個平面，m，n，l是三條直線,且，，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線垂直于這個平面，若，且，但如果直線與不相交，則不能得到，從而不能推出；如果兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)垂直于交線直線垂直于另一個平面，若，由于，，，則，又，所以.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.已知曲線在點(diǎn)處的切線與圓相切，該圓的半徑為（）A. B. C.或 D.或1【答案】C【解析】由，得，故切線的斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.又因?yàn)榕c圓相切，所以的半徑，解得或，所以圓的半徑為或.故選：C6.要安排4名學(xué)生（包括甲）到A，B兩個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個村，每個村里至少有1名志愿者，且甲不去A鄉(xiāng)村，則不同的安排方法共有（）A.7種 B.8種 C.12種 D.14種【答案】A【解析】先把名學(xué)生分成組，第一種情況組人數(shù)分別為、，由于甲不去A鄉(xiāng)村，所以從另外3人中選一人和甲一起去B村，有種，第二種情況組人數(shù)分別為、，則可能甲單獨(dú)去B村，或者甲與另外人去B村，有種，故共有種故選：A.7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，其中記載了關(guān)于家畜偷吃禾苗的問題.假設(shè)有羊、騾子、馬、牛吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、騾子的主人、馬的主人、牛的主人共賠償12斗粟.羊的主人說：“羊吃得最少，羊和騾子吃的禾苗總數(shù)只有馬和牛吃的禾苗總數(shù)的一半.”騾子的主人說：“騾子吃的禾苗只有羊和馬吃的禾苗總數(shù)的一半.”馬的主人說：“馬吃的禾苗只有騾子和牛吃的禾苗總數(shù)的一半.”若按照此比率償還，則羊的主人應(yīng)賠償?shù)乃诘亩窋?shù)為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】設(shè)羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數(shù)依次為，由題意得通過等差中項(xiàng)可判斷羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數(shù)依次成等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，公差為，則．由題意得即解得故選：B.8.已知為偶函數(shù),若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為,,…，，則（）A.45 B. C.90 D.【答案】A【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)與圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，由交點(diǎn)有9個，故兩函數(shù)必都過點(diǎn)，即.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布對稱軸為，根據(jù)對稱性可知：，得，A正確，B錯誤；則，C錯誤，D正確.故選：AD10.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則a的值可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由題意可得，由于的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以,故，解得，取，，取，故選：AC11.已知函數(shù)恰好有三個零點(diǎn),分別為，，，且，則下列說法正確的是（）A. B.，，成等差數(shù)列C.，，成等比數(shù)列 D.【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，，即或，所以或，即問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線和交于三個點(diǎn)，且三個點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，且，對于，得，當(dāng)時，，即函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，對于，得，當(dāng)時，，即函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，如圖，作出函數(shù)與的圖象，由，可得，由，可得，又，且在上單調(diào)遞增，又，所以，即，A正確；，且在上單調(diào)遞減，又，所以，即，故，則C正確，B錯誤；因?yàn)?，所以，則，則D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正四棱柱的底面邊長為2，高為6，則該正四棱柱的外接球的表面積為______.【答案】【解析】設(shè)外接球的半徑為，則,所以正四棱柱的外接球的表面積.故答案為：13.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則______.【答案】【解析】令，得，得，，當(dāng)時，，兩式相減得，，即，即，所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以.故答案為：14.已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為，P是C在第一象限上的一點(diǎn).若，則______.【答案】【解析】如圖，記，，因?yàn)椋瑒t，，由橢圓的定義可得，所以，則，又且，有或，解得或，又點(diǎn)在第一象限，所以，得，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為,向量，且．（1）求；（2）若的面積為，求．解：（1）由題意得，由正弦定理得，又，所以，則，即．因?yàn)?，所以．?）由，得，結(jié)合，得．由余弦定理得，得．16.已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，且C上一點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為4.（1）求C的方程；（2）若斜率為2的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，求l的方程.解：（1）C上一點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為4,由拋物線定義可得，，拋物線的方程為．（2）設(shè)直線，，設(shè),,,，將方程代入方程整理得，需滿足，，故，解得，當(dāng)時，滿足，故符合題意，故直線方程為17.如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，四邊形BCDE為等腰梯形，，，.（1）證明：.（2）若直線BE與平面ABC所成的角為，求二面角的正弦值.解：（1）因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，，所以，，從而四邊形為平行四邊形，則，，在中，，且為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又，所以平?又平面，所以，，，由，，得.（2）由平面，，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，平面內(nèi)過平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，不妨設(shè)，則，，，由圖可知，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量，由，令，則，，則，所以二面角的正弦值為.18.某校為激發(fā)學(xué)生對天文、航天、數(shù)字科技三類知識的興趣，舉行了一次知識競賽（三類題目知識題量占比分別為，，）.甲回答這三類問題中每道題的正確率分別為，，.（1）若甲在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率.（2）知識競賽規(guī)則：隨機(jī)從題庫中抽取2n道題目，答對題目數(shù)不少于n道，即可以獲得獎勵.若以獲得獎勵的概率為依據(jù)，甲在和之中選其一，則應(yīng)選擇哪個？解：（1）設(shè)所選的題目為天文、航天、數(shù)字科技相關(guān)知識的題目分別為事件，，，所選的題目回答正確為事件B，則，所以該同學(xué)在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為；（2）當(dāng)時，X為甲答對題目的數(shù)量，則，故當(dāng)時，甲獲獎勵的概率，當(dāng)時，甲獲獎勵的情況可以分為如下情況：①前10題答對題目的數(shù)量大于等于6，②前10題答對題目的數(shù)量等于5，且最后2題至少答對1題，③前10題答對題目的數(shù)量等于4，且最后2題全部答對，故當(dāng)時，甲獲獎勵的概率，，即，所以甲應(yīng)選.19.若函數(shù)滿足對于任意的，恒成立，則稱為“反轉(zhuǎn)函數(shù)”.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，證明：為“反轉(zhuǎn)函數(shù)”.（2）已知有三個零點(diǎn)，，，且.①求a的取值范圍；②證明：.解：（1）當(dāng)時，得，，得，則在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，當(dāng)時，所以對于任意的，，即恒成立.故為“反轉(zhuǎn)函數(shù)”.（2）①：由題意得，，令，，二次函數(shù)圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為，當(dāng)時，，恒成立，有，則在上單調(diào)遞減，不符合題意，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，有，則在上單調(diào)遞減，不符合題意，當(dāng)時，時，；時，.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，有，則，即，得，因?yàn)椋?，所以，，設(shè)函數(shù)，得，則是增函數(shù)，得，即，由，得，所以，設(shè)函數(shù)，得，令，則在上恒成立，則是增函數(shù).因?yàn)?，所以是增函?shù)，則，即綜上，時，，，，得，由零點(diǎn)存在定理可知，當(dāng)時，有3個零點(diǎn).所以a的取值范圍為.②證明：由①可知由題意得，在上存在唯一零點(diǎn)且，，所以，有，則，得，即，要證，即證，即得，即證，設(shè)函數(shù)，得，令，則所以在上是減函數(shù)，所以，故不等式得證.湖南省湘西州2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的焦距為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的焦距為4.故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】求解，得或即或所以集合或，則.故選：B3.虛數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】解法一：設(shè)復(fù)數(shù),則，化簡得，故，即①，②此時，對于選項(xiàng)中的值，代入：若，則，符合要求，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，綜上可得故選：A解法二：由可得，故，故或，由于為虛數(shù)，故，故虛部為1，故選：A4.已知,是兩個平面，m，n，l是三條直線,且，，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線垂直于這個平面，若，且，但如果直線與不相交，則不能得到，從而不能推出；如果兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)垂直于交線直線垂直于另一個平面，若，由于，，，則，又，所以.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.已知曲線在點(diǎn)處的切線與圓相切，該圓的半徑為（）A. B. C.或 D.或1【答案】C【解析】由，得，故切線的斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.又因?yàn)榕c圓相切，所以的半徑，解得或，所以圓的半徑為或.故選：C6.要安排4名學(xué)生（包括甲）到A，B兩個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個村，每個村里至少有1名志愿者，且甲不去A鄉(xiāng)村，則不同的安排方法共有（）A.7種 B.8種 C.12種 D.14種【答案】A【解析】先把名學(xué)生分成組，第一種情況組人數(shù)分別為、，由于甲不去A鄉(xiāng)村，所以從另外3人中選一人和甲一起去B村，有種，第二種情況組人數(shù)分別為、，則可能甲單獨(dú)去B村，或者甲與另外人去B村，有種，故共有種故選：A.7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，其中記載了關(guān)于家畜偷吃禾苗的問題.假設(shè)有羊、騾子、馬、牛吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、騾子的主人、馬的主人、牛的主人共賠償12斗粟.羊的主人說：“羊吃得最少，羊和騾子吃的禾苗總數(shù)只有馬和牛吃的禾苗總數(shù)的一半.”騾子的主人說：“騾子吃的禾苗只有羊和馬吃的禾苗總數(shù)的一半.”馬的主人說：“馬吃的禾苗只有騾子和牛吃的禾苗總數(shù)的一半.”若按照此比率償還，則羊的主人應(yīng)賠償?shù)乃诘亩窋?shù)為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】設(shè)羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數(shù)依次為，由題意得通過等差中項(xiàng)可判斷羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數(shù)依次成等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，公差為，則．由題意得即解得故選：B.8.已知為偶函數(shù),若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為,,…，，則（）A.45 B. C.90 D.【答案】A【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)與圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，由交點(diǎn)有9個，故兩函數(shù)必都過點(diǎn)，即.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布對稱軸為，根據(jù)對稱性可知：，得，A正確，B錯誤；則，C錯誤，D正確.故選：AD10.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則a的值可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由題意可得，由于的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以,故，解得，取，，取，故選：AC11.已知函數(shù)恰好有三個零點(diǎn),分別為，，，且，則下列說法正確的是（）A. B.，，成等差數(shù)列C.，，成等比數(shù)列 D.【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，，即或，所以或，即問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線和交于三個點(diǎn)，且三個點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，且，對于，得，當(dāng)時，，即函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，對于，得，當(dāng)時，，即函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，如圖，作出函數(shù)與的圖象，由，可得，由，可得，又，且在上單調(diào)遞增，又，所以，即，A正確；，且在上單調(diào)遞減，又，所以，即，故，則C正確，B錯誤；因?yàn)?，所以，則，則D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正四棱柱的底面邊長為2，高為6，則該正四棱柱的外接球的表面積為______.【答案】【解析】設(shè)外接球的半徑為，則,所以正四棱柱的外接球的表面積.故答案為：13.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則______.【答案】【解析】令，得，得，，當(dāng)時，，兩式相減得，，即，即，所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以.故答案為：14.已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為，P是C在第一象限上的一點(diǎn).若，則______.【答案】【解析】如圖，記，，因?yàn)?，則，，由橢圓的定義可得，所以，則，又且，有或，解得或，又點(diǎn)在第一象限，所以，得，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為,向量，且．（1）求；（2）若的面積為，求．解：（1）由題意得，由正弦定理得，又，所以，則，即．因?yàn)椋裕?）由，得，結(jié)合，得．由余弦定理得，得．16.已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，且C上一點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為4.（1）求C的方程；（2）若斜率為2的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，求l的方程.解：（1）C上一點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為4,由拋物線定義可得，，拋物線的方程為．（2）設(shè)直線，，設(shè),,,，將方程代入方程整理得，需滿足，，故，解得，當(dāng)時，滿足，故符合題意，故直線方程為17.如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，四邊形BCDE為等腰梯形，，，.（1）證明：.（2）若直線BE與平面ABC所成的角為，求二面角的正弦值.解：（1）因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，，所以，，從而四邊形為平行四邊形，則，，在中，，且為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又，所以平?又平面，所以，，，由，，得.（2）由平面，，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，平面內(nèi)過平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，不妨設(shè)，則，，，由圖可知，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量，由，令，則，，則，所以二面角的正弦值為.18.某校為激發(fā)學(xué)生對天文、航天、數(shù)字科技三類知識的興趣，舉行了一次知識競賽（三類題目知識題量占比分別為，，）.