高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市部分學校2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求）1已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，故．故選:D2.設，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由于不等式的解集為，則可推出，反之不成立，所以“”是“”的充分而不必要條件．故選：A.3.函數(shù)與的對應關系如下表．x01x12313201則的值為（）A.0 B.3 C.1 D.【答案】A【解析】根據(jù)表格，，，故選：A.4.下列命題中，是真命題的全稱量詞命題的是（）．A.對于實數(shù)a,bB.冪函數(shù)的圖象過定點和點C.存在冪函數(shù)圖象過點D.當時，冪函數(shù)在第一象限內函數(shù)值隨x值的增大而減小【答案】D【解析】A選項：，故A不合題意；B選項：冪函數(shù)不過點，故B不合題意；C選項：不是全稱量詞命題命題，故C不合題意；D選項：當時，冪函數(shù)在上單調遞減，故D正確.故選：D．5.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，故選：6.若均大于零，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】均大于零，且，，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選：D.7.歷史上第一個給出函數(shù)一般定義的是19世紀德國數(shù)學家狄利克雷(Dirichlet)，當時數(shù)學家們處理的大部分數(shù)學對象都沒有完全的嚴格的定義，數(shù)學家們習慣借助于直覺和想象來描述數(shù)學對象，狄利克雷在1829年給出了著名函數(shù)：(其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集)，狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學家們對數(shù)學的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學的一些“人造”特征開始展現(xiàn)出來，這種思想也標志著數(shù)學從研究“算”轉變到了研究“概念?性質?結構”.一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為：(其中，且)，以下對說法錯誤的是（）A.定義域為B.當時，的值域為；當時，的值域為C.為偶函數(shù)D.在實數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調性【答案】B【解析】顯然無理數(shù)集和有理數(shù)集的并集是實數(shù)集，故A正確；的函數(shù)值只有兩個，的值域為，故B錯誤；若，則，；若，則，；所以為偶函數(shù)，故C正確；由于實數(shù)具有稠密性，任何兩個有理數(shù)之間都有無理數(shù)，任何兩個無理數(shù)之間也都有理數(shù)，其函數(shù)值在之間無間隙轉換，所以在實數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調性,故D正確.故選：B8.已知函數(shù)在區(qū)間上遞減，且當時，有，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的對稱軸為直線，因為函數(shù)在區(qū)間上遞減，所以.所以，，所以.因為，所以.故選：B二、多選題（本大題共3小題，共18分.全選對得6分，部分選對得部分分，錯選不得分）9.下列各組函數(shù)中，兩個函數(shù)是同一函數(shù)的有（）．A.與B.與C.與D.與【答案】BCD【解析】對于A，對于，由得或，故的定義域為；對于，由得，故的定義域為；所以與不是同一函數(shù)，故A錯誤；對于B，由根式指數(shù)冪知，且與的定義域都為，所以與是同一函數(shù)，故B正確；對于C，對于，當時，；當時，；又當時，；綜上：，所以與是同一函數(shù)，故C正確；對于D，顯然與解析式表達式一樣，所以與是同一函數(shù)，故D正確.故選：BCD.10.已知關于的不等式的解集為，則（）A.B.不等式的解集為C.D.不等式的解集為【答案】BD【解析】因為的解集為，所以，解得，所以A錯誤；對于B：將代入可得，解得，B正確；對于C：不等式的解集為，所以時，C錯誤；對于D：將代入可得，即，解得，D正確，故選：BD11.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則（）A.的最小值為 B.在上單調遞減C.的解集為 D.存在實數(shù)滿足【答案】ACD【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，設，則，所以，因為是偶函數(shù)，所以，所以，所以，函數(shù)圖象如下所示：可得時，在時取得最小值，由偶函數(shù)的圖象關于軸對稱，可得在上取得最小值，故A正確；在上單調遞減，在上單調遞增，故B錯誤；由或，解得或，綜上可得的解集為，故C正確；由，，即存在實數(shù)滿足，故D正確；故選：ACD．三、填空題（每小題5分，共15分）12.已知集合，則集合A真子集個數(shù)為_____（填數(shù)字）【答案】511【解析】由題意，，，有9個元素，故集合A真子集的個數(shù)為：故答案為：51113.命題：，，則是________.【答案】，，【解析】命題：，為全稱量詞命題，則是，，故答案為：，，14.已知函數(shù)的定義域為，，對任意兩個不等的實數(shù)，都有，則不等式的解集為______．【答案】【解析】不妨令，則等價于，可得，構造函數(shù)，則是上的增函數(shù)，因為，所以等價于，即，所以，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.已知的定義域為集合，集合．（1）求集合；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）意義，則有，解之可得：，所以集合.（2），所以,因為，所以分和兩種情況；若，則，解得：；若，要使成立，則有，解得：，綜上所述：實數(shù)的取值范圍.16.已知是定義在上的偶函數(shù)，且時，．（1）求，；（2）求函數(shù)的表達式；（3）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調性.解：（1）.（2）設因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以有即，所以.（3）設，，∵∴∴∴f(x)在為單調減函數(shù).17.設函數(shù).（1）若，且集合中有且只有一個元素，求實數(shù)的取值集合；（2）解關于的不等式；解：（1）函數(shù)，又有且只有一個元素，則方程有且僅有一個根，當時，，即，則，滿足題設；當時，，即，則，滿足題設，所以的取值集合為.（2）依題意，，整理得，當時，解得；當時，無解；當時，解得，綜上所述，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.18.某公司為了節(jié)約資源，研發(fā)了一個從生活垃圾中提煉煤油的項目.該項目的月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關系可以近似地表示為:，每處理一噸生活垃圾，可得到的煤油的價值為200元，若該項目不能獲利，政府將給予補貼.（1）當時，判斷該項目能否獲利.如果獲利，求出最大利潤;如果不能獲利，則政府每月最多需要補貼多少元，才能使該項目不虧損?（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低?解：（1）當時，該項目的利潤，∵，則，故該項目不能獲利，當時，取到最小值，故該項目不會獲利，政府每月最多需要補貼20000元，才能使該項目不虧損.（2）當時，平均處理成本，當時，平均處理成本取到最小值250；當時，平均處理成本，當，即時，平均處理成本取到最小值200；∵，故該項目每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低.19.已知冪函數(shù)滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，是否存在實數(shù)，（），使函數(shù)在上的值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由．解：（1）由是冪函數(shù)，可得，解得或；當時，在上單調遞減，不滿足；當時，在上單調遞增，滿足，故．（2）由題意知，則在定義域上單調遞減，若實數(shù)，（），使函數(shù)在上值域為，則，兩式相減，得，故，而，所以，即，將該式代入，得，令，由，知，即，故，所以，由于在上單調遞減，所以，故存在實數(shù)，（），使函數(shù)在上的值域為，此時實數(shù)的取值范圍為.廣東省廣州市部分學校2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求）1已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，故．故選:D2.設，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由于不等式的解集為，則可推出，反之不成立，所以“”是“”的充分而不必要條件．故選：A.3.函數(shù)與的對應關系如下表．x01x12313201則的值為（）A.0 B.3 C.1 D.【答案】A【解析】根據(jù)表格，，，故選：A.4.下列命題中，是真命題的全稱量詞命題的是（）．A.對于實數(shù)a,bB.冪函數(shù)的圖象過定點和點C.存在冪函數(shù)圖象過點D.當時，冪函數(shù)在第一象限內函數(shù)值隨x值的增大而減小【答案】D【解析】A選項：，故A不合題意；B選項：冪函數(shù)不過點，故B不合題意；C選項：不是全稱量詞命題命題，故C不合題意；D選項：當時，冪函數(shù)在上單調遞減，故D正確.故選：D．5.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，故選：6.若均大于零，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】均大于零，且，，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選：D.7.歷史上第一個給出函數(shù)一般定義的是19世紀德國數(shù)學家狄利克雷(Dirichlet)，當時數(shù)學家們處理的大部分數(shù)學對象都沒有完全的嚴格的定義，數(shù)學家們習慣借助于直覺和想象來描述數(shù)學對象，狄利克雷在1829年給出了著名函數(shù)：(其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集)，狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學家們對數(shù)學的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學的一些“人造”特征開始展現(xiàn)出來，這種思想也標志著數(shù)學從研究“算”轉變到了研究“概念?性質?結構”.一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為：(其中，且)，以下對說法錯誤的是（）A.定義域為B.當時，的值域為；當時，的值域為C.為偶函數(shù)D.在實數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調性【答案】B【解析】顯然無理數(shù)集和有理數(shù)集的并集是實數(shù)集，故A正確；的函數(shù)值只有兩個，的值域為，故B錯誤；若，則，；若，則，；所以為偶函數(shù)，故C正確；由于實數(shù)具有稠密性，任何兩個有理數(shù)之間都有無理數(shù)，任何兩個無理數(shù)之間也都有理數(shù)，其函數(shù)值在之間無間隙轉換，所以在實數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調性,故D正確.故選：B8.已知函數(shù)在區(qū)間上遞減，且當時，有，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的對稱軸為直線，因為函數(shù)在區(qū)間上遞減，所以.所以，，所以.因為，所以.故選：B二、多選題（本大題共3小題，共18分.全選對得6分，部分選對得部分分，錯選不得分）9.下列各組函數(shù)中，兩個函數(shù)是同一函數(shù)的有（）．A.與B.與C.與D.與【答案】BCD【解析】對于A，對于，由得或，故的定義域為；對于，由得，故的定義域為；所以與不是同一函數(shù)，故A錯誤；對于B，由根式指數(shù)冪知，且與的定義域都為，所以與是同一函數(shù)，故B正確；對于C，對于，當時，；當時，；又當時，；綜上：，所以與是同一函數(shù)，故C正確；對于D，顯然與解析式表達式一樣，所以與是同一函數(shù)，故D正確.故選：BCD.10.已知關于的不等式的解集為，則（）A.B.不等式的解集為C.D.不等式的解集為【答案】BD【解析】因為的解集為，所以，解得，所以A錯誤；對于B：將代入可得，解得，B正確；對于C：不等式的解集為，所以時，C錯誤；對于D：將代入可得，即，解得，D正確，故選：BD11.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則（）A.的最小值為 B.在上單調遞減C.的解集為 D.存在實數(shù)滿足【答案】ACD【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，設，則，所以，因為是偶函數(shù)，所以，所以，所以，函數(shù)圖象如下所示：可得時，在時取得最小值，由偶函數(shù)的圖象關于軸對稱，可得在上取得最小值，故A正確；在上單調遞減，在上單調遞增，故B錯誤；由或，解得或，綜上可得的解集為，故C正確；由，，即存在實數(shù)滿足，故D正確；故選：ACD．三、填空題（每小題5分，共15分）12.已知集合，則集合A真子集個數(shù)為_____（填數(shù)字）【答案】511【解析】由題意，，，有9個元素，故集合A真子集的個數(shù)為：故答案為：51113.命題：，，則是________.【答案】，，【解析】命題：，為全稱量詞命題，則是，，故答案為：，，14.已知函數(shù)的定義域為，，對任意兩個不等的實數(shù)，都有，則不等式的解集為______．【答案】【解析】不妨令，則等價于，可得，構造函數(shù)，則是上的增函數(shù)，因為，所以等價于，即，所以，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.已知的定義域為集合，集合．（1）求集合；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）意義，則有，解之可得：，所以集合.（2），所以,因為，所以分和兩種情況；若，則，解得：；若，要使成立，則有，解得：，綜上所述：實數(shù)的取值范圍.16.已知是定義在上的偶函數(shù)，且時，．（1）求，；（2）求函數(shù)的表達式；（3）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調性.解：（1）.（2）設因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以有即，所以.（3）設，，∵∴∴∴f(x)在為單調減函數(shù).17.設函數(shù).（1）若，且集合中有且只有一個元素，求實數(shù)的取值集合；（2）解關于的不等式；解：（1）函數(shù)，又有且只有一個元素，則方程有且僅有一個根，當時，，即，則，滿足題設；當時，，即，則，滿足題設，所以的取值集合為.（2）依題意，，整理得，當時，解得；當時，無解；當時，解得，綜上所述，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解