高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知點，若向量，則點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，因為，且，則，所以，即.故選：A2.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，則等于（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】C【解析】因為且，所以，所以.故選：C3.已知直線的一個方向向量為，且直線與過和兩點的直線垂直，則等于（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】已知，，根據(jù)向量坐標(biāo)運算，可得.因為直線與過、兩點的直線垂直，所以直線的方向向量與垂直.根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，可得.化簡得,解得.故選：A.4.在棱長為1的正方體中，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，連接，正方體的棱長為1，是邊長為的等邊三角形，，設(shè)點到平面的距離為，由，得，可得，則點到平面的距離為．故選：C．5.某同學(xué)進(jìn)行投籃練習(xí)，若他第1球投進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為；若他第1球投不進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為.若他第1球投進(jìn)的概率為，則他第2球投進(jìn)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)分別代表事件“第1球投進(jìn)”和“第2球投進(jìn)”，則由已知條件知，，，這得到.故.故選：A.6.已知，下列說法正確的是（）A.在處的切線方程為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的極值點有兩個D.直線與曲線有兩個不同的交點【答案】D【解析】因為，定義域為，所以，對于A，因為,，所以切點為，切線斜率，切線方程為，故A不正確；對于B，，得且，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，故B不正確；對于C，令，得，故的極值點不可能有兩個，故C不正確對于D，令，則.又，令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,所以，即在恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故在上有唯一零點.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，而，.故在上有唯一零點.綜上，有兩個零點，即直線與曲線有兩個不同的交點.故D正確.故選：D.7.英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性為事件，此人患病為事件，，，則.故選：C8.設(shè)，則（）A.的極大值為1 B.與有不同的極大值C.時， D.時，【答案】D【解析】由，得，令，解得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點，極大值為，故A錯誤；由，得，得，令，解得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點，極大值為，與的極大值相同，故B錯誤；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，又時，，所以，而時，，所以，故C錯誤；當(dāng)時，，所以，故D正確.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列關(guān)于隨機變量的說法正確的是（）A.若服從正態(tài)分布，則B.服從兩點分布，且，設(shè)，那么C.若服從超幾何分布，則期望D.若服從二項分布，則【答案】BCD【解析】對于A，若服從正態(tài)分布，則，由方差的性質(zhì)可知：，故選項A錯誤；對于B，若服從兩點分布，且，所以.又，所以，故選項B正確；對于C，若服從超幾何分布，則根據(jù)超幾何分布的期望公式可知：，故選項C正確；對于D，若服從二項分布，則由二項分布的，故選項D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列說法中正確的有（）A.函數(shù)有兩個極值點，且點和點關(guān)于點對稱B.若關(guān)于的方程有一解，則C.若在上有極小值，則D.若在上有最大值3，則【答案】ACD【解析】對于A，，令，則，且，對應(yīng)點為，因為，所以關(guān)于點對稱，故A正確；對于B，因為，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)或時，，所以在上單調(diào)遞增，且，畫出簡圖為結(jié)合圖象知，有一解則或，故B錯誤；對于C，結(jié)合圖象，為極小值點，所以在上有極小值，則，故C正確；對于D，令，則或，結(jié)合圖象知，在上有最大值3，則，故D正確，故選：ACD.11.如圖，八面體的每個面都是正三角形，若四邊形是邊長為4的正方形，則（）A.異面直線和所成的角為B.平面和平面有相同的法向量C.異面直線和的距離為D.二面角的余弦值為【答案】ABC【解析】連接、交于點，連接，，因四邊形為正方形，則，又因為八面體的每個面都是正三角形，所以，，三點共線，且面，所以以為原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，對于A：，設(shè)異面直線與所成角為，則，所以，即異面直線與所成角大小為，故A正確；對于B：，設(shè)面的一個法向量為，則，取，則，，則，因為設(shè)面的一個法向量為，則，取，則，，則，所以平面和平面有相同的法向量，故B正確；對于C：在線段任取一點，在線段任取一點，鏈接則可設(shè)，因為，所以，則當(dāng)時，即為異面直線和的距離，所以，則，所以，故異面直線和的距離為，故C正確；對于D：因為，設(shè)面的一個法向量為，則，取，則，，則，所以，又因為面與所成的二面角的平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為，故D錯誤；故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)，且，則_____________.【答案】【解析】，,,，.故答案為：.13.如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長為1的正方形，且，點是線段上異于的點，當(dāng)為鈍角時，的取值范圍為______．【答案】【解析】如圖，以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，，則，故，所以，則，因為為鈍角，而三點不共線，故，解得，即的取值范圍為.故答案為：.14.已知函數(shù)的最小值是，則實數(shù)______．【答案】【解析】因為，所以，令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，則時，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值是，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，，．（1）若，求；（2）若三個向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，求實數(shù)的值．解：（1）已知，，可得,解得.所以，則.根據(jù)向量模的計算公式可得.（2）已知，，,先求出.因為三個向量不能構(gòu)成空間的一個基底，所以這三個向量共面.即存在實數(shù)，使得，則.由此可得方程組.由可得，將其代入中，得到，解得.把代入，可得.再把，代入，可得，解得.16.設(shè)函數(shù)，．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值：（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）；（2）在（1）的條件下求的極大值；（3）若在上存在減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由，可得.曲線在點處的切線斜率為.將直線，化為斜截式，其斜率為.因為曲線在點處的切線與直線垂直，根據(jù)兩直線垂直斜率之積為，可得.化簡方程，解得.（2）由（1）知，則，令，即，因為，所以，解得.當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減.所以在處取得極大值，.（3）因為，對求導(dǎo)得.因為在上存在減區(qū)間，所以在上有解，即在上有解，等價于在上有解，也就是在上有解.令，對求導(dǎo)得.令，即，解得或（舍去）.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增所以在處取得極小值，也是最小值，.所以.17.如圖，圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，為底面圓周上異于一點，且四邊形是邊長為2的正方形．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值．解：（1）因為為底面圓周上異于一點，可得：,又四邊形是邊長為2的正方形，得，又平面，所以平面，又在平面內(nèi)，所以，又為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，（2）以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，過點作垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為，所以，取的中點，連接，，，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以二面角的正弦值18.某區(qū)域為了更好地了解某行業(yè)一線工作人員工作強度，以便為崗位調(diào)優(yōu)或社會招員提供參考，特從該行業(yè)一線工作人員中隨機抽取了100名，計100名一線工作人員工作強度指數(shù)為，并以此為樣本得到了如下圖所示的表格：工作強度指數(shù)人數(shù)10819名稱無壓力工作者輕壓力工作者重壓力工作者（1）稱為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的似然比．現(xiàn)從樣本中隨機抽取1名工作人員，記事件為“該工作人員為有壓力工作者（輕壓力工作者和重壓力工作者統(tǒng)稱為有壓力工作者）”，事件為“該工作人員為重壓力工作者”，求事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的似然比；（2）若該區(qū)域所有某行業(yè)一線工作人員工作強度指數(shù)近似服從正態(tài)分布，且．①若落在和落在內(nèi)的概率相等，求的值；②若從該區(qū)域某行業(yè)一線工作人員中隨機地抽取3名，設(shè)這3名工作人員中輕壓力工作者人數(shù)為，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）由題意得：，，，，所以，，所以.所以事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的似然比為.（2）①已知，且，落在和落在內(nèi)的概率相等，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，.②因為，所以從一線工作者中抽1人為輕壓力工作者的概率為：.所以從該區(qū)域某行業(yè)一線工作人員中隨機地抽取3名，設(shè)這3名工作人員中輕壓力工作者人數(shù)，即：的可能取值為：且，，，.所以的分布列為：0123且.19.已知函數(shù)．（1）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，且有兩個極值點，其中，問：是否存在實數(shù)，使得成立？若存在，請求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，試說明理由．解：（1）由，，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以對于恒成立，則對于恒成立，則對于恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，則，即實數(shù)的取值范圍為.（2）由（1）知，，，令，得，因為有兩個極值點，其中，且，則，即，則，則，則，由，則，設(shè)，，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，且時，，則，則.江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知點，若向量，則點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，因為，且，則，所以，即.故選：A2.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，則等于（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】C【解析】因為且，所以，所以.故選：C3.已知直線的一個方向向量為，且直線與過和兩點的直線垂直，則等于（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】已知，，根據(jù)向量坐標(biāo)運算，可得.因為直線與過、兩點的直線垂直，所以直線的方向向量與垂直.根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，可得.化簡得,解得.故選：A.4.在棱長為1的正方體中，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，連接，正方體的棱長為1，是邊長為的等邊三角形，，設(shè)點到平面的距離為，由，得，可得，則點到平面的距離為．故選：C．5.某同學(xué)進(jìn)行投籃練習(xí)，若他第1球投進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為；若他第1球投不進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為.若他第1球投進(jìn)的概率為，則他第2球投進(jìn)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)分別代表事件“第1球投進(jìn)”和“第2球投進(jìn)”，則由已知條件知，，，這得到.故.故選：A.6.已知，下列說法正確的是（）A.在處的切線方程為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的極值點有兩個D.直線與曲線有兩個不同的交點【答案】D【解析】因為，定義域為，所以，對于A，因為,，所以切點為，切線斜率，切線方程為，故A不正確；對于B，，得且，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，故B不正確；對于C，令，得，故的極值點不可能有兩個，故C不正確對于D，令，則.又，令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,所以，即在恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故在上有唯一零點.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，而，.故在上有唯一零點.綜上，有兩個零點，即直線與曲線有兩個不同的交點.故D正確.故選：D.7.英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性為事件，此人患病為事件，，，則.故選：C8.設(shè)，則（）A.的極大值為1 B.與有不同的極大值C.時， D.時，【答案】D【解析】由，得，令，解得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點，極大值為，故A錯誤；由，得，得，令，解得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點，極大值為，與的極大值相同，故B錯誤；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，又時，，所以，而時，，所以，故C錯誤；當(dāng)時，，所以，故D正確.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列關(guān)于隨機變量的說法正確的是（）A.若服從正態(tài)分布，則B.服從兩點分布，且，設(shè)，那么C.若服從超幾何分布，則期望D.若服從二項分布，則【答案】BCD【解析】對于A，若服從正態(tài)分布，則，由方差的性質(zhì)可知：，故選項A錯誤；對于B，若服從兩點分布，且，所以.又，所以，故選項B正確；對于C，若服從超幾何分布，則根據(jù)超幾何分布的期望公式可知：，故選項C正確；對于D，若服從二項分布，則由二項分布的，故選項D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列說法中正確的有（）A.函數(shù)有兩個極值點，且點和點關(guān)于點對稱B.若關(guān)于的方程有一解，則C.若在上有極小值，則D.若在上有最大值3，則【答案】ACD【解析】對于A，，令，則，且，對應(yīng)點為，因為，所以關(guān)于點對稱，故A正確；對于B，因為，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)或時，，所以在上單調(diào)遞增，且，畫出簡圖為結(jié)合圖象知，有一解則或，故B錯誤；對于C，結(jié)合圖象，為極小值點，所以在上有極小值，則，故C正確；對于D，令，則或，結(jié)合圖象知，在上有最大值3，則，故D正確，故選：ACD.11.如圖，八面體的每個面都是正三角形，若四邊形是邊長為4的正方形，則（）A.異面直線和所成的角為B.平面和平面有相同的法向量C.異面直線和的距離為D.二面角的余弦值為【答案】ABC【解析】連接、交于點，連接，，因四邊形為正方形，則，又因為八面體的每個面都是正三角形，所以，，三點共線，且面，所以以為原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，對于A：，設(shè)異面直線與所成角為，則，所以，即異面直線與所成角大小為，故A正確；對于B：，設(shè)面的一個法向量為，則，取，則，，則，因為設(shè)面的一個法向量為，則，取，則，，則，所以平面和平面有相同的法向量，故B正確；對于C：在線段任取一點，在線段任取一點，鏈接則可設(shè)，因為，所以，則當(dāng)時，即為異面直線和的距離，所以，則，所以，故異面直線和的距離為，故C正確；對于D：因為，設(shè)面的一個法向量為，則，取，則，，則，所以，又因為面與所成的二面角的平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為，故D錯誤；故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)，且，則_____________.【答案】【解析】，,,，.故答案為：.13.如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長為1的正方形，且，點是線段上異于的點，當(dāng)為鈍角時，的取值范圍為______．【答案】【解析】如圖，以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，，則，故，所以，則，因為為鈍角，而三點不共線，故，解得，即的取值范圍為.故答案為：.14.已知函數(shù)的最小值是，則實數(shù)______．【答案】【解析】因為，所以，令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，則時，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值是，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，，．（1）若，求；（2）若三個向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，求實數(shù)的值．解：（1）已知，，可得,解得.所以，則.根據(jù)向量模的計算公式可得.（2）已知，，,先求出.因為三個向量不能構(gòu)成空間的一個基底，所以這三個向量共面.即存在實數(shù)，使得，則.由此可得方程組.由可得，將其代入中，得到，解得.把代入，可得.再把，代入，可得，解得.16.設(shè)函數(shù)，．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值：（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）；（2）在（1）的條件下求的極大值；（3）若在上存在減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由，可得.曲線在點處的切線斜率為.將直線，化為斜截式，其斜率為.因為曲線在點處的切線與直線垂直，根據(jù)兩直線垂直斜率之積為，可得.化簡方程，解得.（2）由（1）知，則，令，即，因為，所以，解得.當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減.所以在處取得極大值，.（3）因為，對求導(dǎo)得.因為在上存在減區(qū)間，所以在上有解，即在上有解，等價于在上有解，也就是在上有解.令，對求導(dǎo)得.令，即，解得或（舍去）.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增所以在處取得極小值，也是最小值，.所以.17.如圖，圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，為底面圓周上異于一點，且四邊形是邊長為2的正方形．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值．解：（1）因為為底面圓周上異于一點，可得：,又四邊形是邊長為2的正方形，得，又平面，所以平面，又在平面內(nèi)，所以，又為平面內(nèi)兩條相