河南省TOP二十名校2025屆高三猜題大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知平面向量，，則（

）A． B． C． D．3．設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若把滿足的正整數(shù)組稱為“勾股平方數(shù)組”，則在不大于13的正整數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，能組成“勾股平方數(shù)組”的概率為（

）A． B． C． D．5．棱長均為2的正三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的體積為（

）A． B． C． D．6．已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若也為等比數(shù)列，則的公比為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知，，則（

）A．3 B．2 C．-2 D．-38．過雙曲線右支上的點(diǎn)作的切線l，，分別為的左、右焦點(diǎn)，為切線上的一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若，則（

）A． B．2 C．3 D．4二、多選題9．記為首項(xiàng)為2的數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（

）A． B．C． D．10．已知關(guān)于復(fù)數(shù)的方程組有且僅有一個(gè)復(fù)數(shù)解，則的值可能是（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，，則（

）A．與的值域相同B．與的值域相同C．D．三、填空題12．已知橢圓的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間的距離為焦距的倍，則的離心率為.13．曲線的對(duì)稱中心為．14．現(xiàn)有各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列2，3，4，，，20，30，40，若從中任取4項(xiàng)構(gòu)成的遞增數(shù)列都不是等差數(shù)列，則有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為.四、解答題15．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線與交于A，B兩點(diǎn).（1）求的準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且，求.16．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）證明：；（2）若邊上的中線長為，求的最大值.17．如圖，四棱錐中，，，且.（1）當(dāng)平面平面時(shí)，證明：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.18．已知平面內(nèi)有n個(gè)紅點(diǎn)、n個(gè)藍(lán)點(diǎn)、n個(gè)黃點(diǎn)（），這3n個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)都不重合.（1）在顏色不同的任意兩點(diǎn)之間連接一條線段，顏色相同的兩點(diǎn)之間不連接線段，直接寫出連接線段條數(shù)的最大值；（2）若3n個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線，在所有互異的點(diǎn)之間連線，端點(diǎn)顏色相同的線段賦值1，端點(diǎn)顏色不同的線段賦值2.（?。┯浢織l線段的賦值為隨機(jī)變量X，在所有線段中任取一條線段，按兩個(gè)端點(diǎn)的顏色進(jìn)行分類（端點(diǎn)無序），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）從3n個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，記構(gòu)成的三角形三邊的賦值之和的數(shù)學(xué)期望為，證明：.19．若兩個(gè)集合M，N滿足：，，且，，則稱M，N互為對(duì)偶集．已知函數(shù)，定義，．（1）若，，，證明：；（2）證明：存在，使得無論t取何值，與均互為對(duì)偶集；（3）若，求b的取值范圍．

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)?，?故選C.2．【答案】A【詳解】由題意可得.故選A.3．【答案】D【詳解】由可得，由可得，所以由推不出，即充分性不成立；由也推不出，即必要性不成立.所以甲是乙的既不充分也不必要條件.故選:D.4．【答案】B【詳解】由題意可知基本事件的總數(shù)為，能組成“勾股平方數(shù)組”的有,,，共3個(gè)，故所求概率為.故選:B.5．【答案】D【詳解】如圖所示，因?yàn)檎庵牡酌媸沁呴L為的等邊三角形，設(shè)的外接圓的半徑為，正三棱柱的外接球的半徑為，可得，則，所以正三棱柱外接球的體積為.故選D6．【答案】B【詳解】設(shè)的公比為，當(dāng)時(shí)，，，可得，所以不是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，可得，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以.故選B7．【答案】C【詳解】由，得①，由，得，即，所以②，由①②得，化簡得，所以.故選C.8．【答案】B【詳解】設(shè)，則雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，在中，令，得，故，故，又，故，其中，又，故，因?yàn)?，所以，即，整理得，顯然，所以，解得.故選B.9．【答案】AC【詳解】由題意可得，可得下表：所以數(shù)列的最小正周期，，故A正確，，故B錯(cuò)誤，由，則，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選AC.10．【答案】AC【詳解】由方程組在復(fù)平面上的幾何意義可知，問題等價(jià)于以為圓心，5為半徑的圓與點(diǎn)與所連線段的垂直平分線相切，易求得垂直平分線為，由點(diǎn)到直線距離公式有，即，解得或.故選AC.11．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，，故的圖象可看作的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的，左右平移不影響值域，故A正確；對(duì)于B，，，，故的圖象可看作的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的，左右平移不影響值域，故B正確；對(duì)于C，，，由，，可知，，，，，所以，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，而，故，故，故D正確.故選:ABD12．【答案】/【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，整理得，因此，所以的離心率為.13．【答案】【詳解】設(shè)，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱中心為，則，等式兩邊求導(dǎo)得，即，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)?，故函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，因?yàn)?，所以，函?shù)的對(duì)稱中心為.14．【答案】76【詳解】由題意可知的取值可從6，7，8，9，11，12，13，14，15，16，17，18中選?。〞r(shí)，2，3，4，5成等差數(shù)列，時(shí)，10，20，30，40成等差數(shù)列，不合題意），的取值可從7，8，9，11，12，13，14，15，16，17，18，19中選取（時(shí)，10，20，30，40成等差數(shù)列，不合題意），且需滿足，當(dāng)時(shí)，的取法有12種；當(dāng)時(shí)，的取法有11種；當(dāng)時(shí)，的取法有10種；當(dāng)時(shí)，的取法有9種；當(dāng)時(shí)，的取法有8種，依次類推，當(dāng)時(shí)，的取法有1種，此時(shí)的取法有（種），其中當(dāng)，時(shí)，2，4，6，8成等差數(shù)列，不合題意；當(dāng)，時(shí)，2，8，14，20成等差數(shù)列，不合題意.綜上所述，滿足題意的有（個(gè)）15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為（2）因?yàn)樵诘臏?zhǔn)線上，所以，即，易得的坐標(biāo)為，此時(shí)，因?yàn)?，所以，解得，所以的方程為，設(shè)，，聯(lián)立消去并整理得，由韋達(dá)定理得，所以16．【答案】（1）證明見解析（2）4【詳解】（1）由余弦定理，得，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由正弦定理可得，又，故，即.（2）設(shè)為的中點(diǎn)，則有，兩邊平方得，，即，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為4.17．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，平面，可得平面，又，平面，故，，又，所以由，，得，，，，如圖1，取中點(diǎn)，連接BM，DM，有，，又，，所以，故因?yàn)?，，，平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面?）取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，過且平行于的直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，O為的中點(diǎn)，所以在平面內(nèi).可設(shè)，，可得，，，，，，因?yàn)?，所以，即，解得，得，，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，由題意可得即可取，同理可得，設(shè)平面與平面的夾角為，故，故平面與平面的夾角的余弦值為.18．【答案】（1）（2）（?。┓植剂幸娊馕?，；（ⅱ）證明見解析【詳解】（1）紅藍(lán)、藍(lán)黃、黃紅三對(duì)里，每對(duì)中兩種顏色均有個(gè)點(diǎn)，則當(dāng)個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線時(shí)，連接線段條數(shù)取最大值.（2）（?。┒它c(diǎn)顏色的所有可能情況為紅藍(lán)、藍(lán)黃、黃紅、紅紅、藍(lán)藍(lán)、黃黃，端點(diǎn)顏色相同的線段有條，端點(diǎn)顏色不同的線段有條，線段總條數(shù)為，則，，的分布列為：12所以數(shù)學(xué)期望.（ⅱ）共有三種可能，當(dāng)三個(gè)同色點(diǎn)構(gòu)成三角形時(shí)，賦值和為3，有種可能，當(dāng)兩個(gè)同色點(diǎn)和一個(gè)異色點(diǎn)構(gòu)成三角形時(shí)，賦值和為5，有種可能，當(dāng)三個(gè)異色點(diǎn)構(gòu)成三角形時(shí)，賦值和為6，有種可能，從個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)，共有種可能，則，所以，因?yàn)?，所以，，?19．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【詳解】（1）由題意知，，則，

因此在上單調(diào)遞減．，，又，故．（2）觀察發(fā)現(xiàn)，，

取，下證與互為對(duì)