第08講直線的方程（一）：直線方程的幾種形式目錄TOC\o"1-2"\h\u第08講直線的方程（一）：直線方程的幾種形式 1一、直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程 2基礎(chǔ)知識(shí) 2考點(diǎn)1點(diǎn)斜式方程 2考點(diǎn)2斜截式方程 4二、直線的兩點(diǎn)式、截距式方程 6基礎(chǔ)知識(shí) 6考點(diǎn)3兩點(diǎn)式方程 7考點(diǎn)4截距式方程 8三、直線的一般式方程 10基礎(chǔ)知識(shí) 10考點(diǎn)5一般式方程 11考點(diǎn)6直線一般式方程與其他形式之間的互化 13四、方向向量與直線的參數(shù)方程 16基礎(chǔ)知識(shí) 16考點(diǎn)7求解直線的方向向量 16考點(diǎn)8由直線的方向向量求直線方程 18五、課后作業(yè) 20單選題 20多選題 22填空題 24解答題 24

一、直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程基礎(chǔ)知識(shí)1．直線的點(diǎn)斜式方程(1)直線的點(diǎn)斜式方程的定義：

設(shè)直線l經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，斜率為k，則方程叫作直線l的點(diǎn)斜式方程.

(2)點(diǎn)斜式方程的使用方法：

①已知直線的斜率并且經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.②當(dāng)已知直線的傾斜角時(shí)，若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點(diǎn)斜式表示，但因?yàn)閘上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以直線方程為x=x1；若直線的傾斜角，則直線的斜率，直線的方程為.2．直線的斜截式方程(1)直線的斜截式方程的定義：

設(shè)直線l的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為y=kx+b，這個(gè)方程叫作直線l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：

已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.考點(diǎn)1點(diǎn)斜式方程【例1.1】（23-24高二上·河南鄭州·期末）過(guò)點(diǎn)P2,?1，且傾斜角為90°的直線方程為（

A．y=?1 B．x=2 C．y=2 D．x【解題思路】?jī)A斜角為90°的直線斜率不存在，可解.【解答過(guò)程】過(guò)點(diǎn)P2,?1，且傾斜角為90°的直線垂直于x其方程為x=2.故選：B．【例1.2】（23-24高二上·四川達(dá)州·期末）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2，2且傾斜角為πA．y=x B．y=x?2 C．y=?x+4 D．y=x+2【解題思路】求出直線斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程，得到答案.【解答過(guò)程】直線斜率k=tanπ4=1，故直線方程為故選：A.【變式1.1】（23-24高二上·甘肅白銀·期末）若直線l過(guò)點(diǎn)1,3且與斜率為4的直線垂直，則直線l的方程為（

）A．x+4y?13=0 B．4x?y?1=0C．x+4y?8=0 D．4x?y?15=0【解題思路】根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系求出斜率，然后可得直線方程.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l與斜率為4的直線垂直，所以直線l的斜率為?1又直線l過(guò)點(diǎn)1,3，所以直線l的方程為y?3=?14x?1故選：A.【變式1.2】（23-24高二上·山東東營(yíng)·期末）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，傾斜角為150°的直線方程是（

A．y=?3x+1 B．y=?33x+1 【解題思路】根據(jù)直線傾斜角和斜率關(guān)系可求得斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】由傾斜角為150°可得，直線斜率為由直線的點(diǎn)斜式方程得直線方程為y?0=?3即y=?3故選：C.考點(diǎn)2斜截式方程【例2.1】（23-24高二上·重慶南岸·期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,3，且傾斜角為π4的直線的斜截式方程為（A．y=x+1 B．y=x?1 C．y=?x?1【解題思路】根據(jù)傾斜角求出斜率，寫出點(diǎn)斜式方程，化為斜截式可得答案.【解答過(guò)程】斜率k=tan點(diǎn)斜式方程為y?3=x?2，斜截式方程為y=x+1.故選：A.【例2.2】（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）下面四個(gè)直線方程中，可以看作是直線的斜截式方程的是（

）A．x＝3 B．y＝－5C．2y＝x D．x＝4y－1【解題思路】根據(jù)直線的斜截式方程的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】直線的斜截式方程為y=kx+b，所以B選項(xiàng)y=?5是斜截式方程，ACD選項(xiàng)不是斜截式方程.故選：B.【變式2.1】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）與直線y=?x+2垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（）.A．y=x+2 B．y=x?2C．y=?x+2 D．y=?x+4【解題思路】首先根據(jù)垂直關(guān)系確定所求直線的斜率，設(shè)出直線方程后再根據(jù)橫截距確定與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得待定系數(shù)b，確定答案.【解答過(guò)程】因?yàn)樗蟮闹本€與直線y=?x+2垂直，所以k×?1=?1，得k=1設(shè)所求直線為y=x+b,又因?yàn)樗笾本€在x軸上的截距為2即過(guò)點(diǎn)2,0，求得b=?2,所以所求直線的斜截式方程為y=x?2，故選：B.【變式2.2】（23-24高二上·四川南充·開學(xué)考試）與直線2x?y?1=0垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是（

）A．y=?B．y=?12C．y=D．y=12【解題思路】將直線2x?y?1=0化為斜截式方程，可得出斜率k=2，從而得與直線2x?y?1=0垂直的直線斜率，再根據(jù)所求直線在y軸上的截距為4，即可得出所求直線的斜截式方程.【解答過(guò)程】解：由于直線2x?y?1=0，即y=2x?1，可知斜率k=2，則與直線2x?y?1=0垂直的直線斜率為k=?1由于所求直線在y軸上的截距為4，則所求直線的斜截式方程是y=?1故選：A.

二、直線的兩點(diǎn)式、截距式方程基礎(chǔ)知識(shí)1．直線的兩點(diǎn)式方程(1)直線的兩點(diǎn)式方程的定義：設(shè)直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)()，則方程叫作直線l的兩點(diǎn)式方程.

(2)兩點(diǎn)式方程的使用方法：

①已知直線上的兩個(gè)點(diǎn)，且時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.

②當(dāng)時(shí)，直線方程為(或).

③當(dāng)時(shí)，直線方程為(或).2．直線的截距式方程(1)直線的截距式方程的定義：設(shè)直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a≠0，b≠0，則方程叫作直線l的截距式方程.

(2)直線的截距式方程的適用范圍：

選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線l在兩條坐標(biāo)軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線，也不能表示與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.

②已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時(shí)，可設(shè)直線方程為y=kx，利用直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)求解k，得到直線方程.考點(diǎn)3兩點(diǎn)式方程【例1.1】（23-24高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）下列直線方程是兩點(diǎn)式方程的是（

）A．y=kx+b B．y?C．xa+y【解題思路】利用直線方程的相應(yīng)形式對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A：y=kx+b是斜截式方程，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：y?y對(duì)于選項(xiàng)C：xa對(duì)于選項(xiàng)D：y?y故選：D.【例1.2】（22-23高二上·浙江溫州·期末）過(guò)兩點(diǎn)A3,?5，B?5,5的直線在y軸上的截距為（A．?54 B．54 C．?【解題思路】由兩點(diǎn)式得出直線方程，令x=0，即可解出直線在y軸上的截距.【解答過(guò)程】過(guò)兩點(diǎn)A3,?5，B?5,5的直線的為令x=0，解得：y=?5故選：A.【變式1.1】（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）過(guò)1,2，5,3的直線方程是（

）A．y?25?1=x?13?1 B．y?23?2=【解題思路】直接利用直線方程的兩點(diǎn)式寫出直線方程即可【解答過(guò)程】因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)1,2，5,3，所以y?2x?1=3?2故選：B.【變式1.2】（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)x1,y1、A．x?x1xC．y?y1x【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)式直線方程即可求解.【解答過(guò)程】當(dāng)經(jīng)過(guò)x1,y1、x2由于x1,x故選:C.考點(diǎn)4截距式方程【例2.1】（23-24高二上·山西太原·期末）直線y=4x+2在x軸和y軸上的截距分別為（

）A．12，2 B．?12，2 C．12，?2 【解題思路】利用橫縱截距的意義求解即得.【解答過(guò)程】直線y=4x+2，當(dāng)y=0時(shí)，x=?12，當(dāng)x=0時(shí)，所以直線y=4x+2在x軸和y軸上的截距分別為?1故選：B.【例2.2】（23-24高二上·北京順義·期中）過(guò)點(diǎn)A1,2的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

A．x?y+3=0 B．x+y?3=0C．2x?y=0或x?y+1=0 D．2x+y=0或x+y+1=0【解題思路】分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.【解答過(guò)程】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為y=2x，即2x?y=0，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為xa則1a+2所以直線方程為x?y+1=0，綜上所求直線方程為2x?y=0或x?y+1=0.故選：C.【變式2.1】（23-24高二上·天津和平·期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,3且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（

）A．x+y=4 B．y=x+2C．y=3x或x+y=4 D．y=3x或y=x+2【解題思路】分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式方程即可得解.【解答過(guò)程】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為y=3x，符合題意，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為xa則1a+3所以直線方程為y=x+2，綜上，所求直線的方程為y=3x或y=x+2.故選：D.【變式2.2】（22-23高二上·甘肅金昌·階段練習(xí)）已知直線l過(guò)A?2,1，且在兩坐標(biāo)軸上的截距為相反數(shù)，那么直線l的方程是（

A．x+2y=0或x?yC．x?y?1=0或x+y【解題思路】根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為相反數(shù)，可以分兩種情況來(lái)討論，兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí)和兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且不等于0時(shí)，即可求解.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線方程為y把點(diǎn)?2,1代入求出k=?1（2）當(dāng)坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且不等于0時(shí)，設(shè)直線方程為xa把點(diǎn)?2,1代入求出a=?3，即直線方程為綜上，直線方程為x+2y故選：A.

三、直線的一般式方程基礎(chǔ)知識(shí)1．直線的一般式方程(1)直線的一般式方程的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時(shí)為0)叫作直線的一般式方程.

對(duì)于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)：當(dāng)B≠0時(shí)，方程Ax+By+C=0可以寫成y=x，它表示斜率為，在y軸上的截距為的直線.特別地，當(dāng)A=0時(shí)，它表示垂直于y軸的直線.

當(dāng)B=0時(shí)，A≠0，方程Ax+By+C=0可以寫成x=，它表示垂直于x軸的直線.

(2)一般式方程的使用方法：

直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達(dá)式，它適用于任何一條直線.2．辨析直線方程的五種形式方程形式直線方程局限性選擇條件點(diǎn)斜式不能表示與x軸垂直的直線①已知斜率；②已知

一點(diǎn)斜截式y(tǒng)=kx+b不能表示與x軸垂直的直線①已知在y軸上的截距；②已知斜率兩點(diǎn)式不能表示與x軸、

y軸垂直的直線①已知兩個(gè)定點(diǎn)；②已知兩個(gè)截距截距式不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過(guò)原點(diǎn)的直線①已知兩個(gè)截距；②已知直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積一般式Ax+By+C=0

(A,B不全為0)表示所有的直線求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程考點(diǎn)5一般式方程【例1.1】（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)(?3,0)和(0,4)，的直線的一般式方程為（

）A．4x+3y+12=0 B．4x+3y?12=0C．4x?3y+12=0 D．4x?3y?12=0【解題思路】根據(jù)題意，利用直線的截距式方程求得直線的方程，再化為一般式方程，即可求解.【解答過(guò)程】由直線過(guò)點(diǎn)(?3,0)和(0,4)，可得直線的截距式得直線方程為x?3整理得4x?3y+12=0，即直線的一般式方程為4x?3y+12=0.故選：C.【例1.2】（21-22高二上·北京通州·期中）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，且斜率為2，則直線l的一般式方程為（A．y?1=2(x?1) B．y=2x?1 C．2x?y?1=0 D．x?2y+1=0【解題思路】利用直線的點(diǎn)斜式方程寫出方程，再化成一般式即可.【解答過(guò)程】因直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，且斜率為2，則直線l方程為：y?1=2(x?1)，化簡(jiǎn)得：所以直線l的一般式方程為2x?y?1=0.故選：C.【變式1.1】（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）根據(jù)下列條件求直線的一般式方程．(1)直線的斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,3(2)斜率為3，且在y軸上的截距為4；(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A2,?3,B(4)在x,y軸上的截距分別為2,?4．【解題思路】（1）先由點(diǎn)斜式求方程，再化為一般式；（2）先求斜截式方程，再化為一般式；（3）先求直線的兩點(diǎn)式方程，再化為一般式；（4）先求直線的截距式方程，再化為一般式.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閗=2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,3由直線的點(diǎn)斜式方程可得y?3=2x?1整理可得直線的一般式方程為2x?y+1=0．（2）由直線的斜率k=3，且在y軸上的截距為得直線的斜截式方程為y=3整理可得直線的一般式方程為3x?y+4=0（3）由直線的兩點(diǎn)式方程可得y+3?5+3整理得直線的一般式方程為2x?3y?13=0（4）由直線的截距式方程可得x2整理得直線的一般式方程為2x?y?4=0.【變式1.2】（23-24高二上·湖北·期中）求分別滿足下列條件的直線l的一般式方程．(1)斜率是34(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,?3，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等．【解題思路】（1）設(shè)出直線方程，得到與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)面積列出方程，求出答案；（2）分截距為0和截距不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，待定系數(shù)法求出直線方程.【解答過(guò)程】（1）設(shè)直線l的方程為y=3令x=0，得y=b．令y=0，得x=?4∴12b?∴直線l的方程為y=34x±3（2）設(shè)直線l在x軸、y軸上的截距分別為a,b．當(dāng)a≠0,b≠0時(shí)，直線l的方程為xa∵直線過(guò)點(diǎn)4,?3，∴4又∵a故4a?3b∴直線l的方程為x+y?1=0或x?y?7=0；當(dāng)a=b=0時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx，直線l過(guò)原點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)4,?3，故4k=?3，解得k=?3∴直線l的方程為y=?3綜上所述，直線l的方程為x+y?1=0或x?y?7=0或3x+4y=0．考點(diǎn)6直線一般式方程與其他形式之間的互化【例2.1】（23-24高二上·安徽淮北·期中）根據(jù)條件寫出下列直線的方程，并化成一般式：(1)直線的斜率為2，在y軸上的截距是?5；(2)直線的傾斜角是直線y=?3x+1的傾斜角的一半，且過(guò)點(diǎn)【解題思路】（1）利用斜截式方程求解即可；（2）根據(jù)傾斜角的關(guān)系求出直線斜率，再將?3【解答過(guò)程】（1）因?yàn)橹本€斜率為2，在y軸上的截距是?5，所以由斜截式可得直線方程為y=2x?5，整理得2x?y?5=0.（2）因?yàn)橹本€y=?3x+1的斜率為所以直線y=?3x+1的傾斜角為所以由題意得所求直線的傾斜角為60°，則斜率k=tan設(shè)所求直線為y=3x+c，將?3,2代入可得所以所求直線方程為y=3x+5，整理得【例2.2】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）求分別滿足下列條件的直線l的方程，化成一般形式.(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B?2,0，且與x(2)斜率為－4，在y軸上的截距為7；(3)經(jīng)過(guò)C?1,5，D【解題思路】（1）根據(jù)條件直接寫出直線方程即可.（2）由條件利用斜截式求直線的方程，并化為一般式.（3）由條件利用兩點(diǎn)式求直線的方程，并化為一般式.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)B?2,0，且與x則直線方程為x=?2，即x+2=0.（2）由題直線斜率為－4，在y軸上的截距為7，由直線斜截式方程，得y=?4x+7，化成一般式為4x+y?7=0.（3）由題直線經(jīng)過(guò)C?1,5，D由直線兩點(diǎn)式方程得y?5?1?5=x?【變式2.1】（23-24高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）根據(jù)下列條件，寫出下列直線方程的一般式：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)，且傾斜角為π(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，且一個(gè)方向向量為v(3)在△ABC中，點(diǎn)A(8,4),B(4,?1),C(?6,3)，求BC邊上中線所在直線的方程【解題思路】（1）求出直線的斜率，利用直線的斜截式方程求解即得.（2）利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即得.（3）求出BC的中點(diǎn)坐標(biāo)。進(jìn)而求出斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即得.【解答過(guò)程】（1）直線傾斜角為π3，則該直線的斜率k=tanπ所以所求直線方程為3x?y+2=0（2）由直線的一個(gè)方向向量為v=(1,3)，得該直線斜率為3所以所求直線方程為3x?y+2?（3）由點(diǎn)A(8,4),B(4,?1),C(?6,3)，得邊BC的中點(diǎn)為(?1,1)，BC邊上中線所在直線的斜率為4?18?(?1)=1所以BC邊上中線所在直線的方程為x?3y+4=0.【變式2.2】（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）已知直線l的一般式方程為2x?3y+6=0，請(qǐng)把一般式方程寫成為斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐標(biāo)軸上的截距；（2）根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式.①斜率是?12，經(jīng)過(guò)點(diǎn)②經(jīng)過(guò)點(diǎn)B4,2，平行于x③在x軸和y軸上的截距分別是32，?3④經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P【解題思路】（1）把直線方程化為斜截式及截距式，即可得到斜率及截距；（2）分情況根據(jù)直線方程的形式，直接寫出直線方程并化為一般式即可.【解答過(guò)程】（1）由l的一般式方程2x?3y+6=0得斜截式方程為：y=2截距式方程為：x?3由此可知，直線的斜率為23在x軸、y軸上的截距分別為－3，2.（2）①由點(diǎn)斜式得y??2化為一般式為：x+2y?4=0.②由斜截式得y=2，化為一般式為：y?2=0.③由截距式得x3化為一般式為：2x?y?3=0.④由兩點(diǎn)式得y??2化為一般式為：x+y?1=0.

四、方向向量與直線的參數(shù)方程基礎(chǔ)知識(shí)1．方向向量與直線的參數(shù)方程除了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯(lián)系，它由一個(gè)定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的.如圖1，設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，=(m,n)是它的一個(gè)方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點(diǎn)，則向量與共線.根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一的實(shí)數(shù)t，使=t，即()=t(m,n)，所以

①.

在①中，實(shí)數(shù)t是對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).

由上可知，對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P(x,y)，存在唯一實(shí)數(shù)t使①成立；反之，對(duì)于參數(shù)t的每一個(gè)確定的值，由①可以確定直線l上的一個(gè)點(diǎn)P(x,y).我們把①稱為直線的參數(shù)方程.考點(diǎn)7求解直線的方向向量【例1.1】（23-24高二上·四川綿陽(yáng)·期末）直線2x?3y+1=0的一個(gè)方向向量是（

）A．3,2 B．2,3 C．3,?2 D．2,?3【解題思路】求出給定直線的斜率即可得該直線的一個(gè)方向向量a，再求與a共線的向量即可.【解答過(guò)程】直線2x?3y+1=0的斜率為k=23，則直線2x?3y+1=0的一個(gè)方向向量對(duì)于A，因3×23?1×2=0，即向量(3,2)對(duì)于B，因2×23?1×3≠0，即向量2,3對(duì)于C，因3×23?1×?2≠0對(duì)于D，因2×23?1×?3≠0故選：A.【例1.2】（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）已知直線3x+2y?1=0的一個(gè)方向向量為v=1,m，則mA．233 B．?233 【解題思路】根據(jù)方向向量和斜率的知識(shí)求得正確答案.【解答過(guò)程】直線3x+2y?1=0的斜率為?所以m1故選：D.【變式1.1】（23-24高二上·山西呂梁·階段練習(xí)）直線2x+y+2=0的一個(gè)方向向量為（

）A．(1,?2) B．0,?2 C．1,2 D．2,1【解題思路】根據(jù)直線的一般式與斜率的關(guān)系結(jié)合方向向量的定義求解.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€2x+y+2=0的斜率為k=?2，對(duì)A，?21對(duì)B，方向向量為0,?2的直線斜率不存在，B錯(cuò)誤；對(duì)C，21對(duì)D，12故選:A.【變式1.2】（23-24高二上·四川自貢·期末）已知直線l的方程為3x+3y+1=0，則下列說(shuō)法正確的是（A．傾斜角為120° B．傾斜角為C．方向向量可以為?3,1 【解題思路】求出直線的斜率，然后可計(jì)算出傾斜角，由此可判斷AB；根據(jù)方向向量可求直線斜率，由此可判斷CD.【解答過(guò)程】因?yàn)樾甭蔾=?33=?3，令方向向量為?3,1時(shí)，斜率方向向量為33,?3時(shí)，斜率故選：A.考點(diǎn)8由直線的方向向量求直線方程【例2.1】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)A1,4的直線的方向向量為mA．2x?y+2=0 B．2x+y?6=0C．x?2y+7=0 D．x+y?5=0【解題思路】由直線的斜率和方向向量之間的關(guān)系即可求解.【解答過(guò)程】不妨設(shè)點(diǎn)Px,y為直線上異于點(diǎn)A則由直線的斜率和方向向量之間的關(guān)系可知kPA整理得2x?y+2=0，因此滿足題意的直線方程為2x?y+2=0.故選：A.【例2.2】（23-24高二上·浙江·期中）已知直線l的一個(gè)方向向量n=?1,2，且過(guò)點(diǎn)?1,2，則直線l的方程為（A．2x+y=0 B．x?2y+5=0 C．x+2y?3=0 D．2x?y+4=0【解題思路】先根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求出直線方程.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量n=?1,2，所以直線l的斜率為又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1,2，所以直線l的方程為y?2=?2x+1，即2x+y=0故選：A.【變式2.1】（23-24高二下·河南·開學(xué)考試）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,?1的直線l的一個(gè)方向向量為1,2，則l的方程為（

）A．x?2y?4=0 B．2x?y?5=0C．x+2y=0 D．2x+y?3=0【解題思路】根據(jù)直線的方向向量的概念求出直線的斜率，再用點(diǎn)斜式求直線的方程.【解答過(guò)程】因?yàn)閘的一個(gè)方向向量為1,2，所以設(shè)l的斜率為2，由點(diǎn)斜式得：直線方程為：y+1=2x?2?2x?y?5=0故選：B.【變式2.2】（22-23高二上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知直線l：2m+1x+m+1y+m=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，直線l′經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且l′的方向向量aA．2x?3y+5=0 B．2x?3y?5=0C．3x?2y+5=0 D．3x?2y?5=0【解題思路】直線l方程變?yōu)閤+y+m2x+y+1=0，可得定點(diǎn)P?1,1.根據(jù)l'的方向向量a【解答過(guò)程】2m+1x+m+1y+m=0解x+y=02x+y+1=0得x=?1y=1，即P點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)閍=3,2=31,23，所以直線l′的斜率為2代入點(diǎn)斜式方程可得y?1=23x+1故選：A.

五、課后作業(yè)單選題1．（23-24高二下·河南周口·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)M1,2且傾斜角為45°的直線方程為（

A．y=x?1 B．y=x+1 C．y=?x+3 D．y【解題思路】由題意知直線斜率為1，根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫出直線方程化簡(jiǎn)即可得解.【解答過(guò)程】過(guò)點(diǎn)M1,2，且傾斜角為45°的直線斜率為1，則y?2=x?1，即y=x+1故選：B．2．（23-24高二上·山西大同·期末）直線l過(guò)點(diǎn)A4,5，B1,?1，則直線l在y軸上的截距是（A．32 B．3 C．?32【解題思路】求出直線l的方程，令x=0可解.【解答過(guò)程】由題可得直線l的斜率k=?1?5再由點(diǎn)斜式方程可得y?5=2x?4化簡(jiǎn)可得y=2x?3，令x=0，則直線l在y軸上的截距為?3．故選：D．3．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x4?y8=1A．?8 B．8 C．?18【解題思路】對(duì)直線方程，令x=0，即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】對(duì)方程x4?y8=1故直線x4?y8=1故選：A.4．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)x1,yA．x?x1B．x?x2C．y?D．y?y1【解題思路】利用直線方程的兩點(diǎn)式即可得出.【解答過(guò)程】當(dāng)x1≠x2,化為：y?y對(duì)于x1=x因此直線方程為：y?y故選：C.5．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）過(guò)原點(diǎn)且與直線2x+y?1=0垂直的直線方程為（

）A．y=2x B．y=?2xC．y=12x【解題思路】根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系確定垂線斜率，從而得直線方程.【解答過(guò)程】直線2x+y?1=0的斜率為?2，與直線2x+y?1=0垂直的直線斜率為12又直線過(guò)原點(diǎn)，故其方程為y=1故選：C.6．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,1的直線l的一個(gè)方向向量為3,2，則l的方程為（

）A．3x+2y?11=0 B．2x?3y?3=0C．2x+3y?9=0 D．3x?2y?7=0【解題思路】由題意得QP與3,2共線，P為直線l上的點(diǎn)，且不與Q3,1【解答過(guò)程】設(shè)直線l上任意與點(diǎn)Q3,1不重合的一點(diǎn)為Px,y，由題意有QP與所以y?1x?3=23，整理得又點(diǎn)Q3,1在直線l上，且點(diǎn)Q3,1滿足方程綜上所述，l的方程為2x?3y?3=0.故選：B.7．（23-24高二上·廣東佛山·期末）斜率為?34，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,?1的直線方程為（A．3x+4y?1=0 B．3x+4y+1=0C．3x?4y?7=0 D．3x?4y?1=0【解題思路】由直線的點(diǎn)斜式方程求解即可得出答案.【解答過(guò)程】由點(diǎn)斜式方程可得y+1=?3化簡(jiǎn)可得：3x+4y+1=0.故選：B.8．（2023高二·江蘇·專題練習(xí)）直線l的傾斜角是直線5x+12y?1=0傾斜角的一半，且直線l與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為10，則直線l的方程可能是（

）A．5x+y?10=0???????????????????????????????????????????????????? B．C．x?2+y【解題思路】根據(jù)正切的二倍角公式，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】5x+12y?1=0?y=?5所以直線5x+12y?1=0的斜率為負(fù)值，因此直線5x+12y?1=0的傾斜角為鈍角，設(shè)直線l的傾斜角為α，則α∈(0,因?yàn)閠an2α=2tanα1?tan設(shè)直線l的方程為y=5x+t，則直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(?t5,0)由12|?t故直線l的方程可能是y=5x±10.，顯然ABD不符合，y=5x±10?x?2+y故選：C.多選題9．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線x?y?2=0的傾斜角為πB．直線x?y?2=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2C．過(guò)點(diǎn)1,4的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，則該直線方程為x?y+3=0D．過(guò)1,4、x【解題思路】求出直線的斜率判斷A；求出直線的橫縱截距計(jì)算判斷B；舉例說(shuō)明判斷CD.【解答過(guò)程】對(duì)于A，直線x?y?2=0的斜率為k=1，其傾斜角為π4對(duì)于B，直線x?y?2=0交x,y軸分別于點(diǎn)(2,0),(0,?2)，該直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為S=1對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)1,4與原點(diǎn)(0,0)的直線y=4x在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，符合題意，即過(guò)點(diǎn)1,4且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0的直線可以是直線y=4x，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)x0=1,y0≠4故選：AB.10．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）下列結(jié)論正確的是（）A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（－2，5），且斜率為－34的直線的方程是3x－4yB．過(guò)點(diǎn)M（－3，5）且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為x－y＋8＝0C．過(guò)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）的直線的方程為（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）D．任意一條不過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線均可用方程mx＋n（y－2）＝1形式表示【解題思路】根據(jù)題意，逐項(xiàng)分析判斷，即可得出結(jié)果.【解答過(guò)程】A選項(xiàng)，由點(diǎn)斜式，得所求直線方程是y－5＝－（x＋2），即3x＋4y－14＝0，錯(cuò)誤．B選項(xiàng)，①當(dāng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y＝－x；②當(dāng)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為＋＝1，即x－y＝a，代入點(diǎn)（－3，5），得a＝－8，即直線方程為y＝－x或x－y＋8＝0，錯(cuò)誤．C選項(xiàng)，若直線的斜率不存在，即x1＝x2，且y1≠y2，則直線方程為x＝x1，若直線的斜率存在，則x1≠x2，則直線方程為y－y1＝（x－x1），即（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1），且x＝x1，也滿足該方程，C正確．D選項(xiàng)，當(dāng)方程mx＋n（y－2）＝1中的x＝0，y＝2時(shí)，0＝1，不成立，則該直線不過(guò)點(diǎn)（0，2），D正確．故選：CD.填空題11．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）直線3x?4y+3=0的一個(gè)方向向量是1,34（答案不唯一）【解題思路】由直線方向向量的定義求解.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€3x?4y+3=0的斜率為34，所以直線3x?4y+3=0的一個(gè)方向向量是1,故答案為：1,3412．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若將直線y＝3x－3繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋