第一章集合、常用邏輯用語、不等式第4課時基本不等式[考試要求]

1.了解基本不等式的推導過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.3.理解基本不等式在實際問題中的應(yīng)用．鏈接教材·夯基固本(1)基本不等式成立的條件：___________.(2)等號成立的條件：當且僅當_____時取等號．(3)其中，_______叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，_____叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．a(chǎn)>0，b>0a＝b2．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，則提醒：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個條件：“一正、二定、三相等”．[常用結(jié)論]幾個重要的不等式一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)××××二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊P45例2改編)設(shè)x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(

)A．80

B．77

C．81

D．82√√3．(多選)(人教A版必修第一冊P46練習T2改編)若a，b∈R，則下列不等式成立的是(

)√√4．(人教A版必修第一冊P46例3(2)改編)一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，當這個矩形的長為________m，寬為________m時，菜園面積最大．典例精研·核心考點

考點一利用基本不等式求最值

配湊法A．最大值0

B．最小值9C．最大值－3 D．最小值－3√

常數(shù)代換法

消元法[典例3]已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為______.6

[法一(換元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，因為x>0，y>0，當且僅當x＝3y，即x＝3，y＝1時取等號，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，則t>0且t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y的最小值為6.

1．利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，常用手段有添加項、拆項、調(diào)整參數(shù)、分離參數(shù)等．3．當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值．4．構(gòu)建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標式的不等式求解．[跟進訓練]1．(1)(多選)下列函數(shù)中，函數(shù)的最小值為4的是(

)√(2)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，則2x＋y的最小值是(

)A．4

B．5

C．7

D．9√√(3)令x－1＝m,2y－1＝n，則m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，考點二基本不等式的常見變形應(yīng)用[典例4]

(多選)若a＞0，b＞0，a＋b＝4，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是(

)√√√

基本不等式的常見變形[跟進訓練]2．(1)(多選)(2022·新高考Ⅱ卷)若實數(shù)x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則(

)A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1√√考點三基本不等式的實際應(yīng)用[典例5]

(2025·泰安模擬)某水產(chǎn)公司擬在養(yǎng)殖室修建三個形狀、大小完全相同的長方體育苗池，其平面圖如圖所示．每個育苗池的底面面積為200m2，深度為2m，育苗池的四周均設(shè)計為2m寬的甬路．設(shè)育苗池底面的一條邊長為xm(10≤x≤20)，甬路的面積為Sm2.

(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知育苗池四壁的造價為200元/m2，池底的造價為600元/m2，甬路的造價為100元/m2，若不考慮其他費用，求x為何值時，總造價最低，并求最低造價．

利用基本不等式解決實際問題的注意點(1)設(shè)變量時，一般把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)解題時，一定要注意變量的實際意義對變量取值范圍的影響．(4)在實際問題中利用基本不等式求最值，必須指明等號成立的條件．A．135 B．149C．165 D．195√(2)某公司計劃租地建倉庫，已知每月土地費用與倉庫到車站的距離成反比，每月貨物的運輸費用與倉庫到車站的距離成正比．經(jīng)測算，若在距離車站10km處建倉庫，則每月的土地費用與運輸費用分別為2萬元和8萬元．要使每月的兩項費用之和最小，倉庫和車站的距離應(yīng)為(

)A．4km B．5kmC．6km D．7km√(2)設(shè)倉庫到車站距離為x，每月土地費用為y1，每月貨物的運輸費用為y2，課